Геометрия. 11 класс. Многообразие идей и методов : по- собие для учащихся общеобразоват учреждений с белорус и рус яз обучения / Н. М. Рогановский, Е. Н


§ 6—8. Комбинации многогранников и тел вращения



Pdf көрінісі
бет48/75
Дата18.10.2023
өлшемі9,35 Mb.
#186402
1   ...   44   45   46   47   48   49   50   51   ...   75
Байланысты:
fz geometr 11


§ 6—8. Комбинации многогранников и тел вращения.
Части сферы и шара. Правильные многогранники
65. а) Пусть — радиус шара, описанного около правильной пира
миды, — радиус окружности, описанной около основания, Н — высота
пирамиды. Докажите, что R
=
r
H
H
2
2
2
+
.
б) Пусть — радиус шара, описанного около правильного тетраэдра
с ребром а. Докажите, что R
=
6
4
.
в) Можно ли результат задачи 65, а перенести без изменения на лю
бую пирамиду с равными боковыми ребрами?
г) Дана пирамида SABCD, в основании которой лежит прямоуголь
ник ABCD со сторонами а и b. Ребро SA перпендикулярно плоскости
основания. Большее из боковых ребер составляет с плоскостью основа
ния угол
a
. Найдите радиус шара, описанного около данной пирамиды.

154

© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»


д) Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник
с катетами AB
=
аАС
=
b. Боковое ребро SA
=
SB
=
SC
=
c. Найдите ради
ус шара, описанного около данной пирамиды.
е) Дана треугольная пирамида SABC, в которой ВС
=
аAB
=
АС,
SA
^
ABC. Двугранный угол при ребре SA равен
a
, при ребре ВС ра 
вен
b
. Найдите радиус описанного шара.
ж) Докажите, что радиус описанного около призмы шара вычис
ляется по формуле R
=
1
2
4
2
2
H
r
+
, где Н — высота призмы, — радиус
окружности, описанной около основания призмы.
з) Радиус шара, описанного около куба, равен R. Найдите ребро
куба.
и) Дан прямой круговой цилиндр с радиусом основания и высо
той Н. Найдите радиус описанного шара.
66. а) Докажите, что если двугранные углы при ребрах основания
пирамиды равны между собой, то в эту пирамиду можно вписать шар.
б) Основанием пирамиды служит ромб с острым углом
a
и сторо
ной а. Все боковые грани пирамиды составляют с плоскостью основа
ния угол
b
. Найдите радиус шара, вписанного в эту пирамиду.
в) Докажитe, что для правильной пирамиды центр вписанного шара
является точкой пересечения ее высоты с биссектором какогонибудь
двугранного угла при основании.
г) Докажите, что радиус шара, вписанного в правильную пирами
ду, может быть найден по формуле R
=
Hr
r
H
r
+
+
2
2
, где Н — высота пи
рамиды, — радиус круга, вписанного в ее основание.
д) Пусть дан правильный тетраэдр с ребром а. Докажите, что радиус
вписанного шара R
=
6
12
.
е) Проверьте, справедливы ли результаты задач 66, г и 66, д приме
нительно к пирамидам, боковые грани которых равнонаклонены к пло
скости основания.
67. а) Докажите, что шар можно вписать в призму тогда и только то
гда, когда ее перпендикулярное сечение — описанный многоугольник,
а высота равна диаметру круга, вписанного в это сечение.
б) Докажите, что в прямую призму можно вписать шар тогда и толь
ко тогда, когда ее основание — описанный многоугольник (с радиусом
вписанного круга R), а боковое ребро равно 2R.

155

© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»


в) В треугольную призму вписан шар радиуса R. Известно, что пер
пендикулярным сечением призмы является прямоугольный треуголь
ник с углом 60
°
. Найдите площадь этого сечения.
г) Основанием четырехугольной призмы служит ромб со стороной
а и острым углом
a
. Перпендикулярным сечением призмы является
квадрат. Найдите угол между плоскостью перпендикулярного сечения
и плоскостью нижнего основания, если радиус шара, вписанного в приз
му, равен R.
68. а) Докажите, что если шар вписан в прямой круговой конус, то
центр шара всегда лежит на высоте конуса.
б) В конус, образующая которого равна и составляет с плоскостью
основания угол
a
, вписан шар. Найдите длину окружности касания
шара и конуса.
в) В конус вписан шар. Окружность, по которой боковая поверх
ность конуса касается шара, имеет радиус, равный r. Образующая кону
са видна из центра шара под углом
a
. Найдите: 1) угол при вершине
осевого сечения конуса; 2) угол наклона образующей к плоскости осно
вания конуса; 3) радиус основания конуса; 4) высоту и образующую ко
нуса. Установите, в каких границах могут изменяться значения угла
a
.
г) B конус вписан шар. Радиус окружности, по которой касаются ко
нус и шар, равен r. Угол между образующей и высотой конуса равен
a
.
Найдите: 1) радиус шара; 2) радиус основания конуса; 3) высоту и об
разующую конуса.
д) В конус вписан шар. Найдите радиус шара, если образующая ко
нуса равна и наклонена к плоскости основания под углом
a
.
е) Площадь осевого сечения конуса равна Q. Образующая составля
ет с плоскостью основания угол
a
. Найдите радиус вписанного в конус
шара.


Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   44   45   46   47   48   49   50   51   ...   75




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет