§ 5—7. Объем тела вращения. Объем конуса и пирамиды

сторон и лежащей в плоскости прямоугольника, но его не пересекаю
щей. Докажите, что объем этого тела равен произведению площади
прямоугольника на длину окружности, описываемой при вращении
центром тяжести прямоугольника.
б) Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси абс
цисс фигуры, ограниченной линиями: 1) у
=
2х, х
=
1, х
=
3 и y
=
0;
2) y
x
=
, x
=
2 и у
=
0; 3) у
=
х
2
, х
=
3, y
=
0.
в) Прямоугольный
D
АВС с катетами а и b (а
<
b) вращается один раз
вокруг прямой AС, другой раз — вокруг прямой ВС. Какое из двух тел
вращения имеет больший объем?
89. а) Высота конуса H, площадь осевого сечения Q. Найдите объем
конуса.
б) Найдите объем конуса, если в его основании хорда длиной l стя
гивает дугу
a
, а угол между образующей и высотой конуса равен
b
.
в) Образующая конуса составляет с основанием угол
a
. Площадь
сечения, проходящего через две образующие, угол между которыми ра
вен
b
, равна Q. Найдите объем конуса.
г) Найдите объем конуса, вписанного в шар радиуса R, если угол
при вершине осевого сечения конуса равен
a
.
д) Образующая конуса равна l. Какое наибольшее значение может
иметь его объем?
е) В конус помещена правильная треугольная призма, все ребра ко
торой равны а. Четыре вершины призмы лежат на окружности основа
ния, а две — на боковой поверхности конуса. Найдите объем конуса.
ж) В равносторонний конус, образующая которого равна l, вписана
правильная шестиугольная призма, боковая грань которой — квадрат.
Найдите объем конуса.
з) Ребро куба ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
равно а. Высота равностороннего кону
са с вершиной А лежит на диагонали AC
1
. Окружность основания конуса
касается трех граней куба с общей вершиной С. Найдите объем конуса.
90. а) Объем конуса, вписанного в правильную четырехугольную
пирамиду, равен V. Двугранный угол, образованный смежными боко
выми гранями, равен
a
. Найдите длину стороны основания пирамиды.
б) В конус вписан шар. Найдите объем конуса, если радиус шара ра
вен R, а угол между высотой и образующей конуса равен
a
.
в) В усеченном конусе диагонали осевого сечения взаимно перпен
дикулярны, а образующая составляет с плоскостью нижнего основа
ния угол
a
и равна l. Найдите объем усеченного конуса.
—
165
—
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

г) Угол при вершине осевого сечения конуса равен
a
, а сумма длин
его высоты и образующей равна m. Найдите объем конуса.
д) В шар радиуса R вписан конус, образующая которого наклонена
к плоскости основания под углом
a
. Найдите объем конуса.
е) Прямой круговой конус рассечен на две равные по объему части
плоскостью, проходящей через центр вписанного шара перпендику
лярно оси конуса. Найдите угол между образующей и плоскостью ос
нования.
ж) В каком отношении делится объем равностороннего конуса
плоскостью, которая проведена через окружность касания шара, впи
санного в этот конус, с боковой поверхностью конуса?
з) В прямом круговом конусе расположены два шара единичного
радиуса, касающиеся основания конуса в точках, симметричных отно
сительно центра основания. Каждый из шаров касается боковой по
верхности конуса и другого шара. Найдите объем конуса, если его обра
зующая наклонена к плоскости основания под углом
a
.
91. а) В правильный тетраэдр вписан шар радиуса r. Найдите объем
тетраэдра.
б) Около правильного тетраэдра описан шар радиуса R. Найдите
объем тетраэдра.
в) Найдите объем пирамиды Хеопса, если известно, что эта пирами
да — правильная, периметр ее квадратного основания равен 932 м, а бо
ковое ребро равно 220 м.
г) В шар радиуса R вписана правильная треугольная пирамида.
Найдите объем пирамиды, если ее боковое ребро наклонено к плоско
сти основания под углом
a
.
д) Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды образует
с плоскостью основания угол
a
, а середина его удалена от центра осно
вания на расстояние m. Найдите объем пирамиды.
е) В правильной nугольной пирамиде боковое ребро образует с плос
костью основания угол
a
. Найдите объем пирамиды, если расстояние от
центра ее основания до бокового ребра равно d.
ж) Основанием пирамиды АВСD служит
D

жүктеу/скачать 9,35 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: