Оқулық Алматы «Атамұра» 2018 математика 1-3417

100
6.5. Осьтік симметрия
Табиғатта,  техникада  және  тұрмыста  кейбір  денелердің  бөліктері 
өзара  ұқсас,  үйлесімді  орналасады.  Насекомдарды,  ою-өрнектерді, 
әшекейлік бұйымдарды, т.б. (6.49-сурет) мысалға келтіруге болады.
6.50-сурет
В
A
k
Мұндай жағдайда: дененің, фигураның бөліктері симметриялы де-
ген  сөздерді  жиі  кездестіреміз.  «Симметрия»  грек  сөзінен  алынған,  ол 
«өлшемдес» деген ұғымды білдіреді.
Симметрия  әртүрлі  болады.  Симметрияның  ең  қарапайым  түрі  – 
түзуге  қатысты  симметрия.  Түзуге  қатысты  симметрия  осьтік  сим-
метрия деп аталады. Түзудің өзін симметрия осі 
деп атайды.
Мысалы,  6.50-суретте  жазықтықтағы 
А  фи-
гурасы 
В фигурасына k түзуіне қатысты симмет-
риялы.
Кез  келген   геометриялық фигура нүктелер-
ден құралатындықтан, түзуге қатысты симметрия-
лы нүктелерді салуды үйренейік. 
Тапсырма. 
k түзуінен тыс жатқан А нүктесі 
берілген  (6.51-сурет). 
k  түзуіне  қатысты  А  нүктесіне  симметриялы  А
1
 
нүктесін салыңдар.
нұсқау.
1. 
А нүктесі арқылы k түзуіне перпендикуляр  l түзуін жүргізіңдер. 
k және l түзулерінің қиылысу нүктесін О әрпімен белгілеңдер.
2. 
l түзуі бойында k түзуінен, А нүктесімен бірдей қашықтықта А
1
 
нүктесін белгілеңдер. Сонда 
k түзуіне қатысты А нүктесіне симметриялы 
А
1
 нүктесі салынады.
3. Қорытынды.
Өзіңді өзің тексер.
Берілгені: 
           
6.49-сурет
?

101
k түзуі және   
1. 
А нүктесі арқылы 
2. 
l түзуі бойында
А нүктесі. 
       
k түзуіне перпендикуляр    АО=OA
1
 кесінділері
                               
l түзуі жүргізілді           салынды (6.52, ә-су-  
 
 
                   (6.52, 
а-сурет).               рет).
k  түзуін А және А
1
 нүктелерінің симметрия осі деп атайды.
3. Қорытынды.
k  түзуі  АА
1
  кесіндісінің  ортасынан  өтіп  және  оған  перпендикуляр 
болғандықтан, 
А нүктесі А
1
 нүктесіне 
k түзуіне қатысты симметрия-
лы. 
АА
1
⊥
 
k; ОА=OA
1
.
  Симметрия  осі  бойындағы  кез  келген  нүкте 
өзіне-өзі симметриялы.
Мысалы, 6.53-суретте кескінделген 
N нүктесі k 
түзуіне қатысты өзіне-өзі симметриялы.
Симметриялы екі нүкте бірдей әріппен белгіленіп, тек қана олардың 
біреуінің төменгі оң жақ ұшына цифр-индекс қойылады.
Түзуге  қатысты  берілген  кесіндіге  симметриялы  кесіндіні  салуды 
қарастырайық.
Мысалы, 
s түзуіне қатысты АВ кесіндісіне 
симметриялы 
А
1
В
1
 кесіндісін салу үшін (6.54-су-
рет):
1) 
АВ  кесіндісінің  А  және  В  нүктелеріне 
s  түзуіне  қатысты  симметриялы  А
1
  және 
В
1
 
нүктелерін салу керек;
2) 
А
1
 және
 В
1 
нүктелерін қосып,
 А
1
В
1
 кесін-
дісін алу керек.
s  түзуіне  қатысты  АВ  кесіндісіне  А
1
В
1
  ке-
сіндісі  симметриялы.  Егер 
s  түзуі  бойымен 
жазықтықты  бүктесек, 
АВ  кесіндісі  А
1
В
1 
кесіндісімен  беттеседі.  Демек, 
АВ= А
1
В
1
.
6.53-сурет
k
N
k
А
А
l
А
l
O
O
А
1
 
k
k
а)
ә)
6.51-сурет
6.52-сурет k түзуіне қатысты
А нүктесімен симметриялы
А
1 
нүктесі салынды.
6.54-сурет
В
1
A
1
В
A
s

102
егер түзу бойымен бүктегенде жазықтықтағы екі фигура бір-бірімен 
беттесетін болса, ондай фигуралар 
түзуге қатысты симметриялы 
фигуралар деп аталады.
6.55-суретте 
s  түзуіне  қатысты  симметрия-
лы үшбұрыштар кескінделген.
Мұндағы 
∆
∆
ABC
A B C
=
1
1 1
  және 
∆
∆
ABC
A B C
=
1
1 1
  үшбұрыштары 
тең үшбұрыштар.
Себебі, 
s  түзуі  бойымен  бүктесек,  олардың 
сәйкес төбелері (
А төбесі А
1
 
төбесімен, 
В төбесі В
1
 
төбесімен, 
С төбесі С
1
 төбесімен) беттеседі.
Симметриялы фигуралар өзара тең фигура-
лар болады.
егер түзу фигураны симметриялы екі бөлікке бөлсе, онда ондай фи-
гура осьтік 
симметриялы фигура деп аталады. Түзу сол фигураның 
симметрия осі деп аталады. 
Мысалы, бұрыш – осьтік симметриялы фи-
гура.  Бұрыштың симметрия  осі  –  ол  бұрыштың 
биссектрисасы  орналасқан  түзу.  6.56-суретте 
кескінделген 
ABC бұрышының AB қабырғасы ВС 
қабырғасына  оның  биссектрисасы 
BD-ның  бо-
йында орналасқан 
k түзуіне қатысты симметрия-
лы.
6.55-сурет
s
A
1
A
В
1
В
C
1
C
6.56-сурет
A
B
C
D
k
)
)
Тік төртбұрыштың екі симметрия осі бар (6.57, 
а-сурет). 
6.57-сурет
s
l
а)
ә)
б)
Квадраттың төрт симметрия осі бар (6.57, 
ә-сурет). 
Шеңбердің  шектеусіз  көп  симметрия  осьтері  бар  (6.57, 
б-сурет). 
Шеңбердің  центрі  арқылы  өтетін  кез  келген  түзу,  оның  симметрия  осі 
болады.
Бұрыш, тік төртбұрыш, квадрат және шеңбер – осьтік симметрия-
лы фигуралар. 

103
1. Қандай фигуралар түзуге қатысты симметриялы фигуралар деп аталады?
2. Осьтік симметриялы фигура деп қандай фигураны айтамыз?
3. Осьтік симмметриялы фигураларға мысалдар келтіріңдер.
4. Тік төртбұрыштың неше симметрия осі бар? Шеңбердің ше? 
1103.  
АВС  бұрышының  градустық  өлшемі  80°.  Оның  В  төбесінен 
жүргізілген 
BD және ВЕ сәулелері 
∠
=
°
ABD 30  және 
∠
=
°
ABE 40  
бұрыштарын  жасайды. 
BD және BE сәулелерінің қайсысы АВС 
бұрышының симметрия осінде жатыр? Не себепті? (А у ы з ш а ).
А
1104.   Мына  фигуралардан  осьтік  симметриялы  фигураларды  таңдап 
алыңдар.  Оларды  дәптерге  көшіріп  салып,  симметрия  осьтерін 
сызыңдар (6.58-сурет).
6.58-сурет
A
A
1
 A
A
A
1
A
1
a)
ә)
б)
6.59-сурет
1105.   Дәптерге 6.59 
а, ә, б-суреттегідей А және А
1
 нүктелерін белгілеп, 
А 
нүктесіне 
А
1
 нүктесі симметриялы болатындай k түзуін сызыңдар.
1106.   Дәптерге  6.60, 
а,  ә,  б-суреттегідей  KL  кесіндісін  және  а  түзуін 
сызыңдар. 
а түзуіне қатысты KL кесіндісіне симметриялы K
1
L
1
 
кесіндісін сызыңдар.
6.60-сурет
а)
ә)
б)
K
L
a
K
K
L
L
a
a

104
1107.   Координаталық жазықтықта 
А(3; 5)  нүктесіне:
 
1) ординаталар осіне қатысты симметриялы нүктені тауып, коор-
динаталарымен жазыңдар;
 
2) абсциссалар осіне қатысты симметриялы нүктені тауып, коор-
динаталарымен жазыңдар. 
1108.   Қабырғасы 4 см квадраттың барлық симметрия осьтерін сызыңдар. 
Квадраттың  барлық  симметрия  осьтері  квадратты  неше  тең 
үшбұрышқа бөледі? Олардың біреуінің ауданын табыңдар. 
1109.
   Координаталық жазықтықта ұштары 
А(–3; 2) және В(2; 5) нүктелерінде 
болатын 
АВ  кесіндісін  сызыңдар.  АВ    кесіндісіне  абсциссалар  осіне 
қатысты симметриялы 
А
1
В
1
 кесіндісін салыңлар. А
1
және 
В
1 
нүктелерін 
координаталарымен жазыңдар.
1110.
   Өрнектің мәнін табыңдар:
 
1) 
x
− +
9
4
2 , мұндағы 
х=–7; 
     3) 
7 2
3
6
−
+
x
, мұндағы 
х=–4;
 
2) 
3
4
2
8
x
+ − , мұндағы х=6;       4) 10 8 9
7
−
+
x
, мұндағы 
х=5.
B
1111.   6.61-суретті  дәптерге  көшіріп  салыңдар. 
l  түзуіне  қатысты  А, 
В  және  С  нүктелеріне  симметриялы  нүктелерді  салыңдар.  В 
нүктесіне қай нүкте симметриялы? Неше нүкте салынды?
6.61-сурет
l
6.63-сурет
A
k
D
O
C
E
B
6.62-сурет
а
b
а
b
а)
ә)
1112.  6.62 
а,  ә-суреттегі  а  түзуі  l  түзуіне 
қатысты 
b  түзуімен  симметриялы.  l  түзуін 
жүргізіңдер.
1113.  
АВ  және  CD  түзулері  О  нүктесінде 
қиылысады  (6.63-сурет). 
k  түзуі  –  AOD 
және 
СОВ  вертикаль  бұрыштарының  симмет-
рия  осі. 
Е  нүктесі  –  k  түзуіндегі  нүкте.  СОЕ 

105
бұрышының градустық өлшемі 30°.  
AOD  бұрышының градустық 
өлшемін табыңдар.
1114.   Жазықтықта қиылысатын 
а және b түзулері берілген. 9 нүкте 
а  және  b  түзулерінің  әрқайсысына  қатысты  симметриялы 
орналасқан. Осы нүктелерден бір нүктенің 
а және b түзулерінің 
қиылысуында орналасатынын дәлелдеңдер.
1115.   Координаталық 
жазықтықта 
төбелері:   
А(–4;  1);  В(–2;  5);  С(5;  3)  нүктелері  бо-
латын 
АВС  үшбұрышын  салыңдар.  АВС 
үшбұрышына  абсциссалар  осіне  қатысты 
симметриялы 
А
1
В
1
С
1
 үшбұрышын салыңдар.
1116.  Координаталық  жазықтықтағы 
АВ  кесінді-
сіне ордианаталар осіне қатысты симметрия-
лы  болатын 
А
1
В
1
  кесіндісін,  абсциссалар 
осіне  қатысты  симметриялы  болатын 
А
2
В
2
 
кесіндісін  салып,  ұштарының  координата-
ларын жазыңдар (6.64-сурет).
1117.  
l  және  k  түзулері  –
 
ABCD  тік  төртбұ-
рышының симметрия осьтері (6.65-сурет). 
ABCD  тік  төртбұрышының  А  төбесінің  l 
симметрия  осінен  қашықтығы  3  см,  ал 
k  симметрия  осінен  қашықтығы  2  см. 
ABCD тік төртбұрышының: 1) периметрін 
табыңдар; 2) ауданын табыңдар.
1118.  
10  кг  бидайдан  8  кг  ұн  алынады.2  кг 
ұннан 3 кг нан алынады. 150 кг бидай-
дан неше килограмм нан алынады?
 А. 170 кг;      В. 180 кг;             С. 190 кг;            D. 200 кг.
С
1119.   6.66-суреттен симметрия осі бар фигураларды таңдап алып, олар-
ды дәптерге салыңдар. Симметрия осін (осьтерін) сызыңдар.
6.64-сурет
А
В
y
x
O
5
4
3
2
1
–1
–2
–3
–4
–5–4–3–2–1 0 1 2  3
6.65-сурет
A
F
B
O
E
D
l
k
C
6.66-сурет

106
1120.   6.67-суреттегі 
АВС  үшбұрышының 
В  бұрышының,  А  бұрышының,  С  бұ- 
рышының  биссектрисалары  – 
s, 
k,  t  сәулелері  оларды  градустық 
өлшемдері  50°;  25°;  15°  бұрыштарға 
бөледі.
  В,  А  және  С  бұрыштарының 
градустық  өлшемдерінің  қосындысы 
неше градус?
1121.   Жазықтықтағы  5  нүкте 
а  түзуіне  қатысты  симметриялы.  Кем 
дегенде бір нүктенің симметрия осінде жататынын дәлелдеңдер.
1122.  
EF  және  KL  түзулері  O  нүктесінде 
қиылысады. 
∠
=
°
FOL 120
. 
ОС  сәу- 
лесі  – 
ЕОL  бұрышының  биссек- 
трисасы,  ал 
OD  сәулесі  –  FOL 
бұрышының  биссектрисасы. 
COD 
бұрышының  градустық  өлшемін 
табыңдар (6.68-сурет).
1223.   Координаталық 
жазықтықтағы 
ABCD  квадратының  А(–2;  1)  тө- 
бесі 
D  төбесіне;  В(–2;  5)  төбесі  С
  
төбесіне  ординаталар  осіне  қатысты  симметриялы. 
ABCD  квад-
ратының симметрия осьтерінің қиылысу нүктесі болып табыла-
тын 
Е нүктесінің координаталарын табыңдар. 
1224.   6.69-суреттегі 
ABCD  фигурасын 
дәптерге көшіріп салыңдар.
 
1) 
ABCD фигурасының симметрия 
осін тауып, оны сызыңдар;
          2) 
ABCD  фигурасының  ауда-
нын  квадрат  сантиметр  есебімен 
табыңдар.
1125.  Компьютердің  бағасы  алғашқы 
бағасының 
1
5
-іне 
арзандады. 
Компьютердің  алғашқы  бағасы, 
соңғы бағасынан неше есе артық?
 
А. 1,2 есе;       В. 1,3 есе;       С. 1,25 есе;  
D. 1,2 есе;
6.67-сурет
C
B
A
k
s
t
50°
25°
15°
6.68-сурет
0
D
L
C
E
F
K
120°
6.69-сурет
C
B
A
D
1 см
2

107
1126. 
Есептеңдер:
 
 
5
3
3
4
3
2
7
8
2
11
15
1
3
9
1
12
2
3
+
−
+
+
−
+
.
Тақырыптың түйіні.
Осьтік симметрия.
Егер 
l түзуі бойымен бүктелгенде жазықтықтағы А және А
1
 (1-сурет) 
фигуралары беттессе, онда мұндай фигуралар  
симметриялы фигуралар 
деп аталады.
егер фигураның әрбір нүктесімен 
k түзуіне қатысты симметрия-
лы  нүкте  фигураның  өзінде  жатса,  онда  фигура 
k  түзуіне  қатысты 
симметриялы фигура деп аталады (2-сурет). k түзуі фигураның сим-
метрия осі деп аталады.
1108
. 2 cм
2
. 
1113.
 60°. 
1117.
 1) 20 cм; 2) 24 cм
2
. 
1122.
 
∠COD=90°.
1123.
 
E(0; 3). 
1124.
 2) 12 cм
2
.  
1126.
 2,2.
 
1)  Тік  бұрышты  координаталар  жүйесін  сызып: 
А(–3;  0), 
А
1
(3; 0) нүктелерін тауып белгілеңдер. 
АА
1
 
кесіндісінің орта 
нүктесін табыңдар. 
А және А
1 
нүктелері 
О нүктесіне қатысты 
симметриялы бола ма?
 
2) 
О  нүктесіне  қатысты  В(–5;  0)  нүктесіне  симметриялы   
нүктені тауып, оны координаталарымен жазыңдар.
6.6. Центрлік симметрия
Симметрияның ең көп кездесетін түрлерінің бірі – центрлік симмет-
рия.
1-сурет
2-сурет
А
А1
l
k

108
нүктеге  қатысты  симметрия  центрлік  симметрия  деп  аталады. 
Ал нүктенің өзін 
симметрия центрі деп атайды.
І. 
О нүктесіне қатысты А нүктесіне симметриялы А
1
 нүктесін салу-
ды қарастырайық (6.70, 
а-сурет).
Ол үшін:
1)  Берілген 
А  және  О  нүктелері  арқылы  k  түзуін  жүргізу  керек 
(6.70, 
ә-сурет).
2) 
k  түзуінің  бойына  ұзындығы  АО  кесіндісіне  тең  ОА
1
  кесіндісін 
өлшеп салу керек. 
АО=ОА
1
 (6.70, 
б-сурет). Мұндай А және А
1
 нүктелері 
О 
нүктесіне қатысты 
симметриялы нүктелер деп аталады.
а)                     ә)                               б)
О  нүктесі – А және А
1
 нүктелерінің симметрия центрі.
егер 
О нүктесі АА
1
 кесіндісінің қақ ортасындағы нүкте болса, онда 
А 
және 
А
1
 нүктелері 
О нүктесіне қатысты симметриялы нүктелер деп 
аталады.
ІІ. 
О нүктесіне қатысты АВ кесіндісіне симмет-
риялы кесіндіні салуды қарастырайық (6.71-сурет).
Ол үшін:
1) 
О нүктесіне қатысты А нүктесіне симметрия-
лы
  А
1
  нүктесін  және 
В  нүктесіне  симметриялы  В
1 
нүктесін салу керек. 
2) 
А
1
 және
 В
1
 нүктелерін қоссақ, 
А
1
В
1
 кесіндісі 
алынады. 
АВ  және  А
1
В
1
 
кесінділері 
О  нүктесіне 
қатысты симметриялы. 
Центрлік 
симметриялы 
кесінділер 
тең 
кесінділер болады:
АВ = А
1
В
1
. 
ІІІ. 
О  нүктесіне  қатысты  АВС  үшбұры-
шына  симметриялы  А
1
В
1
С
1
 
үшбұрышын  салу 
үшін: О нүктесіне қатысты А, В және С нүктелеріне 
симметриялы 
А
1
,
 
В
1
 
және 
С
1 
нүктелерін  салып, 
оларды кесінділермен қосу керек (6.72-сурет).
Сонда 
О  нүктесіне  қатысты  АВС  үшбұры-
шымен симметриялы 
А
1
В
1
 
С
1
 үшбұрышы салына-
ды. 
6.70-сурет
А       О
А        О      А
1
А
О
k
k
6.71-сурет
6.72-сурет
B
A
A
1
B
1
C
1
C
O

109
Центрлік симметрия бұру бұрышы 180-қа тең болғандағы бұрудың 
жеке жағдайы болып табылады.
Центрлік симметриялы фигуралардың біреуін 180-қа бұрғанда, ол 
оған симметриялы екінші фигурамен беттеседі.
Демек, центрлік симметриялы фигуралар өзара тең.
Симметрия  центрі  және  оған  қатысты  симметриялы  нүктелер 
фигураның өзіне тиісті болатын фигуралар да бар.
Мысалы, кесінді, шеңбер, квадрат және т.б. фигуралар.

жүктеу/скачать 7,07 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: