Байланысты: 7d448e60-8cb2-11e3-bf6e-f6d299da70eeказ умм теория матриц
Анықтама 4. кеңістігінде базисінің координаттық функционалдарынан құралған базисі Е үшін түйіндес базис деп аталады.
Мысал 1. (Биортогональды базистер). кеңістігін және оның базисін қарастырайық:
болатындай базисін табайық.
Кез келген сызықтық функциясы
ережесі бойынша векторына әрекет етеді. (9) биортогональдық қатынасын қолданып, ізделінді функциялар үшін белгісіз параметрлерін анықтайық. функциясы үшін бұл шарт мына түрге ие болады:
Дәл осылай функциясы үшін бұл шарт мына түрге ие болады:
Бұл теңдеулер жүйесін шешейік:
Табылған парметрлермен ізделінді функцияларды жазайық:
Осылайша, ізделінді базис
скаляр көбейтіндінің мәні биортогональды базисте басқа базистерге қарағанда жеңіл есептелетіндігін көрсетейік.
Айталық және – сәйкесінше және кеңістіктеріндегі екі кез келген базис болсын. Е базисіндегі жіктелуі (2) түрге ие болатын векторының скаляр көбейтіндісін және базисі бойынша жіктелген ковекторын қарастырайық:
(14)
скаляр көбейтіндіні базисіндегі ковектордың және Е базисінде векторының координаты арқылы өрнектейік:
(15)
Егер және базистері биортогональ болса, яғни , онда (9) биортогональдық қатынасының негізінде (15) теңдік ықшамдалып мына түрге ие болады:
Осылайша,биортогональ базисте скаляр көбейтіндінің мәні оңай есептеледі.
Биортогональ базисте вектордың және ковектордың координаттарын анықтайтын өрнекті табайық. Ол үшін мынаны есептейік:
Ендеше,
(16)
Ары қарай мынадай есептеу жүргізейік:
Онда,
(17)
Мысал 2. (вектордың және ковектордың координаттары). Е базисінде 1-мысалдағы векторының координатын биортогональ базисін қолданып анықтайық. (16) сәйкес мынаны аламыз:
1-мысалдағы базисінде ковектордың координатын Е биортогональ базисін қолданып анықтайық. (17) сәйкес мынаны аламыз:
