2.2 Қарапайым математикалық ұғымдарды қалыптастырудың
құрылымдық мазмұны
«Математикалық құрылым» ұғымын қалыптастыру әлемді танудың
маңызды ғылыми құралы –аксиоматикалық әдістің дамуымен байланысты.
Мысалы, қазіргі кезде осы күнгі математиканың көптеген бағыттары тек қана
аксиоматикалық әдістің, яғни сәйкес аксиомалар жүйесінің негізінде
құрылады. Ал математика ғылымының әр саласына тән аксиомалардың өзі ұзақ
және күрделі тарихи даму процесінде пайда болады. Бастапқы мәліметтер
адамның практикалық қызметінің нәтижесінде жинақталады, қорланады.
Осындай мағлұматтарды тексереді, нақтылайды, жүйелейді және басқадай
бастапқы мәліметтерден шығарып алу мүмкін болатындары олардың ішінен
алынып тасталады. Кейде, алған қарапайым мәліметтер тізімінің толық еместігі
байқалады, яғни бұл мәліметтер барлық теоремаларды қорытуға жеткілікті бола
алмайды. Мұндай жағдайда бұл тізімге жетпей тұрған аксиомалар қосылады.
Нәтижесінде аксиомалардың толық жиынтығы қалыптасады. Осындай
аксиоматика жүйесі математиканың ондаған бағыттар дамуда, олардың
қатарына: қарапайым математиканың аксиоматикасы, натурал санның
аксиоматикасы, метрикалық және векторлық кеңістіктің аксиоматикасы, сан
өрісінің
аксиоматикасы,
группаның
аксиоматикасы,
ықтималдықтар
теориясының аксиоматикасы, математикалық құрылымдардың аксиоматикасы
және басқалар жатады.
Егер кез келген жиын элементтерінің арасында тұжырымдардың белгілі
жүйесімен сипатталатын қандайда қатынас анықталса немесе операция
тағайындалса, онда осы бір жиында математикалық құрылым анықталған,-
дейді. «Құрылым» ұғымының басты ерекшелігі табиғаты әралуан болатын
жиын элементтеріне оның жарамды болатындығында және де қарастырылатын
19
қатынастар сипатының таңдалу тұрғысынан жоғары дәрежеге ие екендігінде
[18,10-11б]. Сондықтан белгілі аксиомалдардың жиынтығымен қандай да бір
жиын элементтері ие болатын қатынастар мен операциялардың мәнді
қасиеттері сипатталады.
Математикалық әрекеттерді қалыптастыруға қойылатын талаптарды
ерекше атап көрсету керек: беттестіру, сәйкестендіру, қайта санау, санау, өлшеу
және т. б.
Әдістемеде математикалық әрекеттердің екі тобы бөлінеді:
- негізгі ( санау, өлшеу, есептеу);
-қосымша,
дидактикалық мақсатта құрастырылған (практикалық
салыстыру, салу, теңестіру және жинақтау; салыстыру.
Осылайша, балабақшада математикалық дайындық мазмұны өз
ерекшелігіне ие. Олар мынамен түсіндіріледі:
- математикалық түсініктердің ерекшелігі;
- мектепке дейінгі балаларды оқыту дәстүрі;
- балалардың математикалық дамуына заманауи мектептің талаптары.
Оқу материалы балаларда қарапайым білімдердің қалыптасу нәтижесінде
жаңа күрделі білім мен дағдылардың игерлуіне бағдарланған.
Жиындар теориясының негізін қалаған неміс математигі Георг Кантор
(1845-1918) жиын ұғымын былайша түсіндірген болатын: «Біз жиын деп
өзіміздің қабылдаумызда немесе ойымызда анықталған әрі нақты ажыратылған
х
объектілердің жиынтығын тұтас
М
болып бірігуін түсінеміз».
Математикада объектілердің жиыны туралы айтқанда қайсы бір
объектілердің жиынтығын –тұтас деп түсінеді [18,14б].
Жиын сөзі математикада «жиынтық», «класс», «жинақ», «коллекция»
сөздерін, яғни қайсыбір объектілер жиынтығын сипаттайтын сөздердің орнына
қолданылады, оның үстіне қарастырылып отырған жиынтықта бір объект
болуы немесе бірде-бір объект болмауы мүмкін.
Көп жағдайда жиындарды латын алфавитінің бас әріптерімен белгілейді:
А,В,С..........,....Z. Бірде-бір объект жоқ жиынды бос жиын деп атайды және оны
ᴓ
таңбасымен белгілейді. Жиынды құратын кез келген объектілер оның
элементтері деп аталады. Жиынның элементтерін латын алфавитінің кіші
әріптерімен белгілейді:
а,b,c.....z.
Математикада және басқа ғылымдарда қайсыбір объект қарастырылған
жиынға жататынын немесе жатпайтынын тексеруді қажет етеді. Мысалы, біз 5
саны натурал сан дейміз. Басқа сөзбен айтқанда, 5 саны натурал сандар
жиынына жатады дейміз. Немесе,мысалы, 0,75 саны натурал сан емес дейміз.
Бұл дегеніміз 0,75 натурал сандар жиынына жатпайды. «
а
объектісі А жиынына
жатады» сөйлемін символ қолданып, қысқаша жазуға болады:
а
∈
А.
Жалпы, а
∈
А жазуы әр түрлі оқылады: «
а
–объектісі А жиынына тиісті»;
«
а
–объектісі А жиынының элементі»; «А жиынының а элементі бар».
«
а
–объектісі А жиынына жатпайды» сөйлемін қысқаша былай жазуға
болады:
а
𝜖
А.
Оны былай оқуға болады: «а –объектісі А жиынына тиісті емес»;
«А жиынының
а
элементі жоқ»; «а –объектісі А жиынының элементі емес.
20
Айталық, А бір таңбалы сандар жиыны болсын. Онда 3
∈
А сөйлемін
былай оқуға болады: « 3 саны бір таңбалы сан», ал 12
∈
А деген « 12 саны бір
таңбалы сан емес» оқылады. Жиын элементтерінің саны шектеулі де, шексіз де
болуы мүмкін. Мысалы, апталар жиыны шектеулі, түзудегі нүктелер жиыны-
шектеусіз. Шексіз жиындарға мына жиындардар жатады: натурал сандар
жиыны, нақты сандар жиыны. Осы жиындарды белгілеу үшін математикада
арнаулы таңбалар қолданылады: N –натурал сандар жиыны, Z-бүтін сандар
жиыны, Q – рационал сандар жиыны, R – нақты сандар жиыны [1,79-80б].
Жиын оның элементтерін тізімдеу арқылы анықталады А={3,4,5,6}.
Жиын элементтердің сипаттамалық қасиеттерін көрсетумен анықталады
А={x|x € N и x<7}.
Жиын түрлері:
-Шектеулі жиын;
- Шектеусіз жиын;
-Бір элементті жиын;
- Бос жиын.
Классификация – жиын ішіндегі объектілердің ұқсастығы және олардың
айырмашылықтары негізінде объектілерді жіктеу.
Кез-келген жіктеу жиындағы бірқатар нысандардың бөлшектенуімен
байланысты.
Эйлер дөңгелектері. Математика тек сол немесе басқа жиындарды ғана
емес, олардың арасындағы қарым-қатынасты да зерттейді. Жиындардың
арасындағы қарым-қатынас Эйлер дөңгелектері деп аталатын ерекше
сызбалардың көмегімен айқын көрінеді.
Жиындардың қиылысуы.
А және В жиындарының қиылысуы, ол тек қана сол элементтерді
қамтиды, олар А және В жиындарға тиесілі.
А
В
А U В
Жиындардың бірігуі
А және В жиындарының бірігуі, ол тек сол элементтерден тұрады, олар А
немесе В жиыны.
21
А
В
А ∩ В
Жиындарды азайту
А және В жиындарының әртүрлілігі деп аталады, ол тек қана сол
элементтерді қамтиды және ол В жиынын қамтымайды.
Екі жиын арасындағы өзара-бір мәнді сәйкестік
В = ( )
Натурал сандар
Натурал сандар –санау үшін пайдаланылатын сандар:
1,2,3,4,5.......n, ... .
Натурал сандар, натурал сандардың жиыны деп аталатын жиындарды
құрайды N={1,2,3...n.…}.
Натурал сандардың қатары келесі қасиеттерге ие:
✔
Ең кіші натурал сан – бір;
✔
Бір саны ешқандай натурал саннан кейін келмейді;
✔
Кез келген натурал сан үшін бір және тек бір тікелей келесі
натурал саны бар;
✔
Кез келген натурал сан тікелей бір натурал саннан артық
болмауы керек;
✔
Кез келген натурал сан, бірден басқа, бір натурал санның «оң
көршісі», оның «сол көршісі»
)
А = (
22
✔
0 –натурал сан емес;
✔
Натурал сандар жиыны – шексіз көп.
Достарыңызбен бөлісу: |