ЖƏне қолданбалы мəселелері халықаралық ғылыми конференцияның материалдары 12-14 маусым

42 
d
c
b
a
D
D
y
x
dy
y
U
dx
x
U
y
x
dU
dy
y
N
dx
x
M
;
;
:
)
,
(
,
)
,
(
)
(
)
(












 
Бұдан  
),
(
),
(
y
N
y
U
x
M
x
U






 
тағы да  
,
0
2
2








x
y
U
y
x
U
яғни,
0






x
N
y
M
тепе-
теңдіктерін аламыз. Бұл теңдіктерден  









dy
y
N
y
C
y
N
y
C
y
C
dx
x
M
y
x
U
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,
(
 
яғни 
)
,
( y
x
U
 функциясы мына түрде болады: 
.
)
(
)
(
)
,
(
C
dy
y
N
dx
x
M
y
x
U





 
Демек, (5) теңдеу толық дифференциалдық теңдеу. Сондықтан оның жалпы интегралы 
C
dy
y
N
dx
x
M




)
(
)
(
 
түрінде болады. 
 
ƏДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ 
1.  Ж.С.Сулейменов.  Бірінші  ретті  жай  дифференциалдық  теңдеулерді  интегралдау  əдістері.  Оқу 
құралы: 

 Алматы, ҚазМУ,1982.

112б. 
2. Ж.С.Сулейменов. Дифференциалдық теңдеулер курсы: 

Рауан, 1991.

360б. 
3.  Ж.Хырхынбай.  Педагогикалық  жоғары  оқу  орындарында  дифференциалдық  теңдеулерді  кредиттік 
жүйеде оқыту əдістемеcі// П.ғ.к.дис: 

 Алматы, 2010.

136 б. 
 
 
BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR COMPLEX PDE: METHOD OF REFLECTION 
Shupeyeva Bibinur
 
АО «Национальный инфокоммуникационный Холдинг «Зерде» 
E-mail: bibinurs@gmail.com 
 
The theory of boundary value problems for complex partial differential equations is under 
consideration of many researchers. The reason of increasing interest to such boundary value 
problems can be explained by  
the fact that combination of tools of complex analysis, partial differential equations, functional 
analysis etc. gives in order to obtain a solution in analytic or closed form. 
Gauss theorem and the Cauchy-Pompeiu representation formula are the fundamental tools for 
solving such boundary value problems as well as Pompeiu operator 
 is needed for the 
inhomogenous case. 
There are many methods for solving boundary value problems. Among them the method of 
reflection or, so-called, method of parqueting, see e.g. [1,2], is comparatively new though effective. 
It is usable as well to the simply connected [4-6,8-10] as multiply connected, see [7] domains on the 
assumption that given domain provides covering of the complex plane. Some polygonal domains 
might have the corner points and thus need special investigation while proving the boundary 
condition and boundary behavior at these points. 
In accordance with the method a given domain is repeatedly reflected at all parts of the boundary 
until the covering of the whole complex plane is reached. The Cauchy-Pompeiu representation 
formula 
( ) =
1
2
(

)


−
−
1

(

)
 

−
,  ∈ ℂ/ ,
 
modified by substituting the reflected points gives the Schwarz-Pompeiu representation formula and 
Schwarz kernel which allow to solve the Schwarz, Dirichlet, Neumann problems for the Cauchy-
Riemann equation 
̅
= . The method of reflection is also used to obtain the harmonic Green 
function which provides the solution of the harmonic Dirichlet problem for the Poisson equation 
̅
= . Convoluting the Green function one can get the harmonic Neumann function which is 
applied under prescribed conditions to solve the harmonic Neumann function. 
The method can be illustrated by example of such irregular domains as quarter ring  
∗
= { ∈ ℂ: < < 1,
 > 0,
 > 0} 

43 
and half hexagon 
 , consisting of four corner points 
2, ±1 + 3 , −2, see [9,10].  
As continuously repeated reflection of 
∈  give the covering of ℂ, the obtained set of poles and 
zeros are composed so that the meromorphic function is constructed. Satisfying the properties given 
in, the obtained function provides the harmonic Green function. Thus 
( ,

) = log

− ̅

 ̅ − 1

−

− 1

−
̅

− ̅

̅ −
(

̅
− 1)

−

−

−
(

− 1)
 
for the quarter ring domain and 
( ,

) = log
(

−
− 2) − ( ̅ − 2)
(

−
− 2) − ( − 2)
∈ ℤ
 
is one of the forms of the harmonic Green function for the half hexagon. 
 
REFERENCES 
1. H.Begehr, T.Vaitekhovich, Green functions, reflections and plane parqueting. Euras.Math.Journ. Vol.1(1), 
2010. 
2. H.Begehr, T.Vaitekhovich, How to find harmonic Green function in the plane. Comp.Var.Ell.Eq., Vol.56(12), 
2011. 
3. H.G.W.Begehr, Complex Analytic Methods for Partial Differential Equations:an introductory text. 
Singapore:World Scientific, 1994. 
4. H.Begehr, Boundary value problems in complex analysis, I, II. Bouleti

n de la Asociacio’n 
MatematicaVenezolana, Vol.XII, No1(2005). 
5. H.Begehr, T.Vaitekhovich, Harmonic boundary value problems in half disc and half ring, Functiones et 
Approximatio, 40.2, 2009. 
6. H.Begehr, T.Vaitekhovich, Harmonic Dirichlet problem for some equilateral triangle, Com.Var.El.Eq.,Vol.57, 
2012. 
7. T.Vaitsiakhovich, Boundary Value Problems for Complex Partial Differential Equations in a ring domain, PhD 
thesis, FU Berlin, 2008, www.diss.fu-berlin.de/diss/receive/FUDISS\_thesis\_000000003859 
8. Y.Wang, Boundary Value Problems for Complex Partial Differential Equations in Fan-Shaped domains, PhD 
thesis,  
FU Berlin, 2011; \\ www.diss.fu-berlin.de/diss/receive/FUDISS\_thesis\_000000021359. 
9. B.Shupeyeva, Harmonic boundary value problems in a quarter ring domain, Adv.Pure Appl.Math., 3(2012). 
10. B.Shupeyeva, Some Basic Boundary Value Problems for Complex Partial Differential Equations in Quarter 
Ring and Half Hexagon, PhD thesis, FU Berlin, 2013; www.diss.fu-
berlin.de/diss/receive/FUDISS\_thesis\_000000094596 
 
 
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ 
Шарипов К.С., Шарипов С. 
Казахский университет путей сообщения, Алматы, Казахстан, 
Иссык-Кульский государственный университет им.К. Тыныстанова
, Каракол, Кыргызстан 
E-mail: 7847526@mail.ru 
 
В работе рассматривается задача управления температурным режимом в трубчатом реакторе, в 
котором протекает первого порядка обратимая химическая реакция 
B
A

. 
Постановка задачи.
 Уравнение описывает изменение концентрации вещества 
A
: 
2
2
1
0
2
2
)
,
(
)
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
k
l
t
y
k
k
l
l
t
y
v
l
l
t
y
D
t
l
t
y

















,                            (1) 
где 


)
(
exp
1
0
Ru
E
k
k
I
i
i


, 
2
,
1

i
, 
L
, 
0
v
, 
D
, 
0
i
k
, 
i
E
, 
R
 – заданные константы, 
)
,
( l
t
y 
 – 
концентрация вещества 
A
, 
1
u
 – абсолютная температура, которая зависит только от 
пространственной переменной 
l
, с условиями 
)
(
)
,
0
(
00
l
y
l
y

, 
]
,
0
[ L
l

,                                                      (2) 
))
(
)
0
,
(
(
)
0
,
(
0
0
t
y
t
y
D
v
l
t
y







, 
0
)
,
(




l
L
t
y
, 
0


t
,                                 (3) 
где 
)
(
0
t
y 
 – концентрация вещества 
A
 на входе реактора. 
Вводя безразмерные величины 

44 
2
L
D
t
t


, 
L
l
x

, 
D
L
v
B
2
0
1


, 
0
0
2
v
L
k
F
i
i



, 
2
,
1

i
, 
получим вместо (1)–(3): 
,
exp
)
,
(
exp
exp
)
,
(
2
)
,
(
)
,
(
1
2
2
1
2
2
1
1
1
1
1
2
2



















































Ru
E
F
x
t
y
Ru
E
F
Ru
E
F
B
x
x
t
y
B
x
x
t
y
t
x
t
y
         (4) 
)
(
)
,
0
(
00
x
y
x
y

, 
]
1
,
0
[

x
,                                                           (5) 
)]
(
)
0
,
(
[
2
)
0
,
(
0
1
t
y
t
y
B
x
t
y






, 
0
)
1
,
(



x
t
y
, 
]
,
0
[
f
t
t

,                                 (6) 













.
5
,
0
,
0
,
1
,
5
,
0
0
),
2
cos(
2
1
2
1
)
(
0
0
0
f
t
t
t
t
a
a
t
y

                                       (7) 
Задача.
 Найти такое управление 
)
(
1
x
u
, чтобы при ограничениях (4)–(7) минимизировался 
функционал, характеризующий качество процесса 






















f
t
d
dxdt
u
u
x
u
t
x
y
u
y
J
0
1
0
2
0
1
1
1
2
1
)
(
)
,
(
2
1
,
, 
где 
d
u
1
, 
0
1
u
 – параметры процесса, заданные константы. 
Решение краевых задач производилось сведением их по схеме Кранка-Никольсона [1] к системе 
алгебраических уравнений. Производные в граничных условиях аппроксимировались по центральной 
разностной формуле [1]. Интеграл в минимизируемом функционале вычислялся по формуле 
конечной суммы. Алгоритм позволил получить почти оптимальную пару 
))
(
),
,
(
(
x
u
x
t
y
 за одну-две 
итерации в зависимости от начального приближения. 
 
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 
1.
 
Марчук Г.И. Методы вычислительной математики// Москва: Наука, 1980, 536 с. 
 
 
ЗАДАЧА СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ ДВИЖЕНИЯ ДВУХ НЕСМЕШИВАЮЩИХСЯ 
НЕСЖИМАЕМЫХ ЖИДКОСТЕЙ 
Шияпов К.М. 
Казахский Британский технический университет, Алматы, Казахстан 
E-mail: himirankadr@mail.ru 
 
В  отличии  от  существующих  моделей,  мы  предлагаем  совершенно  естественный  способ 
описания вытеснения нефти водой, основанный на идеях J. Keller, R. Burridge, а именно, как можно 
более  точно  описать  процесс  на  микроскопическом  уровне  и  только  после  этого  найти  строгие 
макроскопические приближения существующего микроскопического описания. 
Пусть 
)
(t
Q

- область занятая водой, 
)
(t
Q

 - область занятая нефтью и 
)
(t

 - граница раздела 
нефть - вода. В области 
скорость 
 и давление 
 удовлетворяют системе уравнений Стокса  
 
 
где 
,  -  единичный тензор. 
Аналогично, в области 
 определяются скорость 
 и давление 
 нефти. 
На неизвестной границе
непрерывны нормальные напряжения 
 
и скорости 
 

45 
а  сама  искомая  граница  является  материальной  поверхностью,  то  есть  состоит  из  одних  и  тех  же 
частиц. 
Здесь  - вектор единичной нормали к границе
.  
На границе  
 и  
 
 
и на границе  
 и  
 
                                                                                       
На оставшейся части границы  
                                                     
при  
, 
                                                     
при  
. 
Наконец, в начальный момент времени задано положение свободной границы 
                                                              
Свободная граница  
определяется следующим образом 
 
С учетом введенной характеристической функцией, плотность 
 
а динамическая вязкость 
 
 
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 
1.
 
R. Burridge, J. B. Keller, Poroelasticity equations derived from microstructure// J. Acoust. Soc. Am., V. 70. 
N4 (1981) pp. 1140-1146. 
2.
 
Л.  В.  Овсянников,  Введение  в  механику  сплошных  сред,  часть II,  Новосибирский  Государственный 
Университет, Новосибирск, 1977. 
3.
 
A. Meirmanov, Mathematical models for poroelastic flows, Atlantis Press// Paris, 2013,478 pp. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

46 
 
АЛГЕБРА, МАТЕМАТИКАЛЫҚ ЛОГИКА ЖƏНЕ ГЕОМЕТРИЯ 
АЛГЕБРА, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ГЕОМЕТРИЯ 
ALGEBRA, MATHEMATICAL  LOGIC AND GEOMETRY 
 
О ПОВЕДЕНИИ Р-СТАБИЛЬНЫХ ВЫПУКЛЫХ ВПРАВО ФОРМУЛ В СЛАБО 
ЦИКЛИЧЕСКИ МИНИМАЛЬНЫХ СТРУКТУРАХ 
Алтаева А.Б., Кулпешов Б.Ш. 
Международный университет информационных технологий, Алматы, Казахстан 
E-mail: vip_altayeva@mail.ru, b.kulpeshov@iitu.kz 
 
      Пусть M = 

M, =, <

 – линейный порядок. Если мы соединим два конца линейно упорядоченного 
множества M (возможно, это – 
 и + ), то получим циклический порядок. 
      Циклический  порядок  на  M – это  тернарное  отношение  K,  определенное  на  M  следующим 
образом: K(x, y, z): 

 (x 

  y 

  z ) 

 (z 

  x 

  y) 

 (y 

  z 

  x). 
      Ясно, что K(x, y, z) 

 K(y, z, x) 

 K(z, x, y), и когда x, y и z различны, то  K(x, y, z) 

 

 K(y, x, z). 
      
Циклический порядок описывается тернарным отношением K, которое удовлетворяет следующим 
условиям: 
 (co1) 

 x 

 y 

 z (K(x, y, z) 

 K(y, z, x)); 
 (co2) 

 x 

 y 

 z (K(x, y, z) 

 K(y, x, z) 

 x = y 

 y = z 

 z = x); 
 (co3) 

 x 

 y 

 z (K(x, y, z) 

 

 t [K(x, y, t) 

 K(t, y, z)]); 
 (co4) 

 x 

 y 

 z (K(x, y, z) 

 K(y, x, z)). 
       Пусть  K
0
(x, y, z):= K(x, y, z) 

 y 

 x 

 y 

 z 

 x 

 z. 
       Множество  A 

  M,  где  M – циклически  упорядоченная  структура,  называется    выпуклым,  если 
для любых a, b 

 A имеет место следующее: для любого c

 M такого что K(a, c, b) мы имеем что c 

 
A или для любого c 

 M такого что K(b, c, a) мы имеем c 

 A.  
        В работе [1] введено понятие циклической минимальности. Следующее понятие, введенное в [2], 
является обобщением понятия циклической минимальности: 
        Циклически  упорядоченная  структура  M = 

M, =, K
3
, …

  называется    слабо  циклически 
минимальной,  если  любое  определимое  (с  параметрами)  подмножество  структуры  M  является 
объединением конечного числа выпуклых множеств. 

жүктеу/скачать 2,47 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: