«Полная вероятность и формула Байеса»
Примеры решения задач по алгоритму
жүктеу/скачать 36,95 Kb.
|
Методическая разработка урока по теме Формула полной вероятности
| Примеры решения задач по алгоритму.
Пример 1. Имеются три партии ламп по 20,30,50 штук в каждой. Вероятность того, что лампы проработают заданное время, равна для каждой партии соответственно 0,7; 0,8 и 0,9. Какова вероятность того, что выбранная наудачу лампа из ста данных ламп проработает заданное время? Решение. 1. Испытание состоит в том, что наудачу извлекается одна лампа из 100 . 2. Пусть событие А - извлеченная лампа проработает заданное время. 3. Рассмотрим гипотезы: Hi - принадлежит первой партии; Н2 - второй партии; Н3 - третий партии. 4.Определим вероятность гипотез. P(H1)=20/(20+30+50)=0,2 P(H2)=30/100=0,3 P(H3)=50/100=0,5 5. По условию задачи условные вероятности события А равны: Р(А/ H1)=0,7; Р(А/ Н2)=0,8; Р(А/ Н3)=0,9. 6. По формуле полной вероятности (1) вычислим Р(А). Р(А) = Р(Н1) • Р(А/ H1) + Р(Н2) • Р(А/ Н2) + Р(Н3)-Р(А/ Н3) = 0.7 • 0.2 + 0,8 * *0,3 +0,9 *0,5 = 0,83. Пример 2. Имеются две урны. В первой урне а белых и в черных шаров, во второй - с белых и d черных шаров. Из первой урны во вторую перекладывают, не глядя, один шар. После этого из второй урны берут один шар. Найдите вероятность того, что этот шар будет белым. Решение. 1. Испытание состоит в том, что наудачу извлекается один шар из второй урны при предварительном перекладывании одного шара из первой урны во вторую. 2. А - извлеченный шар оказался белым. 3. Гипотезы: H1 из первой урны во вторую переложен белый шар; Н2 - из первой урны во вторую переложен черный шар. Схема решения задач с помощью формулы Байеса та же самая, только в п. 6 по формуле (2) вычисляется вероятность гипотезы Hi при условии, что событие А произошло. Пример 3, Имеются три одинаковые по виду ящика. В первом ящике 20 белых шаров, во втором -10 белых и 10 черных шаров, в третьем - 20 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Вычислите вероятность того, что шар вынут из первого ящика. Решение. 1. Испытание состоит в том, что из выбранного, наугад ящика вынимают один шар. 2. А - вынут белый шар. 3. Гипотезы: H1 - выбран первый ящик; Н2 - выбран второй ящик; Н3- выбран третий ящик, 4.Найдем вероятности гипотез. Так как выбор любого из трех одинаковых по виду ящиков, равно возможен, то Р(Н1)=Р(Н2)=Р(Н3)=1\3 5. Вычислим условные вероятности события А. Р(А /H1) = 1, так как все шары в первом ящике белые. Р(А/Н2) =1\2 , так как во втором ящике 20 шаров, из них 10 белых. Р(А/Н3) =0, так как в третьем ящике только черные шары. 6. Вероятность того, что белый шар вынут из первого ящика, находим по формуле Байеса: Пример 4. Врач после осмотра больного считает, что возможно одно из двух заболеваний 1 и 2, причем степень своей уверенности в правильности диагноза оценивает как 40% и 60% соответственно. Для уточнения диагноза больного направляют на анализ, исход которого дает положительную реакцию при заболевании 1 в 90 % случаев и при заболевании 2 в 20 % случаев. Анализ дал положительную реакцию. Как изменится мнение врача после этого? Решение. 1. Испытание состоит в том, что больному делают анализ для уточнения диагноза. 2. Событие А - анализ дал положительную реакцию. 3. Введем гипотезы: Н1 - имеет место заболеваний 1; Н2 - имеет место заболевание 2. 4. Как следует из условия задачи Р(Н1)=0,4; Р(Н2)=0,6. Р(А/Н1)=0,9; Р(А/Н2)=0,2. Найдем P(H1/A) по формуле Байеса: Следовательно, врач вероятнее всего признает наличие заболевания 1. жүктеу/скачать 36,95 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|