Оқулық Алматы «Атамұра» 2018 математика 1-3417

78
1024.   6.7-суреттегі 
∠
=
°
EOD
40
; 
∠
=
°
EOB 130
. 
АОС бұрышының градус-
тық өлшемін табыңдар.
В  
1025.  1)  Екі  түзудің 
О  нүктесінде  қиылысуынан  пайда  болған  бұрыштар 
өзара тең болса, бұрыштардың әрқайсысы неше градустан болады?
 
2) Үш түзудің 
О нүктесінде қиылысуынан пайда болған бұрыштар 
өзара тең болса, бұрыштардың әрқайсысы неше градустан бола-
ды? Сызып көрсетіңдер.
1026.   Екі түзудің қиылысуынан пайда болған вертикаль екі бұрыштың 
қосындысы  126°-қа  тең.  Осы  екі  түзудің  қиылысуынан  пай-
да  болған  бұрыштардың  әрқайсысының  градустық  өлшемдерін 
табыңдар.
1027.   Екі  түзу  қиылысқанда  пайда  болған  бұрыштардың  біреуі:  
1)  75°-қа;  2)  120°-қа  тең.  Қалған  бұрыштардың  градустық 
өлшемдерін табыңдар.
1028.  
АВ  түзуі  мен  CD  түзуінің  қиылысуынан 
пайда  болған 
АОС  мен  COB  бұрыштары-
ның  градустық  өлшемдерінің  қатынасы 
5:7  қатынасындай. 
AOD  және  BOD  бұрыш-
тарының градустық өлшемдерін табыңдар.
1029.  
AB,  CD  және  EF  түзулері  О  нүктесінде 
қиылысады. 
∠
=
°
AOE 40 ;  ∠
=
°
DOF
80 . COB 
бұрышының  градустық  өлшемін  табыңдар 
(6.8-сурет).
6.5-сурет
2
3
4
5
6
1
6.6-сурет
b
а
6.7-сурет
40°
130°
6.8-сурет
A
E
C
D
B
F
O
40°
80°
E
A
B
D
F
4
C

79
1030.
  NP,  KL  және  EF  түзулері  O  нүктесінде 
қиылысады. 
∠
=
°
EOK
35 ; 
∠
=
°
NOK
85 . 
FOP 
бұрышының, 
KОР  бұрышының  градустық 
өлшемдерін табыңдар (6.9-сурет).
1031. Пропорцияның белгісіз мүшесін табыңдар:
1) 0,25 : 1,4 = 0,75 : 
x; 
3)  x :
:
4
1
3
1
2
13
=
;
2) 4 : 8 = 18 : 
x;  
 
4) 
x : 16 = 0,2 : 4.
С
1032.  Екі түзудің қиылысуынан пайда болған бұрыштардың үшеуінің 
қосындысы 284°. Бұрыштардың әрқайсысының  градустық өлше-
мін табыңдар.
1033*. Сағат 9-дан 10  минут өткенде сағаттың сағаттық тілі мен минут-
тық тілі арасындағы бұрыш неше градус болады?
 
1034. 
АВ,  CD  және  EF  түзулері  О  нүктесінде  қиылысады  (6.10-су-
рет).  ∠
=
°
AOE 55 ,  ∠
=
°
DOF
25 .  ВОЕ  және  BOD  бұрыштарының 
градустық өлшемдерін табыңдар.
1035.  
MN, KL және FT түзулері O нүктесінде қиылысады. ∠
=
°
FOL 110  
және 
∠
=
°
KOM
35 .  
∠MOT  және ∠KOF  бұрыштарының градус-
тық өлшемдерін табыңдар (6.11-сурет).
  Тақырыптың түйіні.
  Жазықтық. Қиылысатын түзулер
  І. Жазықтық.
  Сынып  тақтасының  беті,  айнаның  беті,  ыдыстағы  судың  беті 
M
T
L
N
F
K
O
A
C
E
B
O
D
F
35°
110°
6.10-сурет
6.11-сурет
6.9-сурет

80
жазықтық  туралы  түсінік  береді.  Бірақ  мұндай 
беттердің шеті бар, ал жазықтықтың шеті болмай-
ды. Жазықтық барлық бағытта шектеусіз.
ІІ. Қиылысатын түзулер.
Бір ғана ортақ нүктесі бар екі немесе бірнеше 
түзу қиылысатын түзулер деп аталады.
Мысалы, 
а, b және c түзулері – қиылысатын         
түзулер.
О – түзулердің қиылысу нүктесі.
1024.
 
� ∠
АОС =90°. 
1028.
 105, 75°
.
1029.
 60°. 
1030. 
50°; 95°
. 
1033. 
145°
.
1034. 
125°; 30°
. 
1035. 
75°; 70°
.
 
 1) Үшбұрышты сызғышты және сызғышты пайдаланып,  
жазықтықты өзара тең төрт бұрышқа бөліңдер.
2) Транспортирді пайдаланып, бұрыштардың әрқайсысы-
ның градустық өлшемін анықтаңдар.
3)  Техникада,  тұрмыста  осындай  өзара  тең  төрт  бұрыш 
жасап, қиылысатын түзулерге мысалдар келтіріңдер.
6.2. Перпендикуляр түзулер. 
Перпендикуляр кесінділер
Бір-бірімен  тік  бұрыш  жасап  қиылысатын  екі  түзу 
перпендикуляр 
түзулер деп аталады. 
АВ түзуі мен CD түзуі – перпендикуляр түзулер (6.12-сурет).
Түзулердің перпендикулярлығын белгілеу үшін «
⊥
» белгісі пайдала-
нылады. Жазылуы: 
AB 
⊥
 
CD. Оқылуы: «AB түзуі CD 
түзуіне перпендикуляр». 
Перпендикуляр сөзі латынның 
perpendicularis – 
қазақша «тік бағыт» сөзінен алынған. 
Үшбұрышты  сызғышты  (6.13,
а-сурет)  немесе 
транспортирді  (6.13,
ә-сурет)  пайдаланып,  перпенди-
куляр түзулерді жүргізуге болады. 
Перпендикуляр  түзулердің  бойында  жатқан 
кесінділер де өзара перпендикуляр (6.14-сурет).  
a
b
а
b
с
О
A
6.12-сурет
C
D
B

81
EF  және  LP  кесінділері  өзара  перпендику-
ляр 
AB  және  CD  түзулерінің  бойында  жатыр.  EF 
және 
LP  кесінділері  –  перпендикуляр  кесінділер. 
EF⊥LP.
Тік төртбұрыштың, квадраттың бір төбесінен 
шығатын  қабырғалар  –  өзара  перпендикуляр 
кесінділер. 
 
6.15, 
а-суретте AB түзуіне оның бойында жат-
пайтын 
С  нүктесі  арқылы  CD  перпендикулярын 
түсіру көрсетілген. 
Нүкте  (
С) AB  түзуінің  бойында жатқан жағ- 
дайда  оған  перпендикулярды  үшбұрышты  сыз-
ғышты  пайдаланып  жүргізуге  болады  (6.15, 
ә-су-
рет).
Берілген нүктеден түзуге бір ғана перпендикуляр 
түзу жүргізуге болады. 
Нүктеден  түзуге  түсірілген  перпендикуляр 
–  нүктені  түзумен  қосатын  ең  қысқа  кесінді 
(6.16-сурет).
 EF EK
H
; EF EL
H
. 
EF кесіндісі – E нүктесінен 
AB  түзуіне  түсірілген  перпендикуляр.  F  нүктесі 
перпендикулярдың  табаны  деп  аталады.  EF=
= 2,4 см. Демек, 
E нүктесінен AB кесіндісіне дейінгі қашықтық 2,4 см. 
Берілген нүктеден түзуге дейінгі қашықтық сол 
нүктеден  түзуге  жүргізілген  перпендикулярдың 
ұзындығына тең. 
1.  Қандай  түзулер  перпендикуляр  түзулер  деп  атала-
ды?
2.  Қандай  кесінділер  перпендикуляр  кесінділер  деп 
аталады?
3. Нүктеден түзуге дейінгі қашықтық қалай табылады?   
6.13-сурет
a)
ә)
A
C
O
D
В
A
C
O
D
В
6.16-сурет
6.14-сурет
6.15-сурет
A
C
D
В
A
C
В
a)
ә)
6–3417

82
1036.
   Амалдар тізбегін орындаңдар (ауызша):
 
1) 1 0 25
10
3
4
2
−
−
,
:
?
'
'
       2)
3
1
5
10
4 5
3
1 8
:
: (
)
,
: ,
?
−
−
'
           3)
−
+
−
0 4 5
1 6
3 6
0 8
1 2
,
,
,
: ,
,
?
'
'
 
      4)
−
−
( )
−
( )
+
−
( )
0 2 7
10
7
5
6
,
:
?
'
'
'
 
 
А
1037.   6.17-суретті дәптерге салыңдар: 
          1)
 E нүктесінен; 2)  F нүктесінен a түзуіне 
перпендикуляр жүргізіңдер. 
1038.  
6.18-суреттегі 
AB,  AC  және  AD  кесін-
ділерінің қайсысы 
A нүктесінен р түзуіне 
дейінгі  қашықтықты  көрсетеді?  Оны 
өлшеңдер. 
AC кесіндісі қалай аталады? C 
нүктесі қалай аталады? 
1039. 
АВ түзуіне С нүктесінен CD перпендикуля-
ры  түсірілген  (6.19-сурет).  
EDВ  =  120°. 
EDC  бұрышының,  ADE  бұрышының 
градустық өлшемі неше градус?
1040.  
KL,  NP  және  AB  түзулері  O  нүктесінде 
қиылысады. 
KL
⊥
NP.  KOВ  =  34°.  AON 
бұрышының градустық өлшемін табыңдар. 
1041.
 Өрнектің мәнін табыңдар:
  1) | 
a | + | b |, мұндағы а=9,3; b=–7,1;
  2)  
a | – | b |, мұндағы а=3,2; b=–0,5;
  3)  
a | · | b |, мұндағы  a = −3
5
9
; 
b=–0,75;
  4)  
a | : | b |, мұндағы а=–7,5;  b = −
3
4
.
В 
1042.   6.20-суретті дәптерге көшіріп салыңдар. 
A, B, C және D нүктелері k  
және
  l  түзулерінен  қандай  қашықтықта  (торкөз  есебімен 
жазыңдар)?
6.17-сурет
6.19-сурет
6.18-сурет
B
C
D
p
А

83
1043.   6.21-суреттегідей 
ABC үшбұрышын салыңдар. Оның: 
 
1) 
B  төбесінен  AC  қабырғасына  дейінгі  қашықтықты  табыңдар 
(миллиметр есебімен).
 
2)
  C  төбесінен  AB  қабырғасына  дейінгі  қашықтықты  табыңдар 
(миллиметр есебімен).
1044.   6.22-суреттегі 
АВ, СD және EF түзулері О нүктесінде қиылысады, 
АВ
⊥
СD, AOE = 30°. COF бұрышының градустық өлшемі неше 
градус?
1045.   Мына  тұжырымдамалардың  қайсысы 
дұрыс:
 
1) берілген нүктеден түзуге бірнеше пер-
пендикуляр түсіруге болады;
 
2) перпендикуляр түзулер жазықтықты 
төрт тік бұрышқа бөледі; 
 
3)  кез  келген  өзара  қиылысатын  екі 
түзу перпендикуляр;
 
4)  берілген  нүкте  арқылы  түзуге  бір 
ғана перпендикуляр жүргізуге болады.
1046.   6.23-суреттегі 
KO
⊥
EF.  AOB  =  70° 
және  
AOK  =  30°.  AOE  және  BOF 
бұрыштарының градустық өлшемдерін 
табыңдар.
1047.
   АВ  түзуі  CD  түзуіне  перпендикуляр. 
∠
=
°
FOB 150
. 
ЕОВ  бұрышының,  ЕОС 
бұрышының  градустық  өлшемдері  не-
ше градус (6.24-сурет)?
6.21-сурет
A
B
C
6.20-сурет
6.22-сурет
O
A
D
F
C
E
6.23-сурет
6.24-сурет
O
F
A
C
D
E
B
6.23-сурет
O
В

84
1048.
   «Комета»  командасының  17  қатысушысы  135  балл  жинады. 
Қандай  да  бір  екі  қатысушының  жинаған  балл  саны  бірдей 
екенін дәлелдеңдер.
1049.
   Теңдеуді шешіңдер:
 
1) 
2
15
1
5
1
3
1
12
1
24
x
−
−
=
;
 
 
 
2) 
2
9
5
9
1
2
1
7
1
3
x
−
+ = .
 
С
1050.  6.25-суреттегі 
АВ түзуі мен CD түзуі – перпен-
дикуляр түзулер. 
EF түзуі мен KL түзуі – 
перпендикуляр 
түзулер. 
∠
=
°
AOK
40
 
болса, 
СОF  және  FOB  бұрыштарының 
градустық өлшемдерін табыңдар.
1051.  6.26-суреттегі 
CD⊥AB.  ∠ADF=140°  және 
∠EDB=120°. EDF бұрышының градустық 
өлшемін табыңдар. 
1052. 
Сағат 12-ден 15 минут кеткенде оның сағаттық 
тілі  мен  минуттық  тілі  неше  градус  бұрыш 
жасайды?
           А. 82°30;    В. 84°;       С. 85°30;        D. 80°30.
1053. 
CD мен EF – перпендикуляр түзулер. ∠AOB 
– тік бұрыш, 
∠
=
°
AOF 125
. 
АОЕ  және  FOB 
бұрыштарының  градустық  өлшемдерін 
табыңдар (6.27-сурет).
 
1054. 
АВ түзуіне Е нүк- 
тесінен 
ОЕ  перпендику-
ляры түсірілген (6.28-су-
рет). ∠
COD=110°; ∠COE= 
=50°. 
АОС  бұрышының, 
ВОD  бұрышының  гра-
дустық  өлшемдерін  та-
быңдар.
6.25-сурет
D
K
А
E
F
B
L
C
О
6.26-сурет
6.28-сурет
E
D
C
50°
110°
A
B
O
6.27-сурет
O
C
A
E
B
D
F

85
1055.
  Есепті тиімді тәсілмен шығарыңдар.
 
Саяхатшылар межелеген пунктке бару үшін үш күн жол жүрді. 
Олар бірінші күні жүруге тиісті қашықтықтың 30%-інен 20 км 
кем, ал екінші күні қалған қашықтықтың 60%-інен 10 км кем 
жүрді. Үшінші күні қалған 130 км қашықтықты жүрді.
. 
Саяхатшылардың  межелеген  пункті  неше  километр  қашық-
тықта болды?
. 
Саяхатшылар бірінші күні неше километр қашықтықты жүрді?
1056. 
  Есептеңдер:
  
0 5
3
2
3
7
0 75
2
3
3
2
1
3
5
1 25
5
6
,
,
,
+
−
−
−
+
−
−
.     А. 3;    В. 2;    С. 2,5;    D. 3,4.
Тақырыптың түйіні.
Перпендикуляр түзулер. Перпендикуляр кесінділер.
1. Тік бұрыш жасап қиылысатын 
АВ және СD түзулері перпендику-
ляр түзулер деп аталады (1-сурет). Белгіленуі: АВ⊥ СD.
2.  Перпендикуляр  түзулердің  бойындағы  кесінділер  өзара  перпен-
дикуляр (2-сурет), 
EF⊥KP.
                                                     жатқан 
Е
3. Берілген түзуге оның бойында                           нүктесі арқылы
                                                    жатпайтын 
F 
бір ғана перпендикуляр жүргізуге болады (3-сурет, 4-сурет).
1-сурет
А
            
 В
C
D
3-сурет
4-сурет
a⊥b
a
b
b
a
F
2-сурет
a
b
E
F
K
P
Е

86
1040.
 
∠AON = 56°. 
1046.
 60°; 50°.
1047.
 30°; 60°. 
1049.
 1) 7; 2) 3. 
1050. 
40°; 50°. 
1051. 
80°. 
1053. 
55°; 145°. 
1054.
 40°; 30°.
1055. 
• 
400 км. 
•
Бірінші күні 100 км жол жүрді.
1) Қоршаған ортадан қиылыспайтын түзулерге мысалдар келтіріңдер.
2)  Дәптерге  қиылысатын 
АВ  және  CD,  қиылыспайтын  EF  пен  K
L  түзулерін 
сызыңдар.  Өзара  қиылысатын  түзулердің  өзара  қиылыспайтын  түзулерден 
айырмашылығы неде?
3) Суреттегі тік төртбұрыштың, квадраттың өзара қиылыспайтын қабырғаларын 
теріп жазыңдар.
6.3. Параллель түзулер. Параллель кесінділер
Қиылысатын екі түзудің бір ғана ортақ нүктесі болатыны белгілі.
Техникада, тұрмыста ортақ нүктелері болмайтын түзулер де кезде-
седі.  Мысалы,  түзу  жолдың  бойындағы  автомәшине  доңғалақтарының 
іздері,  түзу  жолдағы  теміржолдың  рельстері,  кубтың  қарама-қарсы 
қырлары, дәптердің, үстелдің қарама-қарсы жиектері параллель түзулер 
туралы немесе параллель кесінділер туралы түсінік береді.
Егер бір жазықтықта жатқан екі түзудің ортақ нүктелері болмаса, 
олар қиылыспайды.
Бір жазықтықта жататын бір-бірімен қиылыспайтын екі түзу
параллель түзулер деп аталады.
«Параллель»  сөзі  гректің  «
παραλληλοσ
»  –  деген  сөзінен  алынған, 
қазақша «қатар жүруші» дегенді білдіреді. Түзулердің параллельдігі «  » 
белгісімен белгіленеді. 
6.29-суреттегі 
a  түзуі  мен  b  түзуі  –  параллель  түзулер.  Белгіленуі: 
a  b. Оқылуы: a түзуі b түзуіне параллель. 
B
C
D
A
F
K
E
L
a
b
6.29-сурет
6.30-сурет

87
Параллель түзулерде жатқан кесінділер параллель кесінділер деп 
аталады (6.30-сурет).
k  және  l  параллель  түзулердің  бойларында  жатқан  AB  және  СD 
кесінділері – параллель кесінділер: 
AB CD
.
Мысалы,  квадраттың,  тік  төртбұрыштың  қарама-қарсы  жатқан 
қабырғалары параллель кесінділер.
Параллель  түзулерді  салу  үшін  үшбұрышты  сызғыш  пен  сызғыш 
пайдаланылады (6.31-сурет).
Параллель 
а және b түзулерін жүргізу үшін:
1) үшбұрышты сызғыштың бір жағын сызғышқа тіреп, оның екінші 
жағының бойымен 
а түзуін жүргіземіз;
2) сызғыштың бойымен үшбұрышты сызғышты жылжытып (қалаған 
бағытта), екінші 
b түзуін жүргіземіз.
Алынған 
а және b түзулері өзара параллель болады: 
a b
 немесе 
b a
.
Берілген түзуде жатпайтын бір нүкте арқылы сол түзуге бір ғана 
параллель түзу жүргізуге болады.
6.32-суреттегі 
А  нүктесі  t  түзуінде  жатпай-
ды. 
А  нүктесі  арқылы  t  түзуіне  параллель  s  түзуі 
жүргізілген: 
s t .
6.33-суретте 
k түзуіне пер- 
пендикуляр 
c және d түзулері 
жүргізілген. 
c және d түзулері 
параллель.
егер  жазықтықтағы  екі  түзу  үшінші  түзуге  пер-
пендикуляр  болса,  онда  ол  екі  түзу  параллель  
болады. егер 
c  k және d  k болса, онда  cd. 
cd, c және  d түзулері k түзуінің бойынан LN 
кесіндісін  қияды.  Мұндай  кесіндінің  ұзындығын 
6.31-сурет
A
s
t
6.32-сурет
6.33-сурет

88
параллель түзулердің арақашықтығы деп атайды. LN = 12 мм. Демек,  
c және d параллель түзулердің арақашықтығы 12 мм.
1. Қандай түзулер параллель түзулер деп аталады?
2. Параллель түзулер қалай салынады?
3. Бір түзуге перпендикуляр екі түзу өзара қиылыса ма?
1057.   Параллель түзулерге қоршаған ортадан мысалдар келтіріңдер. 
А
1058.   6.34-суретте  кескінделген 
ABCD  квадратының  және  EFKL  тік 
төртбұрышының қай қабырғалары бір-біріне параллель? Параллель 
кесінділерді белгіленуімен жазыңдар.
1059.   Дәптерге кез келген 
a түзуін жүргізіңдер. Сызғыш пен үшбұрышты 
сызғышты пайдаланып, 
a түзуіне параллель екі түзу жүргізіңдер.
1060.  
а түзуін сызыңдар:
 
1) 
а түзуінде жатпайтын Е нүктесін 6.35-суреттегідей етіп, таңдап 
алыңдар;
 
2) 
Е нүктесі арқылы а түзуіне параллель түзу жүргізіңдер.
1061.  
s түзуін сызыңдар:
 
s түзуінде жатпайтын А және В нүктелерін 6.36, а, ә-суреттегідей 
етіп, таңдап алыңдар;
 
А нүктесі арқылы s түзуіне перпендикуляр k түзуін сызыңдар.
 
В нүктесі арқылы s түзуіне перпендикуляр l түзуін сызыңдар.
 
k және l түзулері өзара параллель бола ма? Белгіленуін пайдала-
нып жазыңдар.
6.34-сурет
6.35-сурет
E
E
E
a
a
a
a)
ә)
б)
B
K
L
C
A
D
E
F

89
             а)                                    ә)

жүктеу/скачать 7,07 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: