Сызықтық теңдеулер жүйесінің қалыпты псевдошешімі Векторлық түрде берілген сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін қарастырайық:
(10)
Анықтама 1. векторы векторының байламсыздық векторы деп аталады.
Байламсыздықтың ұзындығы векторы жүйенің шешіміне қаншалықты жақын болатындығын сипаттайды. Егер жүйенің шешімі болса, онда байламсыздық нөлге тең. Егер жүйе үйлесімсіз болса, онда байламсыздық әр уақытта нөлдік емес болады. Бұл жағдайда мынадай есепті қоюға болады: шамасы ең кіші мән қабылдайтындай векторын табу керек. Мұндай ұсынысты (подход) еің кіші квадраттар әдісі деп атайды.
Анықтама 2. Байламсыздық ұзындығы минималды болатын векторы (10) жүйенің псевдошешімі деп аталады. Минималды ұзындықты псевдошешімді (10) жүйенің қалыпты псевдошешімі деп атайды.
Басқаша айтқанда, (10) жүйенің қалыпты псевдошешімі, байламсыздықтың ұзындығын минимумға әкелетін барлық векторлардың арасында ең кіші ұзындыққа ие болатыны.
Теорема 4. (10) жүйенің псевдошешімі әрқашанда бар болады және ол жалғыз, сонымен қатар ол келесі формуламен анықталады:
. Дәлелдеу. Кез келген бағанын қарастырайық және айырымын келесі түрде келтірейік:
мұндағы
Онда
(11)
Мұндағы - векторының евклид ұзындығы. Алайда,
(12)
9-дәрістегі (1) скелеттік жіктеуден және (12) псевдокері матрицаның негізінде мынаны аламыз:
