Пәннің ОҚУ-Әдістемелік кешені «Матрицалар теориясы»
AX=XA түріндегі теңдеулер
жүктеу/скачать 2,25 Mb.
|
7d448e60-8cb2-11e3-bf6e-f6d299da70eeказ умм теория матриц
| AX=XA түріндегі теңдеулер
(1)-ші теңдеудің болғанда дербес жағдайын қарастырайық: (19) (19) теңдеудің жалпы шешімін табу есебі А матрицасымен ауыстырымды барлық матрицаларды табумен тепе – тең. 1-теореманы дербес түрдегі (19) теңдеу үшін тұжырымдайық. Теорема 2. (19), мұндағы, теңдеудің жалпы шешімі формуласымен табылуы мүмкін. Мұндағы - теңдеуінің жалпы шешімі, Егер болса, онда , егер болса, онда – кез келген дұрыс жоғары үшбұрышты матрица. матрицасы кез келген параметрге тәуелді, , мұндағы Мысал 3. ( теңдеуінің шешімі). матрицасы келесі элементар бөлгіштерден тұрады: Онда теңдеуінің шешімі мына түрге ие болады: А матрицасының инвариантты көбейткіштерін қарастырайық: Айталық, болсын, онда Әрбір тривиальды емес инвариантты көбейткіш бірнеше қос-қостан өзара жай элементар бөлгіштердің көбейтіндісі болып табылады, онда (19) теңдеудің шешімі келесі формуламен анықталуы мүмкін: мұндағы . Бұдан мынаны аламыз: Осылайша төмендегі теорема дәлелденді. Теорема 3. матрицасымен ауыстырымды сызықтық тәуелсіз матрицалардың саны формуласымен анықталады, мұндағы - матрицасының тұрақты емес инвариантты көбейткіші, Ескерту 1. болатындығы түсінікті. Бұдан болады, сонымен қатар теңдігі тепе-тең, яғни матрицасының барлық элементар бөлгіштері өзара жай болады. Мысал 4. (ауыстырымды матрицалар саны). Айталық матрица келесі элементар бөлгіштерден тұрсын: Ендеше матрицасының тривиалды емес инвариантты көбейткіштері мына түрге ие болады: Онда 3-теоремаға сәйкес матрицасымен ауыстырымды сызықтық тәуелсіз матрицалардың саны түріндегі теңдеулер Айталық, түріндегі теңдеу берілсін, мұндағы . Бұл матрицасының элементтеріне қатысты сызықтық теңдеулер жүйесіне эквивалентті матрицалық теңдеу. Сәйкес біртекті теңдеуді қарастырайық: . 1-теоремаға сәйкес, егер матрицаларының біріңғай меншікті мәндері болмаса, онда теңдеуінің жалғыз ғана шешімі болады. егер де матрицалары біріңғай меншікті мәнге ие болса, онда -ға қатысты екі жағдай болуы мүмкін Теңдеудің шешімі жоқ. , мұндағы - теңдеуінің кез келген дербес шешімі, ал - теңдеуінің жалпы шешімі. жүктеу/скачать 2,25 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|