Методикалық нұсқау

Сонымен, бұл мысалдардан жалпы қортынды жасасақ, онда

Бұдан P(AB)=P(B)

Шығады. Енді көбейту теориясын келтіріп, дәлелдемесін берейік.

§10. ЫҚТИМАЛДЫҚТАРДЫ КӨБЕЙТУ ТЕОРЕМАСЫ.

Бұл теорема тәуелді немесе тәуелсіз екі және бірнеше оқиғалардың бірден пайда болу ықтималдығын есептеуге мүмкіндік береді.

Теорема. Екі тәуелді оқиға көбейтіндісінің ықтималдығы біреуінің шартсыз ықтималдығын сол оқиға пайда болды деп алынғандағы екінші оқиғаның шартты ықтималдығына көбейткенге тең:

P(AB)=P(A) (1)

P(AB)=P(B) (1’)

Дәлелдеу. Тең мүмкіндікті, үйлесімсіз және оқиғалардың толық тобын құрайтын nэлементарлық оқиғалардың А оқиғасына қолайлысы m болсын. Онда оның ықтималдығы мынаған тең:

P(A)=. (2)

Сондай‑ақ В оқиғасына қолайлы элементар оқиғалар саны k болсын, онда оның ықтималдығы мынаған тең:

P(В)= (3)

АВ /А және В/ оқиғасына қолайлы элементар оқиғалар саны r болсын, онда мұның ықтималдығы мынау:

P(AB)= (4)

Әрине, r≤m, r≤k.

Шартты ықтималдық мәні

Өйткені В оқиғасына қолайлы k элементар оқиғалардың /бұл жерде оқиғаларды тең мүмкіндікті, үйлесімсіз оқиғалар деп түсінеміз/ тек r элементар оқиғалары ғана А оқиғасына ғана тиісті. Осы сияқты,

Орындалатынын көрсетуге болады. Енді /4/ бөлшектің алымын да, бөлімін де m санына көбейтеміз, сонда

Ал, егер оның алымын да, бөлімін де k санына көбейтсек, мынау шығады:

Теореманы осмен дәлелденді деп есептейміз /1/ және /1'/ теңдіктерінің сол жақ бөліктері тең болғандықтан, оның оң жақ бөліктері өз ара тең болады:

Теорема оқиғалар саны екіден артық болғанда да орындалады.