Оқулық физика 9 проект башарұлы Р. т б

13
ПРОЕКТ
Үшбұрыш ережесінде қолданған тәсілмен қанша вектор берілсе, сон- 
ша векторларды бір-біріне қосуға болады. Мысалы, әртүрлі 
a

, 
b

, 
c

 және 
d

 векторлары берілсін (сурет 1.4, 
ә). Көп векторларды қосу үшін олар- 
дың бағыттарын өзгертпей кез келген біреуінің ұшына, мысалы, 
a

-ның 
ұшына екінші 
b

 вектордың бас нүктесін түйістіреміз, оның ұшына үшін-
ші 
c

 вектордың бас нүктесін түйістіреміз, оның ұшына төртінші 
d

 век-
тордың  бас  нүктесін  түйістіреміз  де,  бірінші  вектордың  бас  нүктесінен 
соңғы вектордың ұшына қарай бағытталған 
AB
 

 кесіндімен қосамыз. Мі-
не, осы кесінді төрт вектордың геометриялық қосындысы болып табыла-
ды: 
AB
a b c d
 

   
= + + + .
Бірнеше векторларды осылайша қосу 
көпбұрыш ережесі деп те аталады.
3. Векторларды үшбұрыш ережесімен азайту. Берілген 
a

 және 
b

 екі 
векторды  бірінен  екіншісін  үшбұрыш  ережесі  бойынша  алу  үшін  олар-
дың бағыттарын өзгертпей бас нүктелерін түйістіреді де, ұштарын қосып 
үшбұрыш құрайды (сурет 1.5). Егер екі вектордың ұштарын қосқан ке-
сінді 
a

 векторының ұшына қарай бағытталса, онда ол 
a

 векторынан 
b

 
векторын алған айырымды береді: 
BA
a b
 

 
=  #   (сурет 1.5, а). Ал  a

 және 
b

  векторлардың  ұштарын  қосқан  кесінді 
b

  векторының  ұшына  қарай 
бағытталса,  онда  ол 
b

  векторынан 
a

  векторын  алған  айырымды  бе-
реді: 
AB
b a
 

 
=  #  . Сол сияқты  r
2

 радиус векторынан 
r
1

 радиус-векторын 
алғандағы  екі  вектордың  айырымы  болатын 
∆
r

 = 
r
2

 – 
r
1

  векторының 
ұшы 
r
2

 радиус-векторының ұшымен түйіседі (сурет 1.5, 
ә).
a

a

b

b

А
B
AB
b
a
 


=
 # 
BA
a
b
 


=
 # 
М
О
N
∆s
а) 
 
 
 
 
ә) 
 
 
    
Сурет 1.5. Векторларды үшбұрыш ережесімен азайту
r
1

r
2

∆ =
−
r
r
r
  
2
1
4. Векторларды санға көбейту. 
Берілген a

 векторын k (k  ≠  0) санына 
көбейту  деп  модулі  k  ·  |a

|  көбейтіндісіне  тең  болатын  b

  векторын 
айтады:

14
ПРОЕКТ
 
| b

| = k  ·  |a

|;    b

 = k a

.
Бұл теңдіктерде: егер 
k > 0 болса, онда a

 және 
b

 векторлары бағыттас болады. Мысалы, 
k
1 
= 1,5 
және 
k
2 
= 3 болса, онда 
b
1

= 1,5
a

 және 
b
2

= 3
a

 
векторлары 
a

  векторымен  бағыттас  орналаса-
ды  (сурет  1.6,  қызыл  сызықты  векторлар).  Ал 
k < 0 болса, онда b

 векторы 
a

 векторына қарама-
қарсы  бағыттас  болады.  Мысалы, 
k
1 
=  –1  және 
k
2 
=  –0,5  болса,  онда 
b
1

=  –
a

  және 
b
2

=  –0,5
a

 
векторлары 
a

 векторларына қарама-қарсы болады (сурет 1.6, көк сызық-
ты векторлар).
5.  Векторлардың  проекцияларын  анықтау.  Көптеген  жағдайларда, 
мысалы,  есептер  шығарғанда  векторлардың  координаталар  өстеріндегі 
проекциялары  арқылы  жазылған  скалярлық  теңдеулер  қолданады. 
Оның  үстіне  проекциялар  арқылы  векторлардың  модульдері  есептеледі 
және бағыттары да анықталады. Сондай-ақ векторларды координаталар 
өстеріндегі  құраушыларға  жіктеу  де  олардың  проекциялары  арқылы 
орындалады. Сондықтан векторлардың проекцияларын анықтауға үлкен 
мән беріледі.
Берілген  вектордың 
Ох  және  Оу  өстеріндегі  проекциясы  деп  оның 
модулінің ұштарынан осы өстерге түсірілген перпендикулярлардың 
арасындағы  кесінділердің  оң  немесе  теріс  таңбалы  сан  мәндерін 
айтады (сурет 1.7).
Проекциялардың  таңбалары  мен  сан  мәндері  берілген  масштаб  бо-
йынша  және  векторлардың  өстермен  жасайтын  бұрыштарына  қарай 
анықталады. Мысалы: 
a

 векторының 
Ох және Оу өсіндегі проекцияла-
ры  оң  таңбалы  сандар  болып  табылады  (сурет  17, 
а).  Олардың  шама-
лары  масштаб  бойынша  мынаған  тең: 
а
х
 = 
x
2
 – 
x
1
 = 25  мм – 5  мм = 20  мм; 
а
у
 = 
y
2
 – 
y
1
 =15 мм – 5 мм = 10 мм; өстермен жасайтын бұрыштары бойынша 
мына формулалармен есептеледі: 
а
х 
= 
acosα; а
у 
= 
asinα. Ал келесі графикте 
(сурет 1.7, 
ә)  b

 векторының сәйкес өстердегі проекциялары масштаб бо-
йынша: 
b
х 
= 
x
2
 – 
x
1
 = 20 мм – 5 мм = 15 мм-ге; 
b
у
 = 
y
2
 – 
y
1
 = 5 мм – 15 мм = –10 мм- 
ге тең, ал өстермен жасайтын бұрыштары бойынша: 
b
х 
= 
bcosβ; b
у
= –
bsinβ 
формулаларымен  анықталады.  Үшінші  графикте 
c

  векторының  сәйкес 
өстердегі проекциялары мына шамаларға тең: 
c
х 
=
 
x
2
 – 
x
1
 
=
 
10 мм
 
–
 
10 мм = 
= 0; 
c
у 
= –10 мм немесе 
c
у 
= 
y
2
 – 
y
1
 
= 5 мм
 
–
 
15 мм = –
с =  –10 мм.
a

3
a

1,5
a

–0,5
a

–
a

Сурет 1.6. Векторларды
сандарға көбейту
б)

15
ПРОЕКТ
а) 
 
 
ә) 
 
б)
y
y
2
y
1
y
y
α
+
–
–
+
+
x
x
1
x
2
x
x
O
O
O
a

b

β
c

a
x 
= a cosα
a
y 
= a sinα
b
x 
= b cosβ
b
y 
= –b sinβ
c
x 
=
 
0
c
y 
=
 
–c
x
x
A
1
y
y
0
A
z
A
A
x
A
y
z
r

r
x

r
y

z
r
z

Сурет 1.7. Векторлардың координаталар
өстеріндегі проекциялары
Сурет 1.8. Векторды
құраушыларға жіктеу
y
1
y
1
х
1
х
2
y
2
y
2
Жалпы  алғанда  проекциялардың  таңбалары  былайша  анықталады: 
егер вектордың ұшының проекциясы өстің оң бағытына қарай бағытталса, 
онда  проекцияның  таңбасы  да  оң  болады.  Ал  егер  вектордың  ұшының 
проекциясы өстің оң бағытына қарама-қарсы бағытталса, онда проекция 
теріс таңбаланады.
6. Векторды құраушыларға жіктеу. Вектордың құраушыларға қалай 
жіктелетінін 
r

 радиус-вектордың мысалында көрсетейік. Радиус-вектор 
деп  дененің  (материялық  нүктенің)  кеңістіктегі  орнын  координаталар 
жүйесінің  бас  нүктесімен  қосатын 
r
OA
  

=
  бағытталған  кесіндісін  айт-
қанбыз (сурет 1.8).
Радиус-вектордың 
Ох, Оу және Оz өстеріндегі құраушыларын тиісін-
ше 
r
x

, 
r
y

  және 
r
z

  таңбаларымен  белгілейді.  Көрсетілген  үш  құраушы 
вектордың  бағыттары  мен  шамаларын  анықтау  үшін 
r

  радиус-вектор-
дың ұшындағы 
А нүктеден хОу жазықтығына перпендикуляр түсіріп, А
1 
проекциясын  табамыз. 
А
1
  нүктесінен 
Ох және Оу өстеріне перпендику-
лярлар түсіріп, өстердің бойындағы 
А
х
 және 
А
у
 нүктелерін белгілейміз. 
Оz өсінің бойына ОА
z 
= 
АА
1
-ге тең кесіндіні салып, 
А
z
 нүктесін анықтай-
мыз. Сонда 
r

 радиус-вектордың өстердегі құраушылары мына векторлар 
болып табылады: 
r
OA
x
x
  

=
;
r
OA
y
y
  

=
 және 
r
OA
z
z
  

=
. Ал олардың модулі 
(|
r
x

|, |
r
y

|, |
r
z

|) радиус-вектордың сәйкес өстердегі проекцияларына (
х, у, z) 
тең: |
r
x

| = 
х; |r
y

| = 
у; |r
z

|=
z.
Біз жоғарыда вектордың үш өлшемді кеңістікте орналасқан күрделі-
рек  жағдайын  қарастырдық.  Көп  жағдайда  векторлар  белгілі  бір  жа-
зықтықта  орналасады  (сурет  1.8).  Мұндай  жағдайларда  вектор  екі  құ-
раушыға ғана (
r
x

 және 
r
y

) жіктеледі. Ал олардың модулі (сан мәндері), 
суреттен көрініп тұрғандай, мына теңдіктермен анықталады: |
r
x

| = 
х = х
2
 – 
– 
х
1
; |
r
y

| = 
у = у
2
 – 
у
1
.

16
ПРОЕКТ
Жазықтықта  орналасқан  вектордың  модулін  оның  құраушылары-
ның модулі арқылы тік бұрышты үшбұрыштарға арналған Пифагор тео-
ремасы бойынша анықтайды. Мысалы: 
a
a
a
x
y
=
+
2
2
 (сурет 1.7 
а) немесе 
b
b
b
x
y
=
+
2
2
 (сурет 1.7, 
ә).
Пифагор  теоремасы  негізінде  үшөлшемді  кеңістікте  (сурет  1.8)  ор-
наласқан  вектордың  модулі  де  мына  формула  бойынша  анықталады: 
r
r
r
r
x
y
z
=
+
+
2
2
2
.
1. Векторлар, скалярлар деп қандай шамаларды айтады?
2.  Векторларды  үшбұрыш  ережесімен  қалай  қосады?  Көп  векторларды 
қалай қосады?
3. Векторларды үшбұрыш ережесімен қалай азайтады?
4. Векторларды санға көбейткенде қандай вектор алынады?
5. Векторлардың проекциялары дегеніміз не? Векторлардың проекциялары 
қалай алынады?
6. Векторлар құраушыларға қалай жіктеледі?
7.  Жазықтықта  және  кеңістікте  орналасқан  векторлардың  модульдері 
құраушыларының модульдері арқылы қалай анықталады?
1.  Нүкте 
Ох  өсінің  оң  бағытында  2  м/с  жылдамдықпен  түзу-сызықты 
бірқалыпты  қозғалады.  Уақыттың  бастапқы  мезетінде  нүктенің  коор-
динатасы 
х
0
 = –10 м болды. Уақытты санау мезетінен 5 с өткендегі нүк-
тенің  координатасын  табыңдар.  Осы  уақыт  аралығында  нүкте  қанша 
жол жүрді?
2. 
Ох өсінің бойымен 4 м/с жылдамдықпен қозғалған нүктенің координа-
тасы 
х
1
 = 8 м-ден 
х
1
 = –8 м шамасына дейін өзгерді. Координаталардың 
өзгеруіне кеткен уақытты және  осы уақыт аралығында нүктенің жүр-
ген жолын анықтаңдар.
3.  Сурет 1.9 бойынша мына тапсырманы орындаңдар:
1) координаталар  өстерін  таңдап  алыңдар.  Ол  үшін 
А нүктесін бастырып, у өсін тік төмен, ал х өсін AD 
бағытында сызыңдар;
2) әр вектордың  модульдерін  торкөздің масштабына 
сәйкес анықтаңдар;
3)  әр  вектордың 
Ох  және  Оу  өстеріндегі  проекция-
ларын дәптерлеріңе жеке-жеке салып, сан мәндерін 
таңбаларымен көрсетіп жазыңдар;
Сұрақтар
?
Жаттығу 1.1
Сурет 1.9
B
A
C
D

17
ПРОЕКТ
4)  
AC
 

 векторының екі үшбұрыш бойынша қай векторлардың қосындысы 
екенін көрсетіп жазыңдар;
5)  
BC
 

 және 
AD
 

 векторларының қай векторлардың айырымы болатынын 
көрсетіп жазыңдар.
1. Төмендегі көріністен (сурет 1.10) орнынан қозғалған жеңіл машина 
жолдың түзу бөлігінде әрбір екі секунд (∆
t
1 
= ∆
t
2 
= ∆
t
3 
= ... = 2с = const) 
сайын жылдамдығын бірдей шамаға (∆ϑ
1 
= ∆ϑ
2 
= ∆ϑ
3 
= ... = 10 м/с = const) 
арттырып  отырғанын  көреміз.  Ал  тоқтайтын  кезде  жылдамдығын  бір-
дей уақыт аралығында бірдей шамаға кемітуі де мүмкін. Міне, осындай 
қозғалыстарды теңайнымалы қозғалыстар дейді.
Түзусызықты  теңайнымалы  қозғалыс
  деп  кез  келген  тең  уақыт 
аралығында  жылдамдығын  бірдей  шамаға  өзгертіп  отыратын  қоз-
ғалысты айтады.
Егер қозғалыс жылдамдығы уақыттың әр өлшемінде бірдей шамаға 
артып отырса, ондай қозғалыс 
теңүдемелі қозғалыс деп аталады (сурет 
1.10). Ал егер жылдамдық уақыттың әр өлшемінде бірдей шамаға кеміп 
отырса,  ондай  қозғалыс 
теңкемімелі  (теңбаяулайтын)  қозғалыс  деп 
аталады.
,
ì
c
0
10
20
30
t,c
0
2
4
6
Сурет 1.10. Теңүдемелі қозғалыс
Түзусызықты бірқалыпты қозғалыстарды сипаттайтын негізгі физи-
калық шама тұрақты жылдамдық (

 = const) болатын. Ал теңайнымалы 
қозғалыстарда жылдамдық үнемі өзгеріп отырады (

≠ const). Ендеше, 
теңайнымалы қозғалыстарды сипаттайтын негізгі физикалық шама 
қандай  болады?  деген  сұрақ  туындайды.  Енді  осы  сұрақтың  жауабын 
іздестірейік.
§3.
 
       түЗуСЫЗЫҚтЫ тЕңАйНЫМАЛЫ ҚОЗҒАЛЫС. үдЕу

18
ПРОЕКТ
2.  Теңайнымалы  қозғалыстың  талаптарын  ескеріп,  өзара  тең  уақыт 
аралықтарын төмендегі таңбалармен белгілейік: 
∆t
1 
= ∆
t
2 
= ∆
t
3 
= ... = ∆
t.
Әрбір  уақыт  аралығына  сәйкес  келетін  жылдамдықтың  өзгерістерін 
де төмендегіше белгілеп алайық:
∆

1
 

 
= ∆
2
 

 
= ∆
3
 

 
= ... = ∆

. 
Теңайнымалы  қозғалыстың  шартына  сәйкес  жоғарыда  көрсетілген 
уақыт пен жылдамдықтың өсімшелері (айырымдары) тұрақты шамалар 
болып табылады: 
∆t = t – t
0
 = const;
∆


= 

– 

0
 = const,
мұндағы: 
t
0
 – бастапқы уақыт мезеті; 
t – келесі уақыт мезеті;  

0
 – бастап- 
қы уақыт мезетіндегі жылдамдық; 

– келесі уақыт мезетіндегі жылдамдық.
Енді мына қатынастарға көңіл аударайық:
∆
∆
=
∆
∆
=
∆
∆
=
= ∆
∆




1
1
2
2
3
3
 
 
 

t
t
t
t
...
.
Мұндағы  ∆

 шамасы  да,  ∆t  шамасы  да  тұрақты  болғандықтан, 
∆


/∆
t  қатынасы  да  өзгермейтін  тұрақты  шама  болып  табылады: 
∆
∆


t
= 
= const. Міне, осы өзгермейтін тұрақты қатынас теңайнымалы қозғалыс-
ты сипаттайтын физикалық шама болып табылады. Бұл шама 
a

 таңба-
сымен белгіленеді де, 
үдеу деп аталады:
 
 
 
           a
t
t t


  
= ∆
∆
=

 
 # 
# 
0
0
. 
 
 
            (1.6)
Үдеу
  деп  жылдамдықтың  өзгеру  шапшаңдығын  сипаттайтын 
физикалық шаманы айтады.
Халықаралық бірліктер жүйесінде 
үдеу бірлігі = 1  м/с
2
.
Үдеу ұғымын енгізгеннен кейін теңайнымалы қоз-
ғалыстың  да,  түзусызықты  бірқалыпты  қозғалыстың 
да анықтамаларын қысқа түрде былайша тұжырымдай 
аламыз:
–  үдеуі  тұрақты  қозғалысты  түзусызықты 
теңайнымалы қозғалыс деп атайды;
–  үдеуі  нөлге  тең  қозғалысты  түзусызықты 
бірқалыпты қозғалыс дейді.
a  м/с
2
a
–a
0
a
x 
> 0
a
x 
< 0
t, c
Сурет 1.11.
a(t) графигі

19
ПРОЕКТ
Үдеу де жылдамдық сияқты векторлық шама болып табылады. Тең-
айнымалы  қозғалыстың  (1.6)  формуласы  бойынша  салынған  үдеудің 
уақытқа  тәуелділік 
a

(
t)  графигі  уақыт  өсіне  параллель  сызық  болады 
(сурет 1.11). Егер жылдамдық пен үдеу векторларының бағыттары бір-
дей  болса  (
a

 > 0;  

 > 0),  қозғалыс 
теңүдемелі  қозғалыс  деп  (суретте 
қызыл сызық), ал олардың бағыттары қарама-қарсы болса (
a

 < 0; 

 > 0),  
онда 
теңкемімелі қозғалыс деп аталады (суретте көк сызық).
1. Түзусызықты теңайнымалы қозғалыс деп қандай қозғалысты айтады?
2. Үдеу деп қандай шаманы айтады? Қандай формуламен сипатталады?
3.  Түзусызықты  теңүдемелі  және  теңкемімелі  қозғалыстар  деп  қандай 
қозғалыстарды  айтады?  Олардың  үдеулерінің  уақытқа  тәуелділік  гра-
фиктері қандай сызықтармен бейнеленеді?
1.  Алдыңғы  тақырыптағы  үдеудің 
a
t t

  
=
 
 # 
# 
0
0
  формуласынан  бас-
тапқы уақытты нөлге теңестіріп (
t
0 
= 0), кез келген  уақыт мезетіндегі 
түзусызықты теңайнымалы қозғалыстың жылдамдығын таба аламыз:
 
   
=
+
0
at .
Жылдамдықтың  бұл  векторлық  теңдеуін  координаталар  өстеріндегі 
проекциялар бойынша үш скалярлық теңдеумен алмастыруға болады:
ϑ
x
 = ϑ
0
x 
+
a
x
t,
ϑ
у
 = ϑ
0
у 
+
a
y
t,
ϑ
z
 = ϑ
0
z 
+
a
z
t.
Әдетте,  скалярлық  теңдеулерді  өстердің  таңбаларын  көрсетпей  бір 
ғана формуламен өрнектеп жазады:
ϑ =ϑ
0
 
± at. 
 
 
            (1.7)
Мұндағы «плюс» таңбасы теңүдемелі, ал «минус» таңбасы теңкеміме-
лі (теңбаяулайтын) қозғалыстар үшін қолданылады.
Сұрақтар
?

жүктеу/скачать 5,74 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: