Геометрия. 11 класс. Многообразие идей и методов : по- собие для учащихся общеобразоват учреждений с белорус и рус яз обучения / Н. М. Рогановский, Е. Н


 а) См. § 2. б) См. § 2. г) См. § 2. д) См. § 2. ж) См. § 2. 13



Pdf көрінісі
бет62/75
Дата18.10.2023
өлшемі9,35 Mb.
#186402
1   ...   58   59   60   61   62   63   64   65   ...   75
Байланысты:
fz geometr 11

12. а) См. § 2. б) См. § 2. г) См. § 2. д) См. § 2. ж) См. § 2.
13. б) Справедливо. в) Воспользуйтесь тем, что поворот вокруг оси
является движением. д) Можно. Воспользуйтесь одним из общих
свойств движений. е) Рассмотрите три случая.
14. а) Останутся.
15. а) Ось поворота строится как прямая, по которой пересекаются
плоскости симметрии точек А и А
1
В и В
1
(АВ и А
1
В
1
— данные отрез
ки). Пусть плоскость, проходящая через точки А и А
1
перпендикулярно
построенной прямой, пересекает эту прямую в точке О, а аналогичная
плоскость, проходящая через точки В и В
1
— в точке О
1
. Докажите, что
Ð
АОА
1
= Ð
ВО
1
В
1
Рассмотрите плоскости, проходящие через прямую s
и точки В и В
1
А и А
1
б) Пусть прямая РМ (рис. 155) перпендикулярна
к данным скрещивающимся прямым а и и пересекает их, — середи
на отрезка РМ. На прямых а и отложим равные отрезки РА и МА
1
, точ
ки А и A
1
соединим отрезком, О — середина этого отрезка. Через точки
Н и О проведем прямую s. Докажем, что при симметрии относительно
этой оси прямая а переходит в прямую b. Проведем через точку М пря
мую a
1
|| a. Через прямые и а
1
проведем плоскость
a
. Ясно, что PM
^ a
.
Пусть А
0
— ортогональная проекция А на плоскость
a
А
0
Î
a
1
. Нетруд
но доказать, что точка О ортогонально проектируется на плоскость
a
в точку С, лежащую на биссектрисе угла, образованного прямыми b
и a
1
. Тогда l
^
AA
0
и l
^
А
0
А
1
Отсюда получаем, что l
^
АА
1
После того
как будет доказано, что l || s, получаем: s
^
АА
1
Итак, при симметрии
относительно прямой точка А переходит в точку А
1
Это только часть

181

Рис. 155
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»


доказательства. Аналогично можно построить на данных прямых а и b
точки В и В
1
(РВ
=
МВ
1
), взять середину O
1
отрезка ВВ
1
, провести через
точки Н и O
1
новую прямую m; на основании предыдущего точки В и В
1
симметричны относительно прямой т. Но совпадают ли прямые т и s?
Докажем, что они совпадают. В самом деле, совпадение этих прямых
следует из того, что они принадлежат двум одним и тем же плоскостям:
плоскости симметрии точек Р и М и плоскости, проходящей через РМ
и l. После этого доказательство можно считать законченным. Проведи
те это доказательство полностью. Возможен другой способ. Он менее
нагляден, но зато несравненно проще. Идея его усматривается из пре
дыдущего доказательства, в котором было установлено, что ось сим
метрии находится как прямая, по которой пересекаются плоскость
симметрии точек Р и и плоскость симметрии прямых и а
1
Действи
тельно, при симметрии относительно первой плоскости прямая а пере
ходит в прямую а
1
, а при симметрии относительно второй — прямая а
1
переходит в прямую b. В итоге прямая а переведена в прямую b. Не
трудно видеть, что указанные две плоскости взаимно перпендикулярны.
Поэтому последовательное выполнение двух симметрий относительно
этих плоскостей дает осевую симметрию с осью — линией пересечения
плоскостей симметрии. Таким образом, искомая ось симметрии стро
ится как прямая пересечения двух указанных плоскостей симметрии.
16. а) Верно. б) 9 осей симметрии: 6 осей, проходящих через середи
ны его противоположных ребер, и 3 оси, проходящие через центры про
тивоположных граней.


Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   58   59   60   61   62   63   64   65   ...   75




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет