Методикалық нұсқау

Енді тәуелсіз оқиғалар көбейтіндісінің ықтималдығын анықтау мәселесін қарастырайық.

Теорема. Екі тәуелсіз оқиғалар көбейтіндісінің ықтималдығы олардың шартсыз ықтималдықтарының көбейтіндісіне тең, яғни P(AB)=P(A)P(A) (10)

Болады.

Дәлелдеу. Ажәне В тәуелсіз болғанда P_B(A)=P(A) және P_A(B)=P(B). Бұл P_A(B) мәнін /1/ формулаға қойсақ,

Шығады.

Егер оқиғаларының кез келгенінің ықтималдығы қалған оқиғалардың қалған көбейтіндісінің пайда болуына байланысты болмаса, ондай оқиғаларды жиынтығы бойынша тәуелсіз деп атайды. Бұл анықтамадан

Қатынасы шығады. Бірінші тәуелсіз оқиғалар үшін көбейту теоремасы төмендегідей:

Теорема. Егер оқиғалары жиынтығы бойынша тәуелсіз болса, онда олардың көбейтіндісінің ықтималдығы ықтималдықтардың көбейтіндісіне тең, яғни

Р((A₁)P(A₂)…..P(A_n) (12)

Мұның дәлелдемесі /9/ және /11/ теңдіктерден шығады.

Бұл аталған теоремалардан мынадай салдар шығады.

2‑салдар. Егер А оқиғасы В‑ге тәуелсіз болса, онда В оқиғасы А‑ға тәуелсіз болады

Шынында, А‑ның В‑ға тәуелсіздік анықтамасы бойына P_B(A)=P(A).Мұны /1/ теңдіктегі P_B(A) орнына қойып, екі жақ бөлігінде P(A)‑ға қысқартсақ P(B)=P_A(B) шығады. Демек, бұдан В‑ның А‑ға тәуелзіздігі шығады. Олай болса, А және В оқиғалары өзарам тәуелсіз.

3‑салдар.А мен В тәуеилсіз болса, онда (,B);(A,);() қос оқиғалар да біріне‑бірі тәуелсіз болады. Мұны (A,) қос оқиға үін дәлелдейік.

Шынында, ұйғару бойынша P_A(B) = P(B) мұның үстіне P_A(B)+ P_A( =1 бұдан P_A( =1- P_A(B)=1-P(B)=P(

Салдары осымен дәлелденді. Қалғанидарының тәуелзіздігі де осылайша дәлелденеді.

3‑мысал. Нысанаға оқтың дәл тию ықтималдығы 0.3-ке тең. 2% жарылғыш жарылмай қалса, оқтың нысананы жою ықтималдығы неге тең болаы?

Шешуі. Нысанаға дәл тиюі А оқиғасы, жарылғыштың от алуы В оқиғасы болсын. Бұларды тәуелсіз деп ұйғарамыз. Сонда нысанаға тиюі мен жарылғыштың от алуы АВ оқиғасы болады, Демек, іздеген ықтималдық мынадай:

P(AB)=P(A)P(B)=0.3(1-0.02)=0.294

4-мысал. Үш оқушының біреуі монетті, екіншісі кубты лақтырды, ал үшіншісі колодағы 36 картаның кез келген біреуін суырды.Осы жүргізген тәжірибелер нәтижесінде монеттің герб жағымен түсу /А оқиғасы/, кубтың 4 ұпайымен түсу /В оқиғасы/ және суырылған картаның тұз болып шығу /С оқиғасы/ ықтималдығын анықтау керек.

Шешуі. Өткен мысалдарды еске түсірсек

P(A)=,

P(B)= ,

P(C)=

Сонда іздеген ықтималдығымыз

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=

§11.ЫҚТИМАЛДЫҚТАРДЫ ҚОСУДЫҢ ЖАЛПЫ ТЕОРЕМАСЫ

Өткен 3‑параграфта екі /не бірнеше/ оқиғалар үйлесімсіз болғандағы қосу теоремасын, яғни оның

P(A+B)=P(A)+P(B) (1)

Болатынын дәлелдедік. Ал бұл оқиғалар үйлесімді болса, теорема орындалмайды. Сондықтан кез келген оқиғалар үшін мынатеорема орындалады.

Теорема. Екі оқиғаның кемінде біреуінің пайда болутықтималдығы олардың ықтималдықтарының қосындысынан оқиғалардың бірдей пайда болған ықтималдығын шегергенге теңболады P(A+B)=P(A)+P(B) –P(AB) (2)

Дәлелдеу. Егер А және В үйлесімді оқиғалар болса, онда A+B=A+(B-AB)және B=AB+(B-AB) теңдіктерінің оң жағындағы қосылғыштар үйлесімсіз оқиғалар болады.

Сондықтан 3‑қасиет бойынша

P(A+B)=P(A)+P(B-AB), P(B)=P(AB)+P(B-AB)

Бұл теңдіктерден

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Бұл теңдік үйлесімді А және В оқиғалары үшін қосу теоремасы болады.

Бұл жерде айтылып отырған А және В оқиғалары тәуелді не тәуелсіз оқиғалар болу мүмкін. Егепр А мен В тәуелді оқиғалар болса, онда /10.1/ теңдігін ескеріп, /1/ өрнегін

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P_A(B) (3)

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(B)P_B(A) (4)

Түрінде жаза аламыз. Егер бұл екі оқиға тәуелсіз болса,онда /10.10/ теңдікті ескеріп,/1/ өрнегін

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B) (5)

Түрінде жазуға боады.

1‑мысал. Колодада 36 карта бар. Кездейсоқ алынған бір картаның көзір не тұз болу ықтималдығын анықтау керек?

Шешуі.Шыққан картадан көзір болуы А оқиғасы, тұз болуы В оқиғасы болсын. Сонда көзір тұздың шығуы АВ оқиғасы болады, мұның ықтималдығы

P(AB)=P(A) P_A(B)=

А және В оқиғалары үйлесімді, өйткені көзір карта тұз болуы да мүмкін. Олай болса

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=

Өйткені

P(A)=, P(B)=

§12.ТОЛЫҚ ЫҚТИМАЛДЫҚТЫҢ ФОРМУЛАСЫ.

Күрделі оқиғалар ықтималдығын есептегенде ықтималдықтың қосу және көбейту теоремаларын қатарынан жиі қолдануға тура келеді. Мұндай оқиғалардың ықтималдығын есептеу үшін формуланы қортудан бұрын мынадай мәселеге тоқтала кетейік.

Айталық Н₁,H₂,….,H_n оқиғалары қос‑қостан үйлесімсіз оқиғалардың толық тобын құрайтын болсын. Ал В оқиғасы осы оқиғалардың тек біреуімен ғана бірігіп, орындалыды дейік. Оның үстіне,P( Н₁),P(H₂),….,P(H_n ) және ықтималдықтары белгілі болсын. Осы берілгендер бойынша В оқиғасының ықтималдығын анықтауға болама және ол неге тең деген сұрау туады. Мұның жауабын ыұтималдықтың толық формуласы беріледі.