Оқулық Өзбекстан Республикасы Халыққа білім беру министрлігі баспаға ұсынған

130
2-теорема.
1-теорема.
2. Шеңберге жанама.  
Анықтама.
 
Шеңбердiң  бiр­ақ  нүктесi  арқылы  өтетiн  және  жүр­
гiзiлген радиусқа пер пендикуляр болатын түзу 
жанама
 деп, ал олардың 
ортақ нүктесi 
жанасу нүктесi
 деп аталады.
2
­б 
 суретте
 l 
түзу – 
O
 орталы шеңберге жанама, 
A
 — жанама нүктесi. 
Шеңбер 
l
 түзуге жанасады десек те болады.
Жанаманың қасиетi туралы теореманы дәлелдейiк.
Шеңберге жанама осы шеңбердiң жанасу нүктесiне жүргiзiлген 
радиусқа перпендикуляр болып табылады.
Дәлелдеу.
 
l
 түзу шеңберге 
A 
нүктеде жүргiзiлген жанама болсын (3- сурет). 
R
 = 
OA
-ның 
l
-ге перпендикуляр бола тынын дәлелдеймiз. Шарт бойынша 
l 
түзу сызықтың 
A
 нүктесiнен басқа барлық нүктелерi шеңберден сыртта 
жатады. Сондықтан бұл түзудiң 
A
-дан басқа кез келген 
A
1
 нүктесi үшiн 
OA
1 
>
 OA
. Демек, 
OA
 қашықтық – 
O 
нүктеден 
l
 түзудiң нүкте лерiне дейiн 
болатын қашықтықтардың ең қысқасы. Нүктеден түзуге дейiнгi ең қысқа 
қашықтық осы түзуге түсiрiлген перпендикуляр болады.  Бұдан 
OA
 
⊥
 l
 екенi 
келiп шығады.  Теорема дәлелдендi.
Ендi жанаманың қасиетiне керi теореманы дәлелдеймiз.
Радиусқа перпендикуляр және оның шеңберде жатқан төбесiнен 
өтетiн түзу осы шеңберге жанама болады.
Дәлелдеу.
  Егер  шеңбер  ортасынан  түзуге  дейiнгi  қашықтық  шеңбер 
радиусына  тең  (
d
 = 
R
)  болса  (2-
б
  суретке  қара),   
l
  түзудiң 
O
  ортаға  ең 
жақын  нүктесi  шеңбердiң  радиусына  тең  болады,  демек,  ол  нүкте 
шеңберге  де  тиiстi  болады. 
l
    түзу  сызықтың  қалған  барлық  нүктелерi 
O
  орталы  шеңбердiң  радиусынан  тысқарыда  жатады,  демек,  шеңберге 
тиісті болмайды. Анықтамаға орай, l түзуі осы шеңберге жанама болады. 
Теорема дәлелденді.
  
Есеп.
  Тікбұрышты 
ACB
  (
∠
C 
=
 
90°)  үшбұрыштың  катеттері 
AC 
= 3  см 
және 
BC 
=
 
4 см. Орталығы С нүктеде болған, радиусы 2,4 см-ге тең шеңбер 
жүргізілген. Бұл шеңбер мен 
АВ
 түзуі өзара қандай 
қатынаста болады?
Шешуі. 

ACB
  (
∠
C 
=
 
90°)-дa: 
AC 
=
 
3  см, 
BC
 = 4  см. Пифагор теоремасына орай:
2
2
3
4
25
5
AB
=
+
=
=
 (см).
CD
 
⊥ 
AB
-ны  жүргіземіз  (4-сурет).  Үшбұрыш-
тың ауданын екі түрлі әдіспен табуға болады, яғни 
A
D
C
B
4
http:eduportal.uz

131
CA 
·
CB 
=
 AB 
·
CD
  теңдігі  орынды.  Бұдан 
СD 
=
 CA 
·
СB
 : 
AB 
=
 
3
 
·
 
4 : 5
 
= 2,4  (см).  Де-
мек, 
C
 нүктеден  АВ түзуіне дейінгі қашықтық радиустың ұзындығына тең 
болғандықтан,  АВ түзуі шеңберге жанама болады.
Жауабы:
 
 
AB
 – жанама.
?
Сұрақтар, есептер және тапсырмалар
 
1. 
1) Шеңбер дегенiмiз не? Оның ортасы,  радиусы деген не? Қандай түзу 
шеңберге жанама деп айтылады?
 
2) Жанаманың қандай қасиетiн және белгiсiн бiлесiң?
 2.  d 
– 
R
 радиусты шеңбердiң ортасынан 
 
l
 түзуге дейiнгi қашықтық. Егер:
 
1) 
R
 = 8  см, 
d
 = 6  см;  2) 
R
 = 10  см, 
d
 = 8,4  см;  3)  
R
 = 14,4  дм, 
d
 = 7,4  дм; 
4) 
R
 = 1,6 дм, 
d
 = 24 см; 5) 
R
 = 4 см, 
d
 = 40 мм болса, 
l
  түзу мен шеңбер 
өзара қалай орналасады?
 3.  ABCD
 квадраттың қабырғасы 8 см-ге және ортасы 
A
 нүк теде болатын 
шеңбердiң  радиусы  7  см-ге  тең. 
AB
, 
BC
, 
CD
  және 
BD
  түзулердiң 
қайсысы осы шеңберге қарағанда қиюшы болады?
 4. 
АВ 
түзуі
 – О 
орталықты шеңбердің
  А 
нүктесіне жүргізілген жанама. 
Егер
  АВ  =  2
4  см-ге,  ал  шеңбердің  радиусы  7  см-ге  тең  болса, 
ОВ 
қиюшының ұзындығы қандай болатынын табыңдар (5-сурет).
 5. 
Тiк бұрышты 
ACB
 (
∠
C
 = 90
°
) үшбұрышта 
AB
 = 10 см, 
∠
ABC
 = 30
°. Ор-
тасы 
A
  нүктеде  болған  шеңбер  жүргiзiлген.  Бұл  шеңбердiң  радиусы 
қандай болғанда: 1) шеңбер 
BC
 түзуге жанасады; 2) 
BC
 түзуімен ортақ 
нүктесi болмайды; 3) 
BC
 түзуімен екi ортақ нүктесi болады?
 6. 
Шеңберден  тысқарыдағы  нүктеден  осы  шеңберге  екi  жанама  жүргi-
зiлген.  Сол  нүктеден  жанама  нүктелеріне  дейінгі  қашықтықтар  тең. 
Осыны дәлелдеңдер (6-сурет).
 7.
  Егер  шеңбердің
 
радиусы  5  см-ге  тең,  шеңбердің
 
ортасынан  түзу 
сызыққa дейінгі қашықтық: 1) 6 см; 2) 5 см; 3) 4 см болса, түзу сызық 
пен шеңбер өзара калай орналасады?
 8.  ABCD
 тiк төртбұрышы берiлген, онда 
AB
 = 16 см, 
AD
 = 12 см (7- сурет). 
AC
, 
BC
, 
CD
  және 
BD
  түзулердiң  қайсысы  радиусы  12  см,  ортасы 
A 
болатын шеңберге жанама болады?
A
B
O
B
C
D
A

жүктеу/скачать 5,14 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: