l
I
MR
=
0
-
приведенная длина, т.е. длина такого математического маятника,
который имеет ту же частоту собственных колебаний, 2
ε
=
b
I
.
Изображенный на рис.3.1 маятник отклоняется от положения равновесия при
горизонтальных движениях почвы. Вертикальные движения можно регистрировать,
например, при помощи массы
М
, подвешенной на пружине. Пусть жесткость
пружины
K
, ее длина
l,
вертикальное смещение почвы
u(t) ,
растяжение пружины
ξ
(t)
. Тогда уравнение движения массы относительно инерциальной системы
координат будет иметь вид
(
)
0
=
+
2
2
l
K
dt
d
b
u
dt
d
M
ξ
ξ
ξ +
+
(3.3)
Это уравнение также приводится к каноническому виду (3.1) , в котором
Ml
K
s
=
2
ω
.
Уравнение (3.1) или (3.2) описывает линейную систему. Ее частотную
характеристику получим, если примем входной сигнал в виде гармонического
колебания:
Частотная характеристика
u t
i t
( )
exp(
)
=
ω
. Тогда
ξ
ω
ω
( )
( ) exp(
)
t
X
i t
=
, и подстановка этих
выражений в (3.1) даст
X
i
s
( )
ω
ω
ω
εω ω
=
−
−
−
2
2
2
2
Соответственно амплитудная и фазовая характеристики будут следующими:
62
X
s
( )
(
)
ω
ω
ω
ω
ε ω
=
−
+
2
2
2
2
2
2
4
γ ω
εω
ω
ω
( )
=
−
arctg
s
2
2
2
При разных значениях постоянной затухания
D
s
1
=
ε
ω
амплитудная и фазовая
характеристики в зависимости от величины
u
s
=
ω
ω
имеют вид, изображенный на рис.
3.2. Цифры у кривых – значения
1
D
.
0
1
2
3
1
0
1
2
3
4
π/2
π
0
0.25
0.5
1
2
2
0
0.25 0.5
1
u
s
=
ω
ω
амплитудная характеристика фазовая характеристика
Рис.3.2 Частотные характеристики маятника
Из рассмотрения амплитудной характеристики видна важность затухания
маятника: оно обязательно должно присутствовать, чтобы погасить собственные
колебания, которые искажают частотный состав входного сигнала. Затухание может
быть осуществлено разными способами, но наиболее распространенный и
используемый в настоящее время во всех приборах – это электромагнитное
затухание. Индукционная катушка, соединенная с массой маятника и замкнутая на
внешнее сопротивление, находится в магнитном поле магнита, укрепленного на
основании прибора. При движении маятника в катушке индуцируется электрический
ток, магнитное поле которого, взаимодействуя с полем постоянного магнита, создает
тормозящий момент. Величина затухания легко регулируется внешним резистором.
С увеличением периода амплитудная характеристика спадает как Т
-2
. Чтобы
поднять увеличение на больших периодах, выгодно увеличить Т
s
, т.е. собственный
период маятника. Увеличение собственного периода достигается специальной
конструкцией подвесов.
При регистрации горизонтальных колебаний используют цельнеровский
подвес(рис.3.3а) : маятник колеблется не в вертикальной плоскости, а в плоскости,
наклоненной под углом
θ
к вертикали. За счет этого на него действует не сила
тяжести, а ее составляющая, равная
Mg
cos
θ
, и тогда собственный период
63
оказывается равным
ω
θ
s
g
l
=
cos
. Период можно существенно увеличить, если
θ
близко к
π
/2.
θ
g
gcos
θ
r
R
а б
Рис.3.3. Конструктивные способы увеличения собственного периода
колебаний маятника
При регистрации вертикальных колебаний используют схему на рисунке 3.3б.
Собственные колебания определяются из уравнения равенства моментов:
I
d
dt
K r
2
2
2
0
θ
θ
+
=
откуда период собственных колебаний равен
ω
s
Kr
I
Kr
MRl
=
=
2
2
, где
l
-
приведенная длина. Уменьшение собственной частоты достигается уменьшением
r
по сравнению с
R
и
l
.
Собственные колебания сейсмографа
При подаче на вход колебательной системы импульса, имитирующего дельта-
функцию, система будет совершать собственные колебания. Исследование такого
типа колебаний важно, так как с его помощью можно выразить движение,
обусловленное произвольным во времени импульсом
)
(
t
u
.
Итак, задача сводится к решению уравнения:
( )
θ
εθ ω θ
δ
+
+
= −
2
2
s
t
Его решение будет иметь вид:
(
)
(
)
[
]
θ
ε
ω
ε
ε
ω
ε
ε
ω
=
<
−
− +
−
−
− −
−
>
0
0
1
2
0
2
2
2
2
2
2
t
t
t
t
s
s
s
exp
(
) )
exp
(
) )
Справедливость этого решения легко проверить, т.к. при
t
t
= +
−
0
=
θ
, а
следовательно,
( )
θ
ε
= −
t
, а значит,
( )
θ
δ
= −
t
.
Рассмотрим частные случаи:
64
1)
ω
ε
s
>
. Обозначая
ω
ω
ε
1
2
2
=
−
s
, получаем:
θ
ω
ω
ε
= −
−
e
t
t
1
1
sin
. Движение
периодическое, затухающее, период затухающих колебаний больше собственного
периода:
T
s
=
−
2
2
2
π
ω
ε
. Логарифмический декремент затухания
Λ =
=
=
−
=
−
+
ln
a
a
T
D
D
n
n
s
1
2
2
1
1
2
2
1
ε
πε
ω
ε
π
2)
ω
ε
s
<
. Обозначим
ε
ω
ν
2
2
−
=
s
. Тогда
θ
ν
ν
ε
= −
−
e
sh t
t
. Движение
апериодическое, затухающее, причем при малых
t
θ
ε
≈ −
−
te
t
, а при больших -
θ
ε ν
ν
≈ −
− +
exp((
) )
t
Зная
θ
0
( )
t
для воздействия типа дельта-фунции, можно построить решение для
произвольного воздействия
u(t):
θ
θ
τ
τ τ
( )
(
)
( )
t
t
u
d
t
=
−
∫
0
0
Достарыңызбен бөлісу: |