Функцияның туындысы. Туындының геометриялық және физикалық мағынасы. Функцияның дифференциалы және оның қолдануы. Жоғарғы ретті туындылар мен дифференциалдар

Функцияның туындысы. Туындының геометриялық және физикалық мағынасы. Функцияның дифференциалы және оның қолдануы. Жоғарғы ретті туындылар мен дифференциалдар.

1. 
   Жоғары математика 2, Айдос Е.Ж., Алматы 2010;
   
2. 
   Жоғары математика 3, Айдос Е.Ж., Алматы 2010;
   
3. 
   Жоғары математика курсы. ІІ бөлім (Сызықты алгебра) Қ.Ә.Қасымов., Е.Ә.Қасымов., Алматы:1997, 2004
   
4. 
   Жоғары математика. 2 бөлім Әубәкір С.Б., Алматы: 2000ж.
   
5. 
   Жоғары математика канондары, Хасейнов Қ.А., Алматы 2010
   
6. 
   Темірғалиев Н. Математикалық анализ 1,2,3-том. Алматы: 1987 ж.
   

1. 
   Дифференциальное и интегральное исчисление. Бугров Я.С., Никольский С.М., Наука, 1985г.
   
2. 
   Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функция комплексного переменного.-М.Наука, 1985
   
3. 
   Высшая математика. Том 2. Гусак А.А.Мн.: Тетро Системс, 2001г.
   
4. 
   Краткий курс математического анализа для вузов. Бермант А.Ф., Араманович И.Г., М.:Наука, 1971г.
   
5. 
   Основы математического анализа Ильин В.А. Позняк Э.Г., М.: Наука, 1982г.,
   
6. 
   Дифференциальное и интегральное исчисление для вузов. Т.1. Пускунов Н.С., М.:Наука, 1985г.
   
7. 
   Дифференциальное и интегральное исчисление для вузов. Т.1. Пускунов Н.С., М.:Наука, 1985г.
   
8. 
   Сборник задач по курсу математического анализа. Берман Г.Н., М., Наука, 1985г.
   
9. 
   Сборник задач по математике для вузов: Линейная алгебра и основы математического анализа. Под редакцией Ефимова А.В. и Демидович Б.П., М., Наука. 1986 г.
   
10. 
    Сборник задач по математике для вузов: Линейная алгебра и основы математического анализа. Под редакцией Ефимова А.В. и Демидович Б.П., М.: Наука. 1986г.
    
11. 
    Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. ч.1. Под редакцией Рябушко А.П., Минск: Высшейшая школа, 2001г.
    
12. 
    Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. ч.2. Под редакцией Рябушко А.П., Минск: Высшая школа, 2001г.
    
13. 
    Сборник индивидуальных заданий по высшей математике ч.3. Под редакцией Рябушко А.П., Минск: Высшая школа, 2001г.
    
14. 
    Высшая математика в упражениях и задачах. Ч.1,2 Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевников Т.Я., М.: Высшая школа, 1986г.
    
15. 
    Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты) Кузнецов Л.А., М.: Высшая школа, 1983г.
    
16. 
    Линейная алгебра в вопросах и задачах Крутицкая Н.Е., Шишков А.А. М.: Высшая школа 1985г.
    
17. 
    Высшая математика. Ч. 1-5 Жевняк Р.М., Карпук А.А., Минск: Высшая школа, 1998
    

Математиканың негізгі түсініктерінің бірі нақты сандар. Орта мектепте нақты санды шексіз ондық бөлшек түрінде өрнектейді. Бірақ, математикада ондық жүйемен есептеумен қатар басқа да есептеу жүйелері бар (екілік, үштік, т.с.с. есептеу жүйелері). Сондықтан, бір нақты санды бірнеше түрде жазуға болады.

Математикалық талдау үшін нақты санның қандай түрде жазылуының ешқандай маңызы жоқ. Маңыздысы нақты сандар жиынының қасиеттері (теориясы). Сондықтан, нақты сандар жиынының негізгі қасиеттерінен басқа да қажетті қасиеттерін алуға болатынын көрсетіп, аксималарды пайдаланып нақты сандар жиынының теориясын құралық (әрине, нақты сандар жиынының теориясын құратын басқа әдістер де бар. Мысалы, Дедекинд қимасы арқылы, т.б.).

Бүтін оң сандар жиынының элементтерін санауға пайдаланса, ал оң нақты сандарды – шамаларды өлшеу үшін пайдаланады. Сондықтан, негізгі түсінік үшін оң нақты сандарды қосу амалын алалық. Алға қарай, оң нақты сандар жиынын R₊ деп белгілелік. Қандай-ма болмасын бір шаманы өлшеу үшін бірлік өлшемін таңдап алу керек. Бұл бірлік өлшемі үшін 1 санын алалық та, төмендегі аксиомаларды енгізелік:

1⁰. 1 деген сан оң нақты сан болады, 1R₊.

Енді қосындының қасиеттерін анықтайтын аксиомаларды енгізелік:

2⁰. (х,у)  R₊ бір пар нақты санды zR₊ нақты санына сәйкес келтіретін (х,у)z бейнелеуі беріліп, бұны х және у нақты сандарының қосындысы деп атап, х+у түрінде белгілейміз, яғни (х,у)  х+у бейнелеуін х және у сандарының қосындысы дейміз.

3⁰. R₊ жиынындағы қосу амалы коммутативті, яғни орындарын ауыстыруға болады: (х,у  R₊) х+у=у+х.

4⁰. R₊ жиынындағы қосу амалы ассоциативті: (х,у,z  R₊) (х+у)+z=х+(у+z).

5⁰. х+у қосындысы х-тан өзге: (х,у  R₊) х+ух.

Ал, х+у=у+х болғандықтан, 5⁰ х+уу.

1⁰-5⁰ аксиомалар R₊ жиынында реті деген ұғымды енгізуге мүмкіндік береді:

Нақты сандардың х<у реттігінің қасиеттері:

а) х  R₊ үшін х<х еш уақытта орындалмайды. Шынында да, егер де х<х орындалса, онда z  R₊ саны үшін х+z=х орындалар еді. Бұл 5⁰ аксимаға қайшы келеді.

б) Егер де х<у және у

в) Егер де х<у болса, у<х болмайды.

Шынында да, х<у және у<х  х<х. Бұл а) қасиетіне қайшы.

г) Егер де х<у болса, онда z  R₊ үшін х+z<у+z. Себебі, х<у болғандықтан, болса у=х+а, а R₊. Онда у+z=х+а+z =(х+z) +а  х+z<у+z.

6⁰. х  R₊ және у  R₊ үшін х=у, х<у, х>у қатынастарының тек қана біреуі орындалады. Бұл аксиоманы пайдаланып R₊ сандары үшін алу амалын енгізуге болады.

д) Егер де х<у болса, R₊-тен тек қана бір z санын табуға болады да, х+z=у теңдігі орындалады.

7⁰. Кез келген х R₊ және nN сандары үшін х =у+у+...+у (n- қосылғыштар) орындалатын у  R₊ санын табуға болады.

у  nz>ny). Бұндай у санын деп белгілейді. Бұдан жазуы санын өрнектейді. теңдігі тек қана теңдігі орындалғанда дұрыс болады және . Бұларды дәлелдеудің қиындығы жоқ. - түріндегі сандарды оң рационал сандар деп атайды да, ондай сандардың (рационал) жиынын Q₊ деп белгілейміз. -санын деп қысқаша жазамыз.

Анықтама 2. Егер де екі Х, У  R₊ жиындары беріліп, бұл жиындардың хХ және уУ элементтері үшін ху теңсіздігі орындалса (хух<у немесе х=у), онда Х жиыны У жиынының сол жағында орналасқан дейді.

Анықтама 3. хХ және уУ жиындарының элементтері үшін хсу теңсіздігі орындалса, онда с элементі Х және У жиындарын бөліп тұрады деп атайды.

х²=2 қанағаттандыратын сандарды иррационал сандар деп атайды.

8⁰. (R₊ жиынының үзіліссіздігі). Егер де Х және У жиындары бос жиындар болмай, Х,У R₊, Х жиыны У жиынының сол жағында болса, онда бұл екі жиынды бөліп тұратын ең болмағанда бір с саны болады.

Сонымен, 1⁰-8⁰ аксиомалар R₊ жиынының барлық қасиеттерін береді.

Нақты сандар жиыны және оның қасиеттері.

жиынын тұрғызып ( -оң нақты сандар сан жиыны), оған 0-ді қосып, -жиынын алдық.

Бірақта жиынында кез-келген уақытта алу малын орындауға болмайды. Бұл амалды әр уақытта орындау үшін -жиынына сандарын енгізелік, . -түріндегі санды теріс сандар деп атайды, әрине . Бұндай сандар жиынын деп белгілейік. Сонда жиынын аламыз. Бұл жиынын нақты сандар жиыны деп атайды.

жиынында қосу және көбейту амалдарын мектептегідей енгізуге болады.

Бұл амалдар үшін төмендегі қасиеттер орындалады:

жиынында реттік , қасиеті де орындалады және болса, онда .

Бұлардан басқа жиынында екі жиынның бөлектеу нүктесі және оның тек қана біреу екендігі туралы теоремалар орындалады да, олардың дәлелдеулерінің жиынындағы дәлелдеулерден айырмашылығы жоқтың қасы.

Анықтама 4. шартын қанағаттандыратын -санын -нақты санының модулі деп атайды.

Мысалы, ;

Модульдің қасиеттері:

1. үшін:

2. үшін: , ,

3. үшін:

4. үшін:

5. үшін:

Рационал сан болмайтын барлық нақты сандарды иррационал сандар деп атайды. Мысалы, , , және т.с.с. Барлық иррационал сандар жиынын деп белгілейміз. Рационал сандар үтірден кейінгі цифрлардың саны шектелген немесе периодты ондық бөлшекпен өрнектеледі. Мысалы, ; . Ал иррационал сандар периодсыз, шексіз ондық бөлшекпен өрнектеледі. Мысалы,

Сонымен, натурал сандар жиынын -деп, оң рационал сандар жиынын - , ал теріс рационал сандар жиынын - , ал теріс емес рационал сандар жиынын - деп (-ке 0 санын енгізу), барлық иррационал сандар жиынын - деп (жоғарыдағы сияқты: ) барлық нақты сандар жиынын - деп () белгілейміз.

Анықтама. Функция деп кез келген х элементіне, бірінші элементі осы х болатындай, біреуден артық емес (x,y) пары сәйкес келетін (x,y) парларының f жиынын атайды. Y=f(x). Парлардың бірінші элементтер (x) жиыны анықталу облысы деп, ал екінші элементтер жиыны (y) мәндер облысы деп аталады. Х аргумент деп аталады.

Анықтама. Егер кез келген х мәніне сәйкес f(-x)= f(x) теңдігі орындалса, онда оны жұп функция деп атайды. Егер f(-x)= - f(x) болса, огда оны тақ функция деп атайды.

Мысалы, f(x)=. R (кез келген х) үшін

f(-x)=== f(x) орындалады. F функциясы жұп болады.

f(x)=. R (кез келген х) үшін

f(-x)= == -f(x) орындалады. F функциясы тақ болады.

Енді Y=f(x) функция үшін әр түрлі жағдайларды қарастырамыз.

1. f (x) орнегін алу үшін х аргументі мен тұрақты сандарға саны шектеулі алгебралық амалдар (қосу, алу, көбейту, бөлу, түбір табу) қолданылатын болса, онда өрнекті алгебралық өрнек деп атайды.

Мысалы у=формуласымен берілген функция алгебралық функция болады.

Алгебралық f(x) өрнегін құру үшін түбір табу амалы қолданылмаса, оны рационал өрнек деп атайды

Мысалы, у=рационал функция болады.

Функцияның анықталу облысы дегеніміз функция -тің анықталған нақты сан болатын аргумент -тің сан мәндерінің жиыны.

Егерде жиынында берілген функциясы , (1) теңдігін қанағаттандырса, онда функциясы жиынында жұп функция деп аталады. Ал, бұл функция ,(2) теңдігін қанағаттандырса, онда функциясы жиынында тақ функция деп аталады.
Негізгі элементар функциялар:

1. 
   Тұрақты функция. Бұл функция f(x)=Cформуламен береді. Бұл функциянын анықталу облысы бүкіл сандық өс (R жиыны), ал өзгеру облысы тек бір ғана тұрақты С санынан тұрады.
   
2. 
   Дәрежелік функция. Бүтін қөрсеткіш функция деп f(x)=хⁿ функциясының атайды.
   
3. 
   Көрсеткіш функция. Көрсеткіш функция деп у=a^x функциясын атайды. Анықталу облысы бүкіл сандық өс (R жиыны). Ал мәндер облысы нақты оң сандар жиыны болады.
   
4. 
   Логарифмдік функция. Негізгі а (a) болатын логарифмдік функция деп көрсеткіш функцияға кері функцияны атайды және оны былай белгілейді y=log_ax
   
5. 
   Тригонометриялық функциялары.Y=cosx, y=sinx, y=tgx,y=ctgx.
   
6. 
   Кері тригонометриялық функциялары.y=arccosx, y=arcsinx, y=arctgx, y=arcctgx.
   

2-3 дәрістер. Шектер теориясы: негізгі қасиеттер және шектің бар болуы туралы белгілері; жоғарғы және төменгі шектері; шектің бар болуы туралы Коши критерийі.

жүктеу/скачать 2,77 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: