Ықтималдықтар теориясының негізгі ұғымдарын оқыту әдістемесі

Бiртектi кездейсоқ оқиғалардың заңдылықтарын зерттейтiн математиканың бөлiгiн ықтималдықтар теориясы деп атайды. Ықтималдықтар теориясының негiзгi «оқиға», «ықтималдық», «кездейсоқ оқиғалар» ұғымдарын оқытуға тоқталайық [95].

Ықтималдықтар теориясының «оқиға» ұғымы жиын ториясымен байланысты.

Оқиға деп қарапайым жағдайлардың соңғы нәтижесі (исход) жиынының ішкі жиынын түсінеді. «Оқиға» ұғымының анықтамасын енгізу үшін оқушылар жиын теорсының элементтерімен және ықтималдық теориясының теориялық негізімен таныс болуы керек. Жиын ториясы мектеп математика курсында оқылмайды. Бірақ бұл мәселені бастауыш мектепке арналған Л.Г. Петерсонның «Математика» оқу құралында берілген жиын теориясынан алғашқы мағлұматтарын қолданып шешуге болады. Онда «жиын» ұғымы, жиындарға қолданылатын амалдар (бірігу, қиылысу, жиындардың айырымы және олардың қарапайым қасиеттері) келтірілген. Бұл материалды оқыту әдістемесі өткен ғасырдың 60-70 жылдарындағы 4-5 сыныптарға арналған А.Н. Колмогоровтың редакциясындағы математика оқулығын оқытқан әдістемемен бірдей. 9-сыныпта ықтималдық теориясын оқитын оқушылар Л.Г. Петерсонның «Математика» оқу құралымен оқыса, ықтималдықтар теориясының негізгі ұғымдарын (оқиға, оқиғаларға қолданылатын амалдар және олардың қарапайым қасиеттері) енгізу анағұрлым жеңіл болады. Болмаса, мұғалім жиын теориясының мағлұмтарымен оқушыларды алдын-ала оқыту - әдістемелік мәселесін шешуі керек. Ықтималдықтар теориясының негізгі ұғымдарын оқытудың ұтымды логикалық негізделген

әдістемелік жолы - жиын теориясының қажетті ұғымдарының базасында ықтималдықтар теориясының негізгі ұғымдарын енгізу.

«Оқиға» ұғымын енгізудің тағы бір психологиялық тұрғыдан қиын жері – оқушылар оқиғаны «тұрмыстық» лексика мағынасында, яғни кеңістікте белгілі бір уақытта болған тұрмыстық жағдай деп қабылдайды. Әрмен қарай Е-тәжірибе (эксперимент) мен А-оқиға ұғымдарын ажыратуға үйрету керек. А-оқиғасын белгілі бір S- кешенді шартын ыңғайластыратын -ді соңғы нәтижесі (исходы) деп түсіну керек. Оқушылар үшін оқиға деп тәжiрибе ұғымдары бірдей.

«Оқиға» ұғымын қалыптастыруды қарапайым «теңгенi лақтыру», «ойын сүйегін лақтыру», «көздеп ату» сияқты ықтималдық моделдерді қарастырудан бастау керек. Оның нәтижесінде оқушылар «қарапайым исход» ұғымын түсінеді.

Оқиғалар үш түрге бөлiнедi: ақиқат, мүмкiн емес және кездейсоқ оқиға.

Тәжiрибе нәтижесiнде мiндеттi түрде пайда болатын оқиғаны ақиқат оқиға деп атайды. Егер оқиға мүлде пайда болмайтын болса, онда оны мүмкiн емес деп атайды.

Тәжiрибе нәтижесiнде пайда болуы да, пайда болмауы да мүмкiн оқиғаны кездейсоқ оқиға деп атайды. Мысалы, “теңгенi бiр рет лақтырғанда герб жағымен түстi” деген оқиға кездейсоқ оқиға болады. Кездейсоқ оқиғалар латынның бас әрiптерiмен белгiленедi.

Егер бiр оқиғаның пайда болуы, екiншiсiнiң пайда болуын жоққа шығармайтын болса, онда оқиғаларды үйлесiмдi деп айтады. Мысалы, ойын сүйегiн бiр рет лақтырғанда “тақ ұпай түстi” және “5 ұпай жағымен түстi” деген оқиғалар үйлесiмдi оқиғалар. Егер бiреуiнiң пайда болуы екiншiсiн жоққа шығаратын болса, онда оқиғаларды үйлесiмсiз деп айтады. Мысалы, ойын сүйегiн бiр рет лақтырғанда тақ ұпай түсуi жұп ұпай жағымен түсуiне кедергi жасайды. Cондықтан “тақ ұпай түстi” және “жұп ұпай түстi” деген оқиғалар өзара үйлесiмсiз.

Егер оқиғалардың бiреуiнiң пайда болуы екiншiсiнiң пайда болуынан артықшылықта болмайтын болса, онда оларды тең мүмкiндi деп атайды.

Егер тәжiрибе нәтижесiнде пайда болған оқиға ақиқат оқиға болса, онда ол жалғыз мүмкiндiктi оқиға деп аталады.

Жалғыз ғана мүмкiндiктi оқиғалардың жиынтығын оқиғалардың толық тобы деп атайды. Басқаша айтқанда, тәжiрибенiң әрбiр қайталануында оқиғалардың ең болмағанда бiреуi пайда болып отырса, онда оқиғалар толық топ құрайды.

Бiр-бiрiне үйлесiмсiз екi оқиғаны қарама-қарсы оқиғалар деп атайды. Егер деп оқиға белгiлесе, онда деп оған қарама-қарсы оқиғаны белгiлейдi.

Кезкелген тәжiрибеде бiр-бiрiне қайшы келетiн немесе қолдайтын нәтижелер көп болуы мүмкiн. Айталық, жасалатын тәжiрибеде бiр және тең мүмкiндi, үйлесiмсiз мүмкiндiктерi (жағдайлары) бар болсын.

Егер оқиғасы осының жағдайында пайда болып, қалған жағдайда пайда болмайтын болса, онда оқиғасына жағдайы қолайлы деп айтады.

Анықтама. оқиғасының пайда болу ықтималдығы деп қолайлы жағдайлардың санының - барлық бiр және тең мүмкiндi, үйлесiмсiз жағдайлардың санына қатынасын атайды, яғни

.

Бұл анықтаманы бiрiншi француз математигi Лаплас берген және оны ықтималдықтың классикалық анықтамасы деп атайды.

Осы анықтамадан шығатын кейбiр қасиеттердi атап өтелiк.

1. 
   Ақиқат оқиғаның ықтималдығы бiрге тең болады.
   
2. 
   Мүмкiн емес оқиғаның ықтималдығы нөлге тең болады.
   
3. 
   Кездейсоқ оқиғаның ықтималдығы арасында болады.
   

Жоғарыда берiлген ықтималдықтың классикалық анықтамасы көп қолданыла бермейдi. Егер оның бiр мүмкiндi, тең мүмкiндi және үйлесiмсiз шарттарының бiреуi орындалмаса, анықтама жұмыс iстемейдi. Cондықтан, көп жағдайда басқа анықтамаларға көшедi. Cоның бiрi– ықтималдықтың статистикалық анықтамасы.

мұндағы - оқиғаның пайда болған саны, - барлық тәжiрибенiң саны.

Ықтималдық сияқты, болады [96].

Осы жерде айтып кетейiк: ықтималдықты тәжiрибе жасамай тұрып есептейдi, ал салыстырмалы жиiлiктi тәжiрибеден кейiн санайды.

Бұл анықтаманы ықтималдықтың статистикалық анықтамасы деп атайды.

Ықтималдықты есептеу үшiн, кейбiр жағдайда, комбинаториканың формулаларын қолдануға тура келедi. Осы комбинаториканың үш түрлi формулаларын келтiрейiк.

Орналастырулар санын табу үшiн