107. Шар радиуса R касается всех ребер куба. Найдите площадь по
верхности куба, которая находится вне шара.
108. а) Найдите площадь поверхности правильной четырехуголь
ной пирамиды, если ее высота равна H, а сторона основания равна а.
б) Основанием пирамиды служит ромб с диагоналями p и q. Точка
пересечения диагоналей ромба лежит на высоте пирамиды, длина кото
рой равна Н. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
в) Вершинами пирамиды являются центр верхнего основания куба
и середины сторон нижнего основания. Найдите площадь поверхности
пирамиды, если ребро куба равно а.
109. а) Основанием пирамиды служит правильный шестиугольник
со стороной а. Одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости ос
нования и равно стороне основания. Найдите площадь поверхности
пирамиды.
б) Центр основания правильной четырехугольной пирамиды уда
лен от боковой грани на расстояние h. Найдите площадь поверхности
пирамиды, если боковая грань образует с плоскостью основания угол
b
.
в) Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно b и об
разует с плоскостью основания угол
a
. Найдите площади боковой по
верхности пирамиды и ее основания.
г) Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиуголь
ной пирамиды, если расстояние от центра основания пирамиды до се
редины бокового ребра равно h и плоский угол при вершине равен
g
.
110. а) Все боковые грани пирамиды наклонены под углом
b
к плос
кости основания. Площадь боковой поверхности пирамиды равна S.
Чему равна площадь поверхности пирамиды?
б) Площадь боковой поверхности правильной пирамиды втрое
меньше площади всей ее поверхности. Найдите угол между боковой
гранью и плоскостью основания.
—
172
—
©
НМУ
«
Национальный
институт
образования
»
©
ОДО
«
Аверсэв
»
в) Отношение площади боковой поверхности правильной треуголь
ной пирамиды к площади ее основания равно k. Найдите угол между
боковым ребром и высотой пирамиды.
г) Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пи
рамиды равна S, а плоский угол при вершине равен
g
. Найдите высоту
пирамиды.
д) Найдите сторону основания правильной четырехугольной пира
миды, зная ее высоту Н и площадь боковой поверхности S.
111. а) Найдите площадь поверхности правильной nугольной пи
рамиды, если известны ее апофема h и угол наклона боковой грани
к плоскости основания
b
.
б) Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной
пирамиды, если плоскость, проходящая через сторону основания и се
редину высоты пирамиды, наклонена к плоскости основания под углом
в 30
°
. Сторона основания равна а.
в) В правильной четырехугольной усеченной пирамиде отношение
площадей оснований равно k
2
(k
>
1), а боковая грань образует с боль
шим основанием угол
b
. Найдите площадь боковой поверхности пира
миды, если ее апофема равна h.
г) Апофема правильной треугольной пирамиды равна h, а боковые
грани наклонены к плоскости основания под углом
b
. Найдите пло
щадь боковой поверхности пирамиды.
д) Основанием пирамиды служит квадрат. Две боковые грани этой
пирамиды перпендикулярны плоскости основания, две другие ее боко
вые грани образуют с плоскостью основания двугранные углы, каждый
из которых равен
a
. Высота пирамиды равна H. Найдите площадь боко
вой поверхности пирамиды.
112. а) Плоский угол при вершине правильной четырехугольной
пирамиды равен 2
g
, высота пирамиды равна H. Найдите площадь пол
ной поверхности пирамиды.
б) Площадь круга, описанного около основания правильной тре
угольной пирамиды, равна Q, а плоский угол при ее вершине равен 60
°
.
Чему равна площадь поверхности пирамиды?
113. а) Сторона основания правильной треугольной пирамиды рав
на а, двугранный угол между боковыми гранями равен
d
. Найдите объ
ем и площадь боковой поверхности пирамиды.
б) Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды
равны а, угол между смежными боковыми гранями равен
d
. Найдите
площадь боковой поверхности пирамиды.
—
173
—
©
НМУ
«
Национальный
институт
образования
»
©
ОДО
«
Аверсэв
»
в) Основанием пирамиды служит прямоугольник. Две смежные бо
ковые грани перпендикулярны плоскости основания, а две другие об
разуют с ним углы
a
и
b
. Высота пирамиды H. Найдите площадь боко
вой поверхности пирамиды.
114. а) В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар. Рас
стояние от центра шара до вершины пирамиды равно h, а угол наклона
боковой грани к плоскости основания равен
b
. Найдите площадь по
верхности пирамиды.
б) Диаметр шара является высотой правильного тетраэдра, ребро
которого а. Какая часть площади поверхности тетраэдра содержится
внутри шара?
115. В усеченной пирамиде соответственные стороны оснований
относятся как т : п. Через середину высоты перпендикулярно ей про
ведена плоскость. В каком отношении она делит площадь боковой по
верхности?
116. а) Пусть V — объем тетраэдра, S — площадь его поверхности,
R — радиус вписанного шара. Докажите, что R
=
3V
S
.
б) Нельзя ли обобщить предыдущую задачу? Выясните, справедли
во ли утверждение: «Если в некоторый многогранник можно вписать
шар, то его радиус R находится по формуле R
=
3V
S
, где V — объем много
гранника, S — площадь поверхности многогранника». Сформулируйте
аналогичное планиметрическое предложение.
в) Докажите, что площадь боковой поверхности правильной шести
угольной призмы в три раза больше площади наибольшего диагональ
ного сечения.
г) Каждое ребро треугольной наклонной призмы равно а, одно из
боковых ребер образует со смежными сторонами основания углы, рав
ные
a
. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
д) Основанием прямой призмы служит прямоугольный треуголь
ник, у которого катет а и противолежащий угол
a
. Найдите площадь бо
ковой поверхности призмы, если известно, что в нее можно вписать шар.
е) Шар радиуса R касается всех ребер куба. Найдите площадь по
верхности куба, которая находится внутри шара.
ж) Диагональ наибольшего диагонального сечения правильной
шестиугольной призмы равна d и наклонена к плоскости основания
под углом
a
. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
—
174
—
©
НМУ
«
Национальный
институт
образования
»
©
ОДО
«
Аверсэв
»
з) В правильной треугольной призме все ребра равны. Площадь се
чения, проходящего через сторону нижнего основания и вершину верх
него основания, принадлежащую противоположному ребру, равна Q.
Найдите площадь боковой поверхности призмы.
и) Основанием прямой призмы служит прямоугольный треуголь
ник, гипотенуза которого с и острый угол
a
. Найдите площадь боковой
поверхности призмы, если известно, что в нее можно вписать шар.
к) Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны а
и b ( b
>
а). Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основа
ния угол в 60
°
, а с плоскостью большей боковой грани — угол в 30
°
.
Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.
Достарыңызбен бөлісу: |