ПӘннің ОҚУ-Әдістемелік кешені «Орнықтылық теориясы»
жүктеу/скачать 0,55 Mb.
|
1-теорема. Коэффициенттері тұрақты сызықты біртекті жүйенің орнықты болуы үшін  матрицасының меншікті сандарының нақты бөліктерінің оң болмауы және нақты бөліктері нөлге тең меншікті сандарға жай элементарлық бөгіштер сәйкес келуі қажетті және жеткілікті.
Дәлелдеу. Қажеттілігі.  жүйе орнықты болсын. Алдымен матрицасының барлық характеристикалық сандарының нақты бөліктері оң болмайтынын көрсетелік. Кері жорып, нақты бөлігі оң бір өзіндік мән (сан)  табылсын делік:  . Онда жүйенің нөлдік емес мынадай комплекс шешімі бар
Мұндағы 
Сонымен  Енді нақты бөлігі нөлге тең әрбір өзіндік санға жай элементарлық бөлгіштер сәкес келетінін көрсетелік. Тағы да кері жорып, нақты бөлігі нөлге тең бір  меншікті санына  еселі элементарлық бөлгіш  сәйкес келеді дейік. Онда ол санға матрицасының Жордан матрицасында ретті клетка сәйкес келеді, яғни  формуладағы:
клеткасының 
алалық. Бұл матрица  жүйенің матрицалық шешімі болып табылады:  Мұндағы және (6) формуладағы 0-дер-нөлдік матрицалар.
(6) формуладан:  Бұдан 
Ал (5) формула бойынша  болғандықтан, матрицаның нормасының бірінші не екінші формулаларын пайдаланып
 Сондықтан (1.4.7) теңсіздіктен
Олай болса, жүктеу/скачать 0,55 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|
өзіндік санына сәйкес келетін меншікті вектор. 
бірден үлкен болады. 
Ал бұл (1) жүйесінің орнықтылығына қайшы. Демек, 
санына тек жәй элементарлық бөлгіш сәйкес келеді.