Оқулық Алматы «Атамұра» 2018 математика 1-3417

175
 
1) Тура пропорционалдық формуласын жазыңдар;
 
2) Графиктердің өзара орналасуларын талдап түсіндіріңдер.
 
а) 
А(–2; 3), В(2; 3); 
ә) 
А(4; 3), В(4; –3).
1355.  Қабырға сағатының маятнигі 15 минутта 900 рет тербеледі.
 
Қабырға сағаты маятнигі тербеліс санының (
n) уақытқа (t) тура 
пропорционалдығының формуласын жазыңдар.
1356.   9.32-суретте  ағаш  бағана  бойымен  ұлудың  қозғалыс  графигі 
кескінделген. Ұлу 12 минутта ағаш бағананың төбесіне жетеді.
 
График бойынша мына сұрақтарға жауап беріңдер:
 
1. Ағаш бағананың биіктігі неше метр?
 
2. 8 минутта ұлу ағаш бағана бойымен неше метрге жылжыды?
3
2
1
0
2
4
6
8
10
h (м)
D (дм)
3,14
6,28
9,42
12,56
15,7
1
2
3
4
5
t (мин)
С (дм)
12
9.32-сурет
9.33-сурет
 
3. Пропорционалдық коэффициенті неге тең?
 
4.  Ұлудың  ағаш  бағана  бойымен  жылжу  биіктігінің  (
һ)  оның 
қозғалыс  уақытына  (
t)  тура  пропорционалдығын  формуламен 
жазыңдар.
1357.  9.33-суретте  шеңбердің  ұзындығының  (
С)  оның  диаметріне  (D) 
тура пропорционалдығының графигі берілген.
 
Графиктен:
 
1) 
D  =  2  дм-ге  болғанда  шеңбердің  ұзындығы  С-ның  мәнін 
табыңдар. 
 
2) 
С = 12,56 дм-ге болғанда D-ның мәні неге тең?
 
3) Пропорционалдық коэффициент неге тең екенін табыңдар.
 
Шеңбердің  ұзындығының  (
С)  оның  диаметріне  (D)  тура 
пропорционалдығының формуласын жазыңдар.
0

176
1358*.
  Есепті тиімді тәсілмен шығарыңдар. 
 
Үш  бала  бақтан  терген  алмаларын  бөліп  алды.  Бірінші  бала 
барлық  алманың  25%-ін  және  5  алманы  алды.  Екінші  бала 
қалғанының 60%-ін және 2 алманы алғанда, үшінші балада 20 
алма қалды. Балалар бақтан барлығы неше алма терді?
 
тақырыптың түйіні.
 
тура пропорционалдық және оның графигі.
 
y=kx формуласымен берілген х және у шамаларының тәуелділігі 
тура пропорционалдық деп аталады. мұндағы 
k– нөлге тең емес сан.
k– пропорционалдық коэффициенті.
тура  пропорционалдықтың  графигі 
координаталар  басы 
О(0;  0)  нүктесі 
арқылы өтеді.
9.34-суретте 
А(4; 2) нүктесі және коорди-
налар басы 
О(0; 0) нүктесі арқылы өтетін 
у=0,5х 
тура 
пропорционалдығының 
графигі берілген. Мұндағы
k
y
x
k
=
=
=
=
;
, .
2
4
1
2
0 5
1347.
 1) –1; 1; 3) –4; 4. 4) –2; 2. 
1350.
 1) 2 км/сағ. 
1353.
 2) 
y = –1,5x; 
y = 3x; y = x. 
1355. 
2) 
n = 60t. 
1358.
 Барлығы 80 алма.
IX тарауды қайталауға арналған жаттығулар
                    а
1359.
 9.35-суретте квадраттың ауданының оның 
қабырғасының  ұзындығына  тәуелділігінің 
графигі көрсетілген.
 График бойынша:
 1)  қабырғасы  2  см  квадраттың  ауданын 
табыңдар;
 2)  ауданы  16  см
2
  квадраттың  қабырғасын 
табыңдар.
 Тәуелділікті формуламен жазыңдар.
1360. 
 Ауа  температурасының  1  тәулік  ішін-
дегі өзгерісі 17-кестемен берілген:
9.34-сурет
y
O
x
А
y =
0 ,
5 x
9.35-сурет
0

177
17-кесте
Уақыт (сағ)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
Температу-
ра (°С)
–2
–3
–4
–3
–2
3
6
7
7
5
3
1
–2
 
1) Сағат 2-де; 8-де; 14-те және 24-те ауаның температурасы қандай 
болған?
 
2) Сағат нешеде ауаның температурасы –4°С; –3°С; 5°С; 1°С бол-
ды?
 
3)  Тәулік  ішіндегі  ең  жоғарғы  температура  неше  градус?  Ең 
төменгі температура неше градус?
1361.
  
y=kx  тура  пропорционалдығының  графигі  А  нүктесі  арқылы 
өтеді.
 
Егер 1) 
А (2; 3);   2) А (3; 9);    А(5;  8)  болса,  k  пропорционал- 
дық коэффициентінің мәнін табыңдар.
 
1362.
 
y
x
=
2
3
 тура пропорционалдығының графигін салыңдар.
 
Графиктен мынаны табыңдар:
 
1) 
х-тің 3-ке; 6-ға; 9-ға тең мәндеріндегі y-тің мәнін;
 
2) 
х-тің қандай мәнінде у 2-ге; 0-ге; 4-ке тең?
1363.
 
А(5; 4); В(2; 5); С(–5; –4) D(9; 3) нүктелерінің қайсылары у=0,8х  
формуласымен  берілген  тура  пропорционалдықтың  графигіне 
тиісті?
1364.
  3 құбырдан 3 минут уақытта 3 т су ағады. 5 құбырдан 10 т су 
неше минутта ағады?
 
а. 4 минутта; В. 5 минутта; с. 6 минутта; D. 8 минутта.
3
x+2y–8=0 теңдеуінде х және у екі айнымалы (белгісіз) бар. Мұндай теңдеуді шешу 
үшін:
1) 
у-і бар мүшені теңдіктің сол жағында қалдырып, басқа мүшелерін қарама-қарсы 
таңбамен теңдіктің оң жағына шығару керек: 2
у=–3x+8;
2) теңдеудің екі жақ бөлігін де 
у-тің коэффициентіне бөліп, у-ті х арқылы өрнектеу 
керек: 
y=–1,5x+4;
3) 
x-ке қандай да бір мән беріп, оған сәйкес у-тің мәнін есептеп табу керек. Мы-
салы, егер:
x=1 болса, y=2,5;
x=2 болса, у=1;
х=3 болса, у=–0,5 және т.б.
3
x+2у–8=0 теңдеуінің шешімдері: х=1 мен у=2,5; х=2 мен у=1; x=3 пен
у=–0,5 т. б. сандар жұптары.
2
х+у–3=0 теңдеуінің шешімдерін табыңдар.
12–3417

178
Х тарау. екі айнымалысы Бар сызықтық теңдеулер 
және олардың жүйелері 
10.1. екі айнымалысы бар сызықтық теңдеу 
Мысалы, екі санның қосындысы, олардың айырмасынан 3 есе артық 
болсын. Берілген шарт  бойынша теңдеу құрайық: 
х – бірінші сан, 
у – екінші сан
болсын,  сонда 
х+у=3(x–y).  Жақшаны  ашып,  ықшамдап,  –2х+4у=0 
теңдеуін аламыз. 
Мұндай теңдеуді 
екі айнымалысы бар сызықтық теңдеу деп атайды. 
Мысалы, 3
х+2у+6=0;  7x–4y–8=0; –x+2y–4 = 0 теңдеулері – екі ай-
нымалысы (немесе екі белгісізі) бар сызықтық теңдеулер. Бұл теңдеулер 
жалпы түрде 
ax+by+c=0 түрінде жазылады.
ax+by+c=0  түріндегі  теңдеулер  екі  айнымалысы  бар  сызықтық 
теңдеулер деп аталады. мұндағы х пен у – айнымалылар, 
ал 
а, b және с – қандай да бір сандар. 
Сызықтық  теңдеудегі  айнымалылардың  алдындағы
  а  мен  b 
көбейткіштері
 коэффициенттер деп, ал с бос мүше деп аталады. 
Шешімдері бірдей болатын екі айнымалысы бар теңдеулер 
мәндес 
теңдеулер  деп  аталады.  Шешімдері  болмайтын  екі  айнымалысы  бар 
теңдеулер де мәндес теңдеулерге жатады. 
Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеудің мынадай қасиеттері бар. 
1-қасиет. 
Теңдеудегі  қосылғыштың  таңбасын  қарама-қарсы  таңбаға 
өзгертіп, оны теңдеудің бір жағынан екінші жағына көшіргенде берілген 
теңдеу мәндес теңдеуге түрленеді. 
2-қасиет. 
Теңдеудің  екі  жағын  да  нөлден  өзге  бір  санға  көбейтсек  немесе 
бөлсек, берілген теңдеу мәндес теңдеуге түрленеді. 
Мысалы, 6
х+5у–10=0 теңдеуін шешуді қарастырайық. 
Теңдеудің  қасиеттерін  пайдаланып,  бір  айнымалыны  (
у-ті)  екінші 
айнымалы (
х) арқылы өрнектейміз:
5
у=–6х+10; 
у=–1,2х+2. 
Мұндағы 
у=–1,2х+2 теңдеуі 6х+5у–10=0 теңдеуімен мәндес. 
у=–1,2х+2  теңдеуінің  шешімдерін  табу  үшін  х-ке  кез  келген  мән 
беріп, оған сәйкес 
у-тің мәнін табу керек.
Егер  
х=1 болса, у=0,8; 
   
х=2 болса, у=–0,4; 
   
х=3 болса, у=–1,6. 

179
Демек, айнымалылардың 
   
 
х=1; у=0,8; 
   
 
х=2; у=–0,4;
   
 
х=3; у=–1,6
мәндер жұптары осы теңдеудің шешімі болады. 
ax + by + c = 0 теңдеуін тура теңдікке 
айналдыратын айнымалылардың мәндерінің жұбы осы 
теңдеудің 
шешімі деп аталады. 
Екі  айнымалысы  бар  сызықтық  теңдеудің  шешіміндегі  айны-
малылардың мәндер жұбын жақшаға алып жазу келісілген. 
Жақша ішіне бірінші орынға 
х-тің мәні, екінші орынға у-тің мәні 
жазылады. 
Мысалы, 6
х+5у–10=0 теңдеуінің шешімдері болатын сандар жұбы 
мына түрде жазылады: (1; 0,8), (2; –0,4), (3; –1,6) және т.б. 
у=–1,2х+2 
теңдеуі бойынша 6
х+5у=10 теңдеуінің шектеусіз көп шешімдерін табуға 
болады.
есеп.  Оқушылар  шырпы  таяқшаларынан  үшбұрыштар  және  квад-
раттар  құрастырулары  керек.  Оқушылардың  әрқайсысына  30  шырпы 
таяқшасы таратылып берілді. Әрбір оқушы осы шырпы таяқшаларының 
барлығын  пайдаланғанда  неше  үшбұрыш  және  неше  квадрат  құрас-
тырады?
Ш е ш у і . 
у – үшбұрыштар саны, ал х – квадраттар саны. Есептің 
шарты  бойынша  3
у+4х–30=0    екі  айнымалысы  бар  сызықтық  теңдеу, 
у-ті х арқылы өрнектейік: 3у=30–4х, 
 
y
x
=
−
10
4
3
.
Егер 
х=3 болса, у=6. Егер х=6 болса, у=2.
Есептің өзге шешімдері жоқ. 
Жауабы: әрбір оқушы 3 квадрат және 6 үшбұрыш немесе 6 квадрат 
және 2 үшбұрыш құрастырады.
1. Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеуге анықтама беріңдер. 
2. Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеулердің қасиеттерін айтыңдар.
3. Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеудің шешімі дегеніміз не? 
1365.   Мына  теңдеулердің  қайсысы  екі  айнымалысы  бар  сызықтық 
теңдеу (а у ы з ш а ): 
 
1) 0,5
х+2у–8=0;   
3) 
х–у–4=0;   
5) 
ху+2х–8=0; 
 
2) 
ху=12;   
 
4) 
х
2
+
у
2
=13;   
6) 3
х–5у–14=0? 

180
а 
1366.   1) 
х=–1 және у=3; х=–8 және у=6 мәндер жұптарының қайсысы 
х+у–2=0 теңдеуінің шешімі болады? 
 
2) 
х=0,5 және у=3; х=–3 және у=2 мәндер жұптарының қайсысы 
2
х+у–4=0 теңдеуінің шешімі болады?
1367.   1) (3; 0), (4; –2), (5; –2), (–1; 8) сандар жұптарының қайсылары 
2
х+у–6=0 теңдеуінің шешімі болады?
 
2)  (2;  1),  (–3;  –11,5),  (–1;  6),  (3;  3,5)  сандар  жұптарының 
қайсылары 5
х–2у–8=0 теңдеуінің шешімі болады? 
1368.   Теңдеудегі 
у  айнымалысын  х  арқылы  өрнектеп,  теңдеудің  кез 
келген екі шешімін табыңдар: 
 
1) 
х+у–3=0; 
3) –2
х+у–7=0; 
   5) 4
х–у–3=0; 
 
2) 
х+4у+12=0; 
4) 
х–3у–6=0;  
   6) –
х+2у–5=0. 
1369.  Теңдеудегі 
х  айнымалысын  у  арқылы  өрнектеп,  теңдеудің  кез 
келген екі шешімін табыңдар: 
 
1) 
х–5у–3=0; 
3) 4
х–у–8=0;  
   5) 5
х+у–10=0;
 
2) 2
х+7у–10=0; 
4) 
х+3у+2=0; 
   6) –
х+8у+3=0. 
1370.   Мына мәндер жұбы шешімі болатындай екі айнымалысы бар бір 
сызықтық теңдеу құрыңдар: 
 
1) 
х=1 және у=4;   
3) 
х=5 және у=2;
 
2) 
х=–2 және у=3;  
4) 
х=3 және у=–1.
1371. 
 
Теңдеудің шешімі болатын 
х пен у айнымалыларының мәндерінің 
үш  бүтін сан жұбының кестесін құрастырыңдар: 
 
1) 
y = 4 + 5x; 
 
2) 
y = 3 + 2x. 
1372.   Сәкеннің  50  теңгелік  және  100  теңгелік  монеталардан  400  тг 
ақшасы бар. Сәкеннің неше 50 теңгелік және неше 100 теңгелік 
ақшасы болуы мүмкін? Есептің неше шешімі бар?
1373.   Мәдина  әрқайсысы  7  тг-ден  қарындаштар  және  әрқайсысы  
35  тг-ден  қаламсаптар  сатып  алды.  Мәдина  барлығына  210  тг 
ақша  жұмсады.  Мәдина  неше  қарындаш,  неше  қаламсап  сатып 
алуы мүмкін?
1374.  7-ге  еселік,  13-ке  еселік  екі  санның  қосындысы  61-ге  тең.  7-ге 
еселік санды табыңдар. 

181
1375. 
  Теңдеуді шешіңдер: 
 
1) 
x
= 6;    
3)  4
8
x
= ;    
5)  x +
=
1
4;
 
2) 
− =
x
7;    
4)  5
3
x
= ;     
6)  x + =
3 7.
В 
1376.   Төмендегі  теңдеулерден  шешімі 
х=3,  у=2  болатындарын  теріп 
жазыңдар: 
 
1) 6
х–2,5у–13=0;   
3) 
1
3
3 5
8
0
x
y
+
− =
,
;   
 
 
2) 0,3
х–4у–10,8=0; 
4) 0,6
х–у+0,2=0.
1377.   5
х+2у=60 теңдеуінің шешімі болатын х пен у-тің мәндерінің бес 
жұбының кестесін құрастырыңдар.
1378.  Теңдеудегі 
у айнымалысын х арқылы өрнектеп, теңдеудің қандай 
да бір екі шешімін табыңдар:
 
1) 
3
8
3
0
x y
+ − = ;   3) 
5
7
1 5
0
x y
+
=
− ,
;
  5) 
1 4
2
0
,
;
x y
+ − =
 
 
2) 
2 5
4
0
,
;
x y
+
=
−
  4) 
1 75
3
0
,
;
x y
+ − =
  6) 
1
3
1
0
x y
+ − = .
 
1379.   1)  7
x+2у–14=0  теңдеуінің  шешімдері:  (1;  у),  (2;  у),  (0;  у).  у-ті 
табыңдар.
 
2) 5
х+4у–15=0 теңдеуінің шешімдері: (х; 0), (х; 5); (х; –5). х-ті 
табыңдар.
1380.
   Квадрат  пішінді  гүлзар  диагональдарына  қатысты  симметрия-
лы  73  түп  қызғалдақ  гүлі  отырғызылды.  Квадраттың  диаго-
нальдарының  қиылысуында  кем  дегенде  неше  түп  қызғалдақ 
гүлі отырғызылуы мүмкін?
1381.   Дамирдің үйінің ауласында оның қояндары мен тауықтары жайы-
лып жүрді. Қояндар мен тауықтардың барлығы аулаға кірген ит-
тен қашып, ауладан шығып кетті. Дамир қояндардың әрқайсысын 
2  мин  қуса,  тауықтардың  әрқайсысын  3  мин  қуып,  барлығын  
0,5  сағатта  аулаға  қайта  кіргізді.  Дамирде  неше  тауық,  неше 
қоян бар? Есептің неше шешімі бар?
1382.   7-ге  бөлгенде  1  қалдық  қалатын,  ал  8-ге  бөлгенде  2  қалдық 
қалатын ең кіші натурал санды табыңдар. 

182
1383. 
  Амалдарды орындаңдар:
 
63 63 21 35 35 7
1
1
6
2
6 1 02
6
3
5
3 8 3 2 1
3
5
,
:
,
:
·
,
:
· ,
, :
.
−
−
−




+
+
 
 
  
 
 
с
1384.  1) 
х=–3 пен у=4 мәндер жұбы  ах+3у–6=0 теңдеуінің;
 
2) 
х=0,5 пен у=2 мәндер жұбы   ax
y
+
=
1
8
1
–1=0 теңдеуінің;
 
3) 
х=2 мен у=4,5 мәндер жұбы  –ах–2у–11=0 теңдеуінің шешімі 
болады. Теңдеудегі 
х-тің коэффициенті а-ның мәнін табыңдар.
1385.   1) 
х=2 мен у=1,5 мәндер жұбы  
5
8
4 75
x by
−
= − ,
 
+ 4,75=0 теңдеуінің;
 
2) 
х=0,3 пен у=2 мәндер жұбы  6х+bу–2,3=0 теңдеуінің; 
 
3) 
x
= 1
2
3
мен 
у=–2  мәндер  жұбы  3х–bу–7=0  теңдеуінің  шешімі 
болады. Теңдеудегі 
у-тің коэффициенті b-ның мәнін табыңдар.
1386.   Екі  қаланың  арасы  54  км.  Велосипедші  алғашқы  сағаттарда 
12  км/сағ  жылдамдықпен  жүрсе,  келесі  сағаттарда  10  км/сағ 
жылдамдықпен  жүрді.  Велосипедші  12  км/сағ  жылдамдықпен 
неше сағат жүрді? 10 км/сағ жылдамдықпен неше сағат жүрді?
1387.   Дүкенге  5  литрлік  және  7  литрлік  бидондармен  106  л  май 
әкелінді. Май неше 5 литрлік және неше 7 литрлік бидондармен 
әкелінді? Кестені толтырыңдар: 
5 литрлік бидондар 
7 литрлік бидондар
1388*. Балалар бақшасына 3 700 теңгеге қонжықтар, қуыршақтар және 
доптар, барлығы 12 ойыншық сатып алынды. Қонжықтың бағасы 
500 тг, қуыршақтың бағасы 300 тг, доптың бағасы 200 тг. Бала-
лар бақшасына неше қонжық, неше қуыршақ және неше доп са-
тып алынды? Кестені толтырыңдар:
Қонжықтар
      6
1
Қуыршақтар
      7
Доптар 
    5

183
1389.
    Амалдарды орындаңдар: 
 
1)  2
3
2 1
1
2
+
−
;  
 
2) 
3
1
2
1
5
3
7
1
2
1
5
7
8
+
−
−
+
;   
 3)  5
1
−
.  
тақырыптың түйіні.
екі айнымалысы бар сызықтық теңдеу.
ах+by+c=0 (мұндағы х және y – айнымалылар, а, b, c – қандай да 
бір сандар) түріндегі теңдеу  
екі айнымалысы бар сызықтық теңдеу 
деп аталады.
Мысалы, 2
х–у–3=0 екі айнымалысы бар сызықтық теңдеу. х және 
y – айнымалылар.
   
 
y=2x–3.
  Егер 
х=4  болса,  у=5;  егер  х=6  болса,  у=9;  егер  х=8  болса,  у=13 
және т.с.с.
екі айнымалысы бар сызықтық теңдеудің шешімі – осы теңдеуді тура 
санды теңдікке айналдыратын айнымалылардың мәндерінің жұбы.
  2
х–у–3=0  теңдеуінің  шешімдері:  (4;5);  (6;9);  (8;13);(10;17)  және 
т.с.с.
▲
1372.
 (2;3); (4;2); (6;1).    
1273.
 (25;1); (20;2); (15;3);  (10;4); (5;5).
     
1379.
 1) 3,5; 0;7; 2) 3;–1;7. 
1381.
 4 шешімі бар. 
     
1383.
 0,1. 
1384.
 1) 2; 2) 1,5;  3) –10:
     
1385.
 1) 4; 2) 0,25; 3) 1.   
1386.
 2 сағ; 3 сағ.  
     
1389. 
1) 8; 2) 0,5;   3) 4,72.
  
  
  
                         
10.1-суретте 
1,5
х–у+3=0 
теңдеуі 
түрінде 
жазылған 
ах+bу+с=0 
теңдеуінің 
графигі 
берілген.  Мұндағы 
а-ның,  b-ның  және  с-ның 
мәнін  табыңдар.  Демек, 
ах+bу+с=0  теңдеуінің 
графигі қандай сызық? 
4
1
−
3
1
−
2
1
2
−
10.1-сурет
y
x
O

184
10.2. екі айнымалысы бар сызықтық  
теңдеудің графигі 
Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеудің шешімі 
х пен оған сәйкес 
у-тің  мәндерінен  тұратын  сандар  жұбы  екені  белгілі.  Екі  айнымалы-
сы бар сызықтық теңдеудің шешімдері болатын сандар жұбының (
х; у) 
әрқайсысына координаталық жазықтықта бір ғана нүкте сәйкес келеді.
Осындай  нүктелер  жиыны  екі  айнымалысы  бар  сызықтық  теңдеудің 
графигін құрайды. 

жүктеу/скачать 7,07 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: