ЖƏне қолданбалы мəселелері халықаралық ғылыми конференцияның материалдары 12-14 маусым

18 
относительно  переменных  нелинейности  в  системе,  оценка  решения  нелинейной  системы;  изучены 
асимптотические  свойства  функций,  связанных  с  ограниченностью  несобственного  интеграла. 
Доказаны теоремы об абсолютной устойчивости положения равновесия нелинейной системы. 
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 
1.
 
Айсагалиев  С.А. 
К  теории  абсолютной  устойчивости  регулируемых  систем
 // Дифференциальные 
уравнения. – Минск-Москва. – 1994. – Т.30, №5. – С.748-757. 
2.
 
Айсагалиев С.А. 
Теория регулируемых систем.
 – Алматы: Қазақ университеті, 2000. – 234 с. 
3.
 
Айсагалиев С.А.
Теория устойчивости динамических систем
. – Алматы: Қазақ университеті, 2012.–216. 
4.
 
Aisagaliev S.A., Kalimoldayev M.N.
 Certain problems of synchronization theory
 // Journal Inverse Ill-Posed 
Problems. – 2013. – №21. – P. 159-175.
 
 
 
ЗАДАЧИ УПРАВЛЯЕМОСТИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА С 
ОГРАНИЧЕНИЕМ НА УПРАВЛЕНИЕ 
Айсагалиев С. А., Белогуров А.П. 
Казахский национальный университет имени аль-Фараби, Алматы, Казахстан  
E-mail: aibels@yandex.ru 
 
Исследуются вопросы управляемости для процессов, описываемых параболическим уравнением, 
где  распределенное  управление  берется  из  заданного  множества.  Метод  решения  указанных  задач  
основан на построении минимизирующих последовательностей. 
Рассматривается управляемый процесс, описываемый внутри области  


T
t
x
Q





0
,
1
0
 
следующим уравнением: 
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
2
2
2
t
x
v
t
x
t
t
x
u
a
t
t
x
u








,                                          (1) 
на границе 
Q
 удовлетворяющий начальному и граничным условиям 
  
0
)
1
,
(
)
1
,
(
,
0
)
0
,
(
),
(
)
,
0
(










t
u
x
t
u
x
t
u
x
x
u
,                               (2) 
где 


1
0
/
),
,
(
)
(
),
,
(
)
,
(
1
1
1
1
2
1
2








x
R
x
I
R
I
L
x
R
Q
L
t
x
 – заданные  функции, 

 – 
заданное число, 
)
,
( t
x
v
 – управление, причем  














Q
dxdt
t
x
v
R
Q
L
t
x
v
V
t
x
v
2
2
1
2
)
,
(
/
)
,
(
)
,
(
)
,
(
.                              (3) 
Задача 1 (задача  управляемости).  Найти  управление 
V
t
x
v

)
,
(
,  которое  переводит  систему 
(1)–(3)  из  начального  состояния   
1
),
(
)
,
0
(
I
x
x
x
u



  в  заданное  конечное  состояние  
1
),
(
)
,
(
I
x
x
T
x
u



 в момент времени 
T
, где 
)
,
(
)
(
1
1
2
R
I
L
x


 – заданная функция. 
Задача 2 (задача  управляемости  с  минимальной  нормой).  Найти  управление 
)
,
(
)
,
(
1
2
R
Q
L
t
x
v

  с  минимальной  нормой,  которое  переводит  систему (1)–(3) из  начального 
состояния 
)
(
)
,
0
(
x
x
u


 в состояние 
).
(
)
,
(
x
T
x
u


 
Задача  управляемости  с  учетом  ограниченности  ресурсов  управления (3) является  основной 
задачей. Решение задачи 2 может быть получено из метода решения задачи 1. Задача управляемости 
для  процессов,  описываемых  обыкновенными  дифференциальными  уравнениями,  исследована  в [1-
3].  Задача  управляемости  с  минимальной  нормой  на  основе  проблемы  моментов  решена  в  работах 
[4,5].  Задача 1 не  может  быть  решена  методами,  предложенными  в [4,5], в  отличие  от  задачи 
управляемости  с  минимальной  нормой  указанная  задача  не  всегда  имеет  решение.  Интерес 
представляет  поиск  нового  конструктивного  метода  решения  задачи 1, ориентированного  на 
применение  ЭВМ.  Предлагается  метод  решения  указанных  задач  путем  построения 
минимизирующих последовательностей. 
 
 
 

19 
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 
1.
 
Айсагалиев  С.А. 
Управляемость  некоторой  системы  дифференциальных  уравнений
 // Дифференц. 
уравнения. 1991. Т.27, №9. С. 1476–1486.
 
2.
 
Айсагалиев С.А. 
Общие решения одного класса интегральных уравнений
. //Математический журнал. – 
2005. – №4. – С.7-13.
 
3.
 
Бутковский А.Г. 
Методы управления системами с распределенными параметрами
. – М.: Наука, 1975. 
– 568 с.
 
4.
 
Егоров А.И. 
Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами
. –М.: Наука, 1978. – 
464 с.
 
 
СХОДИМОСТЬ МЕТОДА РАСЩЕПЛЕНИЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО 
УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА 
Акыш А.Ш. 
Институт математики и математического моделирования, Алматы  
E-mail: akysh41@mail.ru 
 
Задача  Коши  для  нелинейного  уравнения  Больцмана  молекул–твердых  шаров  радиуса 


в 
},
3
,
1
,
{
V
};
3
,
1
,
1
0
{
;
T
],
T
,
0
[
t
;
]
T
,
0
[
3
3






















v
x
G
V
G
Q
v
x
 
относительно функции распределения 
)
,
f(t,
f
v
x

запишется [1],[2]: 
,
1,3
α
,
|
)
,
f(t,
|
)
,
f(t,
  
0;
)
,
(
|
)
,
f(t,
fS(f),
J(f)
f)
,
(
t
f
α
1x
α
0x
0
t













v
x
v
x
v
x
v
x
v
x

     (1) 
где 
 
 
 
 



3
,
d
d
)
,
(
K
 )
,
(t,
f 
)
,
(t,
f
(f)
J
1
1
V
Σ
v
W
v
x
v
x


 
 





2
sin
4
/
1
)
,
(
K
,
d
d
)
,
(
K
 
)
,
f(t,
S(f)
2
1
1
3
W
W
v
W
v
x
Σ


 
V
, 

1
,
v
v
векторы  скорости двух  сталкивающихся  молекул до  столкновения; 



1
,
v
v
векторы  скорости 
после  столкновения; 
1
v
v
W


-вектор  относительной  скорости;  скорости  молекул  после 
столкновений  связаны  с  соответствующими  скоростями  до  него  посредством  динамических 
соотношений: 











g
W
g
g
v
v
W
g
g
v
v
1
;
,
,
,
1








cos
,
sin
sin
,
cos
sin
единичный  
вектор в направлении рассеяния молекул; 
 

















x
Γ
;
2
0
;
0
,
Σ
грань куба 
G
, 
перпендикулярная к оси 

x
, проходящая через 



,

x
 принимает значение либо 
,
0
либо 
.
1
 
В работе [3] для решения задачи (1) построена схема метода расщепления 
),
J(f
f
f
        
);
(f
 
S
f
f
f
5
/
1
5
/
1
5
/
2
5
/
1
5
/
1
5
/
1











n
n
n
n
n
n
n


   (2) 
 

,
2
,
1
,
0
,
0
,
;
3
1
 ,
0
f
 
f
f
5
/
)
2
(
5
/
)
1
(
5
/
)
2
(















n
n
t
,
x
v
n
n
n
n









 (3) 
На  основе  схемы (2),(3) получена  ограниченность  положительных  решений  в  пространстве 
непрерывных функций. 
,
;
M
T
,
T
)
,
(
f
)
(
)
3
(
1
3
const
A
A
V
G
V
G
n











C
C
v
x
  
(4) 
С помощью ограниченности решения и установленных априорных оценок доказано сходимость 
схемы (2),(3) и  единственность  предельного  элемента.  Предельный  элемент  удовлетворяет 
эквивалентному  интегральному  уравнению  Больцмана.  Тем  самым  показана  разрешимость 
нелинейного уравнения Больцмана в целом по времени. 
 
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 
1.
 
Карлеман Т. 
Математические задачи кинетической теории газов
. –Москва, ИЛ, 1960. 
2.
 
Sultangazin U. M. 
Discrete Nonlinear Models of the Boltzmann Equation
. Moscow, Nauka, 1987. 
3.
 
Акыш А.Ш.
 Сходимость метода расщепления для нелинейного уравнения Больцмана
// Сиб. журн. 
вычисл. математики /РАН. Сиб. отд-ние. –Новосибирск, 2013.–Т. 16,  №2. –С.123–131. 
 
 

20 
О ВЕРОЯТНОСТНОМ РЕШЕНИЙ ОДНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 
СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯХ 
Аканбай Н., Тулебаев Б.Б. 
Казахский национальный университет им. аль-Фараби, Алматы, Казахстан 
E-mail: bekzhan.tulebaev@gamil.com  
 
Известно,  что  решение  уравнений  в  частных  производных,  в  том  числе  параболических 
уравнений,  можно  записывать  в  виде  интеграла  (условного  математического  ожидания)  по 
траекториям  случайного  процесса,  инфинитезимальным  оператором  которого  является  стоящий  в 
правой части уравнения дифференциальный оператор . Но основная трудность здесь состоит в том, 
что обычно невозможно найти точное распределение нужного нам процесса – известно только то, что 
этот  процесс  является  решением  некоторого  (определяемого  через  коэффициенты  исходного 
уравнения) стохастического дифференциального уравнения. 
Разница  настоящей  работы  от  вышесказанных  видов  работ  состоит  в  том,  что  при  наличии 
некоторых  определенных  связей  между  коэффициентами  стоящего  в  правой  части  исходного 
уравнения дифференциального оператора и коэффициентом при неизвестной функции ,доказывается, 
что решение исходного уравнения можно записать не с помощью какого то абстрактного процесса, а 
с помощью хорошо известного винеровского процесса. Отметим также , что полученные в настоящей 
работе  для  вероятностных  решений  формулы  охватывают  также  случаи,  когда  коэффициенты 
исходного уравнения зависят не только от пространственных, но также и от временных переменных. 
Рассмотрим следующее параболическое уравнение  
 
 
 
где 
 
Теорема.  Пусть 
  и 
 – ограниченные  и  непрерывные  вместе  со  своими 
производными (по х) до второго порядка включительно функции. Тогда для решения уравнения  (1) 
имеет место представление 
 
,                                   (2) 
 
где 
 (не объязательно 
) – винеровский процесс, а знак  
 означает 
взятие  условного  математического  ожидания  от  функционала 
  по  всем  всем,  выходящим  в 
начальный  момент  времени  из  точки  х  траекториям  винеровского  процесса,  а  стоящие  в  степенях 
экспонент интегралы  понимаются как стохастические среднеквадратичные интегралы ([1]). 
Замечание.  В  случае,  когда 
  представление  ( 2 ) позволяет  находит 
совместную  характеристическую  функцию  аддитивных  функционалов  от  винеровского  процесса 
вида 
  что  в  свою  очередь  (в  некоторых 
частных  случаях)  приведет  к  нахождению  их  точных  законов  распределения.  В  заключение,  в 
качестве  применения  доказанной  формулы ( 2 ) найдены  распределения  функционалов 
 
и 
др. 
Например, 
плотность 
и 
функция 
распределения 
 определяются формулами 
 
 
 
 

21 
В заключение отметим, что следуя идеям работы ( 2 ), доказанное представление можно будет 
использовать для осреднения исходного.(но уже  со случайными коэффициентами) уравнения. 
 
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 
1. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов – М.: Наука, 1977. 
2.  Ақанбай  Н.,  Ахмедов  А.Б.,  Тапеева  С.Қ.  Об  осреднении  уравнения  теплопроводности  со 
случайными  дельта-коррелированными  по  времени  коэффициентами  и  правой  частью – Вестник 
КазНПУим.Абая. Серия физ.мат.науки, №2 (42) 2013 г., С. 18-23. 
 
РЕШЕНИЕ ОДНОЙ ОБОБЩЕННОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ 
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 
Алдибекова М.С., Петерс С.Н., Рамазанов М.И. 
 Карагандинский государственный университет им. академика Е.А. Букетова, Караганда, Казахстан    
Е-mail: aldibekovam@mail.ru, snpeters@mail.ru, ramamur@mail.ru 
 
При  решении  краевых  задач  для  нагруженного  уравнения  теплопроводности  возникают 
следующего рода задачи [1, 2].  
В области 
}
0
,
0
),
,
{(



t
x
t
x
Q
 рассматривается обобщенная спектральная задача [2], 520 ст. 
t
x
t
x
u
e
x
u
t
u
u
L













2
2
4
2
2
1

                                             (1) 
;
0
)
0
,
(

x
U
   
0
)
0
,
(

t
U
, 
где 


действительный спектральный параметр. Пусть  
;
2
ln
1









N
     








2
1
2
ln
2


N
,  
1


,  
где квадратные скобки означают целую часть числа и введем обозначения:  
,
ln
exp
1
ln
2
sin
ln
2
cos
4
ln
exp
1
)
(
2
)
1
(
0
2
)
2
(
2
)
1
(
2
2
2

























t
t
c
t
k
c
t
k
c
t
k
t
t
k
k
k










 
























)
2
(
ln
sin
)
2
(
ln
cos
4
)
2
(
ln
exp
1
)
(
2
)
2
(
2
)
1
(
2
2











k
t
c
k
t
c
t
k
t
t
k
k
k
 
Показано, что для любого 
1


, спектральная задача (1) имеет 
1
2
1

N
- собственные функции 
вида 











1
1 0
2
)
(
)
,
(
N
k
t
k
d
t
x
erf
t
x
u




; 
если же 


e


,  то спектральная задача (1) имеет  

 )
2
2
(
2
N
 собственные функции вида  
.
2
)
(
)
,
(
2
0
0










N
k
t
k
d
t
x
erf
t
x
u




 
Таким образом доказана  

жүктеу/скачать 2,47 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: