ЖƏне қолданбалы мəселелері халықаралық ғылыми конференцияның материалдары 12-14 маусым

27 


.
)
(
)
(
)
1
(
)
(
)
(
)
1
)(
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
1
(
)
(
)
(
)
1
)(
(
)
(
)
(
)
1
)(
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
1
(
)
(
1
)
(
)
(
)
1
)(
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
1
(
)
(
1
)
(
)
(
)
1
)(
(
)
(
)
(
1
1
0
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
n
x
x
n
x
x
n
x
n
x
n
dt
t
E
t
q
n
dt
t
E
t
q
n
E
E
x
E
dt
t
E
t
q
n
dt
t
E
t
q
n
E
dt
t
E
t
q
n
E
E
x
E
dt
t
E
t
q
n
E
dt
t
E
t
q
n
E
E
x
E
dt
t
E
t
q
n
E
dt
t
E
t
q
n
E
x
E
x
y















































































































 
Несложно  проверить,  что  при 




x
dt
t
p
n
0
)
(
,
1
  или 




x
dt
t
p
n
0
)
(
,
1
  полученное  решение 
будет периодическим. 
 
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 
1.  Матвеев  Н.  М. 
Методы  интегрирования  обыкновенных  дифференциальных  уравнений
.  М.:  Высшая 
школа,1967. 
2. Понтрягин Л.С. 
Обыкновенные дифференциальные уравнения
. М.: Наука, 1982. 
3.  Самойленко  А.М.,  Кривошея  С.А., 
Перестюк  Н.А.  Дифференциальные  уравнения:  примеры  и  задачи
. 
М.: Высшая школа,1989 
 
 
О СВОЙСТВАХ ЯДРА ОДНОГО ОСОБОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА 
Иванов И.А., Есбаев А.Н., Есенбаева Г.А. 
Карагандинский государственный университет им. академика Е.А. Букетова, Караганда, Казахстан 
E-mail: esenbaevagulsima@mail.ru 
 
Для интегрального уравнения Вольтерра 
)
(
)
(
)
,
(
)
(
0
t
F
d
t
K
t
t












,  
)
;
0
(


t
,  
,
С


 
с ядром  



t
x
x
t
x
Q
t
K





2
2
)
,
(
)
,
(
, 
R


;   
)
,
(
)
(
4
exp
)
(
2
)
,
(
2



















t
x
P
t
x
t
x
t
x
Q
, 









d
t
x
I
t
t
x
P























)
(
2
)
(
4
exp
)
,
(
2
1
0
,  
1
0



, 
и правой частью  

t
x
x
t
x
F
t
F




2
2
)
,
(
)
(
, 































 













d
d
t
x
I
t
x
t
x
f
t
x
F
t
)
(
2
)
(
4
exp
)
,
(
2
1
)
,
(
2
2
1
0 0
 

28 







 


























d
t
x
I
t
x
g
t
x
2
2
exp
)
(
2
2
2
1
0




























1
2
0
1
2
2
)
(
)
(
4
exp
)
(
)
1
(
2
t
d
t
x
h
Г
x
t
, 
справедливы следующие утверждения. 
1) Функция 
)
,
(


t
x
Q
, 




t

0
, непрерывна. 
2) Функция 
0
)
,
(



t
x
Q
, 




t

0
. 
3) Для функции 
)
,
(


t
x
Q
 справедлива оценка 















)
(
4
)
1
(
1
)
,
(
2
t
x
Г
t
x
Q
. 
4) Для функции 
)
,
(


t
x
Q
 имеет место неравенство 




















)
(
4
exp
2
)
)(
1
(
1
)
,
(
2
2






t
x
x
t
Г
t
x
Q
 
4
2
2
2
2
2
1
2
)
)(
2
(
1
)
(
4
exp
2
)
)(
2
(
1









































x
t
Г
t
x
x
t
Г
. 
5) Справедливо следующее представление 


























t
x
Г
x
t
x
t
Г
d
t
x
Q
t
4
,
1
4
4
,
)
(
1
)
,
(
2
2
2
0






. 
6) Имеет место соотношение 
0
)
,
(
lim
0
0






d
t
x
Q
t
t
. 
7) Для ядра интегрального уравнения, в результате, получим  
 

























 







.
2
1
,
)
1
(
2
1
,
2
1
,
4
1
,
)
(
1
4
1
,
1
)
(
2
1
2
,
2
1
,
0
)
,
(
lim
0
0











Г
Г
Г
Г
d
t
K
t
t
 
Так  как 
0
)
,
(
lim
0
0





d
t
K
t
t
  в  случае 
2
1


,  то  исследуемое  интегральное  уравнение 
является особым интегральным уравнением Вольтерра.  
 
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 
1. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Марычев О.И. Интегралы и ряды. – Т. 2. Специальные функции. – М.: 
Физматлит, 2003. – 664 с. 
2. Полянин А.Д., Манжиров А.В. Справочник по интегральным уравнениям. - М.: Физматлит, 2003. – 608с. 
 
 
ҮШІНШІ РЕТТІ АРАЛАС ПАРАБОЛО-ГИПЕРБОЛАЛЫҚ ТЕҢДЕУ ҮШІН ҚОЙЫЛАТЫН 
БИЦАДЗЕ-САМАРСКИЙ ТИПТІ ШЕКАРАЛЫҚ ЕСЕПТЕРДІҢ КОРРЕКТІЛІГІ ЖАЙЛЫ 
  Исин Мейрам 
Л.Н.Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университеті. Астана, Қазақстан.  
E-mail:isin1990@mail.ru 
 
Есептің  қойылуы.
  Жазықтықтың  жоғарғы  бөлігінде ( 
> 0 ) 
: = 0,
: = 1,
: = 1 кесінділерімен, ал төменгі бөлігінде (  < 0)
: + = 0  жəне             
: −
= 1 түзулерімен шенелген ақырлы бір байланысты   облысында төмендегідей  шекаралық 
есепті қарастырайық :  

29 
≡
{
,
,
= ( , )                                    (1) 
Теңдеуінің  
∕
∪
= ( ) ∕
∪
,
∕
∪
=
( ) ∕
∪
         (2)  
 
−
( ( )) + ( )
+
(
∗
( ) ) = 
=
−
( ) − ( )
+
(
∗
( ) )                        (3) 
шарттарын  қанағаттандыратын  классикалық  жəне  қатаң  шешімінің  бар , жалғыз  жəне 
орнықты болатындығын зерттеу. 
Мұндағы   ( )
− (1) теңдеуінің 
   характеристикасымен  (
, 0)(0 < < 1)  нүктесі 
арқылы шығатын характеристикасы қиылысатын аффикс нүктесі , 
∗
( ) − (1)  теңдеуінің 
 
характеристикасымен 
 қисығы  
(
: = − ( ) ∈
[0, ],
1
2
≤ ≤ 1,
(0) = 0 , + ( )   = 1, 
0 <
,
(0) < 1, ( ) > 0,  > 0 − 0 ≤ + ≤ − ≤ 1  характеристикалық үшбұрышының 
ішінде  жататын  кез-келген  қисық)  қиылысатын  аффрикс  нүктесі, n-ішкі  нормаль,  ( )
− 
берілген  функция , ал 
−
,
(Ω)( (Ω )) кеңістігін L операторының  максимал  кеңеюінің 
ядросына 
(
) бейнелейтін сызықты шенелген оператор. 
1-тоерема.
  Егер 
( ) ∈
[0,1]  жəне  | (0)| <
+
, − <
< 0  шартын 
қанағаттандыратын  болса,  онда  (
1) − (3)  есебінің 
(Ω)  кеңістігінде  жататын  кез-келген 
( , )( ( ) = 0)  функциясы үшін жалғыз, орнықты классикалық шешімі бар болады. 
1-Ескерту.
 1-теоремада  көрсетілген    бұрышы   
  қисығының  абцисса  осімен 
жасайтын полярлық бұрышы. 
2-теорема.
  Егер 
( ) ∈
[0,1]  жəне  | (0)| <
+
, − <
< 0   шартын 
қанағаттандыратын  болса,  онда  (
1) − (3)  есебінің 
(Ω)    кеңістігінде  жататын  кез-келген 
( , )  функциясы үшін жалғыз, орнықты қатаң шешімі бар болады. 
2-Ескерту.
 (
1) − (3) есебі (2), (3) шекаралық шарттардың оң жақтары  нөлге тең болған 
кезде [1] мақаласында қарастырылған. 
 
ƏДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ 
1.
 
Бердышев  А.С.  О  вольтерровости  задач  типа  Бицадзе – Самарского  для  смешанного  параболо-
гиперболического уравнения третьего порядка//Математический журнал институт математики МОН РК, 2012 , 
т 12 , № 3, c. 50-54. 
 
 
ҮШІНШІ РЕТТІ АРАЛАС ПАРАБОЛО-ГИПЕРБОЛАЛЫҚ ТЕҢДЕУ ҮШІН 
ҚОЙЫЛАТЫН ШЕКАРАЛЫҚ ШАРТТАРДЫҢ ЖАЛПЫ ТҮРІ 
Исин Мейрам, Муталип Самат 
Л.Н.Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университеті. Астана, Қазақстан 
E-mail: isin1990@mail.ru, kokbori@inbox.ru 
 
Есептің қойылуы.
 Жазықтықтың жоғарғы бөлігінде (
> 0) 
: = 0,
: = 1,
: = 1 
кесінділерімен, ал төменгі бөлігінде  
( 
< 0)
: + = 0  
жəне  
: − = 1 
түзулерімен шенелген ақырлы бір байланысты   облысында төмендегідей  шекаралық есепті 
қарастырайық :  
≡
{
,
,
= ( , )                                                   (1) 
Теңдеуінің  

30 
 ∕
∪
= ( ) ∕
∪
,
∕
∪
=
( ) ∕
∪
                      (2) 
−
( ( )) + ( )
−
(
∗
( ) ) = 
=
−
( ) + ( )
−
(
∗
( ) )                               (3) 
шарттарын  қанағаттандыратын  классикалық  жəне  қатаң  шешімінің  бар,  жалғыз  жəне 
орнықты болатындығын зерттеу. 
Мұндағы   ( )
− (1) теңдеуінің 
   характеристикасымен  (
, 0)(0 < < 1)  нүктесі 
арқылы шығатын характеристикасы қиылысатын аффикс нүктесі , 
∗
( ) − (1)  теңдеуінің 
 
характеристикасымен 
 қисығы 
(
: = − ( ) ∈
[0, ], ≤ ≤ 1, (0) = 0,  
 + ( )   = 1, 0 <
,
(0) < 1, ( ) > 0,  > 0 − 0 ≤ + ≤ − ≤ 1  
характеристикалық  үшбұрышының  ішінде  жататын  кез-келген  қисық)  қиылысатын  аффикс 
нүктесі, n-ішкі  нормаль,  ( )
−  берілген  функция,  ал 
−
,
(Ω)( (Ω )) кеңістігін L 
операторының  максимал  кеңеюінің  ядросына 
(
)  бейнелейтін  сызықты  шенелген 
оператор. 
1-теорема.
  Егер 
( ) ∈
[0,1]  жəне  ( ) ≠ −1 , 0 ≤ ≤ 1    болса,  онда  (1) − (3) 
есебінің 
(Ω) кеңістігінде жататын кез-келген  ( , )( ( ) = 0)  функциясы үшін жалғыз, 
орнықты классикалық шешімі бар болады. 
2-теорема.
  Егер 
( ) ∈
[0,1]  жəне  ( ) ≠ −1 , 0 ≤ ≤ 1    болса,  онда  (1) − (3) 
есебінің 
(Ω)  кеңістігінде жататын кез-келген  ( , )  функциясы үшін жалғыз, орнықты 
қатаң шешімі бар болады. 
Ескерту.
 (
1) − (3) есебі (2), (3) шекаралық шарттардың оң жағындағы өрнектер нөлге 
тең болған кезде [1] мақаласында қарастырылған. 
ƏДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ 
1.
 
Бердышев  А.С.  О  вольтерровости  задач  типа  Бицадзе – Самарского  для  смешанного  параболо-
гиперболического уравнения третьего порядка// Математический журнал институт математики МОН РК, 2012, 
т 12, № 3, c. 50-54. 
 
 
О НАГРУЖЕННОМ УРАВНЕНИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С НАГРУЗКОЙ ДРОБНОГО 
ПОРЯДКА 
1
Искаков С.А., 
1
Рамазанов М.И., 
2
Түймебаева А.Е. 
1
Карагандинский государственный университет им. академика Е.А. Букетова, Караганда, Казахстан 
2
Таразский государственный университет им. М.Х. Дулати, Тараз, Казахстан 
E-mail: isagyndyk@ksu.kz, ramamur@ksu.kz 
  
В области 


0
,
0
:
)
,
(



t
x
t
x
D
 рассматривается нагруженное уравнение 
                        


)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
(
1
0
2
2
t
x
f
t
x
u
D
x
t
x
u
t
t
x
u
t
x
x












                                (1) 
с начально-граничными условиями   
                                              
;
0
)
,
(
0


t
t
x
u
        
,
0
)
,
(
0


x
t
x
u
                                           (2) 
где  
                        
,
1
0
,
)
(
)
,
(
)
1
(
1
)
,
(
0
2
2
1
0















d
x
t
u
x
Г
t
x
u
D
x
x
      
дробная производная Римана-Лиувилля порядка – (1+

) [1], 

 - комплексный параметр. 
Случай, когда нагруженное слагаемое в уравнении (1) есть производные целого порядка, были 
изучены, например, в работах [2] - [3]. Вопросы существования и единственности решения задачи (1) 
- (2), очевидным  образом  зависят  от  порядка  производной  нагруженного  слагаемого,  а  также  от 
линии 
)
(t
x


на которой задается след производной от искомого решения. Например, известно, что 
если 
1


и  нагруженное  слагаемое  имеет  вид 
 


t
x
xx
t
x
u

,
,  то  задача  вида (1) - (2) имеет 
неединственное решение [3]. 

31 
Исследование краевой задачи (1) - (2) проведено редуцированием ее к интегральному уравнению 
типа Вольтерра второго вида 
     
 
   
 
,
,
0
2
1





t
t
f
d
t
K
t







,                                          
где 
 


 


 
























x
x
x
d
u
x
0
2
2
,
1
1
,      
 




 
t
x
x
x
d
t
erf
x
t
K

























0
2
2
1
2
1
1
,
. 
Для задачи (1) - (2) доказана справедливость следующей теоремы. 
Теорема. Пусть 
t
t

)
(

,  
2
1
0



, тогда 
C



, 

)
(
)
(
)
,
(
D
C
D
L
t
x
f



граничная задача 
(1) - (2) имеет единственное решение 

)
(
)
(
)
,
(
D
C
D
L
t
x
u


. 
 
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 
1.Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение.- М.: Физматлит., 2003, -272с. 
2.Нахушев А.М. Нагруженные уравнения и их применение.- М.: Наука, 2012, -232с. 
3.Дженалиев  М.Т.,  Рамазанов  М.И.  Нагруженные  уравнения  как  возмущения  дифференциальных 
уравнений.- Алматы: Ғылым, 2010, 334 с. 
 
 

жүктеу/скачать 2,47 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: