x x x u ψ
rot +
∇
=
ϕ
(2.19)
Здесь
ϕ
(
x ) и
ψ
(
x ) скалярный и векторный потенциалы. Заметим, что потенциалы
определяются не однозначно – скалярный потенциал определен с точностью до
константы, а векторный – до градиента некоторой скалярной функции.
Аналогичным образом представим объемную силу через скалярный и
векторный потенциалы:
Ψ
rot +
Φ
∇
=
)
(
x f (2.20)
Подставим представление (2.19),(2.20) в уравнение движения (2.18):
0
)
(
)
(
)
2
(
=
+
Φ
∇
+
∂
∂
−
∂
∇
∂
−
−
∆
∇
+
Ψ
ψ
ψ
rot rot rotrotrot 2 2 2 2 t t x x ρ
ϕ
ρ
µ
ϕ
µ
λ
В левой части полученного уравнения мы можем также выделить
потенциальную и вихревую части каждую из них приравнять нулю:
0
0
)
2
(
2
2
2
2
=
+
∂
∂
−
−
=
Φ
+
∂
∂
−
∆
+
∇
Ψ
ψ
ψ
t rotrot rot t ρ
µ
ϕ
ρ
ϕ
µ
λ
(2.21)
Из первого уравнения следует, что выражение под знаком градиента должно
быть равно константе. Но поскольку
ϕ
и
Φ
определены с точностью до
констант, мы можем их выбрать так, чтобы в первом уравнении (2.21) константа
в выражении под знаком градиента была равна нулю, т.е.
Φ
−
∂
∂
=
∆
+
2
2
)
2
(
t ϕ
ρ
ϕ
µ
λ
(2.22)
При преобразовании второго уравнения (2.21) мы прежде всего
воспользуемся известным из векторного анализа соотношением
ψ
ψ
ψ
rotrot div −
∇
=
∆
и учтем, что ротор градиента равен нулю. Тогда это уравнение примет вид:
0
2
2
=
+
∂
∂
−
∆
Ψ
ψ
ψ
t rot ρ
µ
И аналогично тому, как было сделано для скалярного потенциала, мы можем
принять выражение под знаком ротора равным нулю, т.е. получим уравнение
для векторного потенциала в виде
Ψ
ψ
ψ
−
∂
∂
=
∆
2
2
t ρ
µ
(2.23)
Уравнения (2.22) и (2.23) описывают различные типы движений в упругой
среде. Если внешние объемные силы отсутствуют, то (2.22) и (2.23 ) могут быть
записаны в стандартной форме волнового уравнения
2
2
2
2
2
1
2
t a t ∂
∂
=
∂
∂
+
=
∆
ϕ
ϕ
µ
λ
ρ
ϕ
(2.24)
2
2
2
2
2
1
t b t ∂
∂
=
∂
∂
=
∆
ψ
ψ
ψ
µ
ρ
30
Движение, описываемое скалярным потенциалом
ϕ
, представляет волну,
распространяющуюся со скоростью
ρ
µ
λ
2
+
=
a , а движение, описываемое
векторным потенциалом
Ψ
-
волну, распространяющуюся со скоростью
ρ
µ
=
b . Чтобы решить эти уравнения, мы должны знать начальные условия,
т.е. функции
ϕ
(