Геометрия. 11 класс. Многообразие идей и методов : по- собие для учащихся общеобразоват учреждений с белорус и рус яз обучения / Н. М. Рогановский, Е. Н


Тема 3. ОБЪЕМЫ ТЕЛ. ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ



Pdf көрінісі
бет50/75
Дата18.10.2023
өлшемі9,35 Mb.
#186402
1   ...   46   47   48   49   50   51   52   53   ...   75
Байланысты:
fz geometr 11

Тема 3. ОБЪЕМЫ ТЕЛ. ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
§ 1—2. Понятие «объем тела». Объем произвольного прямого
цилиндра
74. Цилиндрическое тело представляет собой объединение двух
равных прямых круговых цилиндров с высотой Н и радиусом основа
ния R. Эти цилиндры пересекаются так, что образующая одного лежит
на оси другого. Найдите объем этого тела.
75. а) Осевое сечение цилиндра — квадрат, диагональ которого рав
на d. Найдите объем цилиндра.

158

© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»


б) Цилиндр пересечен плоскостью, параллельной оси и отсекающей
на окружности основания дугу
a
. Диагональ сечения равна и состав
ляет с плоскостью основания угол
b
. Найдите объем цилиндра.
в) Найдите объем цилиндра, вписанного в правильную шестиуголь
ную призму, у которой каждое ребро равно а.
г) Площадь осевого сечения цилиндра составляет
1
3
площади осно
вания цилиндра. Найдите его объем, если площадь основания равна S.
д) Докажите, что если два цилиндра имеют равные объемы и равные
площади разверток, то такие цилиндры равны.
е) Среди всех цилиндров, у которых осевое сечение имеет одну и ту
же диагональ, равную d, найдите цилиндр, имеющий наибольший объ
ем. Чему равен этот объем?
76. а) В прямой круговой цилиндр вписана треугольная призма
ABCA
1
B
1
C
1
. В основании призмы лежит прямоугольный
D
AВС. Отре
зок, соединяющий вершину A
1
с серединой ребра ВС, равен и накло
нен к плоскости AВС под углом
a
. Найдите объем призмы. Задаются ли
этими данными цилиндр и призма?
б) В условие задачи 76, а добавим, что
D
AВС — равнобедренный. Не
будет ли это условие лишним? Решите вновь составленную задачу.
в) Как еще можно дополнить условие задачи 76, а? Составьте еще
одну задачу и решите ее.
77. а) В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро рав
но и образует с плоскостью основания угол
a
. В эту пирамиду поме
щен прямой круговой цилиндр с квадратным осевым сечением так, что
одна из его образующих расположена на диагонали основания пирами
ды, а окружность каждого основания касается двух смежных боковых
граней пирамиды. Найдите объем цилиндра.
б) В правильный тетраэдр с ребром а поместите равносторонний
цилиндр так, чтобы одно из оснований цилиндра содержалось в осно
вании тетраэдра, а окружность второго основания касалась трех боко
вых граней. Найдите объем этого цилиндра.
в) В куб с ребром а поместите равносторонний цилиндр так, чтобы
его ось лежала на диагонали куба, а окружности оснований цилиндра
касались граней куба. Найдите объем этого цилиндра.
78. а) Докажите, что объем прямой треугольной призмы равен поло
вине произведения площади боковой грани на расстояние ее от проти

159

© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»


воположного ребра. Сформулируйте аналогичное планиметрическое
предложение.
б) Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция,
боковая сторона которой равна 15, а основания равны 25 и 7. Диагональ
призмы равна 29. Найдите объем призмы.
в) Найдите объем прямой треугольной призмы, зная, что ее основа
ние — прямоугольный треугольник; радиус окружности, описанной
около основания, равен и диагонали наибольшей и наименьшей бо
ковых граней составляют с основанием углы
a
и 2
a
.
г) Около призмы, в основании которой лежит трапеция с основа
ниями а и b, описан шар радиуса R. Высота призмы равна H. Найдите
объем призмы.
79. Основанием прямой призмы служит прямоугольный треуголь
ник, у которого один из острых углов равен
a
, а высота, проведенная из
вершины прямого угла на гипотенузу, равна h. Найдите объем призмы,
если известно, что в нее можно вписать шар.
80. а) Около шара радиуса описана правильная треугольная приз
ма. Найдите ее объем.
б) Основанием призмы служит правильный треугольник, вписан
ный в окружность радиуса R. Боковые грани призмы — квадраты. Най
дите объем этой призмы.
в) В шар радиуса вписана правильная треугольная призма. Боко
вое ребро призмы равно радиусу шара. Найдите объем призмы.
81. а) Основанием прямого параллелепипеда служит параллело
грамм, у которого одна из диагоналей равна 17, а стороны — 9 и 10. Пло
щадь поверхности параллелепипеда равна 334. Найдите его объем.
б) Основанием прямого параллелепипеда служит параллелограмм,
стороны которого равны 20 и 21, а площадь боковой поверхности равна
246. Меньшая диагональ параллелепипеда равна 5. Найдите объем па
раллелепипеда.
в) Стороны основания прямого параллелепипеда равны 25 и 39.
Площади его диагональных сечений равны 204 и 336. Найдите объем
параллелепипеда.
г) Диагонали прямого параллелепипеда равны 92 и 88, а стороны ос
нования — 15 и 16. Найдите объем параллелепипеда.
д) Основанием прямого параллелепипеда служит ромб, диагонали
которого относятся как 5 : 16. Зная, что диагонали параллелепипеда
равны 13 и 20, найдите объем параллелепипеда.

160

© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»


82. а) Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна и со
ставляет с плоскостью основания угол в 30
°
, а с плоскостью боковой
грани — угол в 45
°
. Найдите объем этого параллелепипеда.
б) Площади трех граней прямоугольного параллелепипеда равны


Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   46   47   48   49   50   51   52   53   ...   75




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет