дәріс Ляпуновтың екінші әдісінің негізгі элементтері

Орнықтылықтың есептерін шешу барысында А.М. Ляпунов әт түрлі тәсілдер енгізген. Оларды ол екі топқа бөліп, бірінші және екінші әдістер деп атаған.

Ляпуновтың бірінші әдісі дифференциалдық теңдеулердің жалпы не дара шешімдерін тікелей табуға, яғни оларды аналитикалық жолмен (формула көмегімен) табуға негізделген. Бұл жағдайда шешімнің табылған формуласына сүйеніп, оның тәртібі туралы әр түрлі хабарлар алуға болады.

Ляпуновтың екінші әдісі (көп жағдайларда оны тура әдіс деп те атайды), жалпы алғанда, өзімен берілген теңдеуге сүйеніп алынған туындысы белгілі бір арнаулы шарттарды қанағаттандыратын функцияны табуға тіреледі. Бұл әдісті пайдалану көп жағдайларда дифференциалдық теңдеуді шешпей-ақ оның шешімінің орнықты, орнықсыздығын анықтауға мүмкіндік береді.

теңсіздігінің орындалуынан мына теңсіздіктің

орындалуы шығатын болса, яғни

онда функциясының ақырсыз аз жоғарғы шегі бар деп атайды.

Ескерту.

теңсіздігін қанағаттандыратындай етіп алайық. Онда

Егер саны

теңсіздігін қанағаттандыратын болса, онда

яғни функциясы облысының ішкі облысында шенелген болады.

Нөлдік шешімнің орнықтылығы зерттелінетін (яғни түзуінің аймағы қарастырылатын) болғандықтан әрқашан -ты етіп алуға болады.

Енді шенелген функциялар ақырсыз аз жоғарғы шекке ие бола бермейтіндігін көрсету үшін мына фунцияны:

қарастырайық. Бұл функция шенелген

Бірақ бұл функция ақырсыз аз жоғарғы шекке ие емес. Кез келген үшін санын алып, мына теңдікті:

қанағаттандыратын -ті қарастырайық. санын қанша аз етіп алғанмен айнымалысының мәндерін былай етіп

теңдігі орныдалады. Яғни үшін табылған үшін

Ендеше ақырсыз аз жоғарғы шекке ие емес.