Енді итерациялық әдістердің жинақтылығын қалай сипаттауға болады, немесе қай уақытта итерацмялық процессті тоқтату керектігіне тоқталайық. Теңдеулер жүйесінің дәлдігін  қателік векторы арқылы бағалау мүмкін болмағандықтан көбіне  -ауытқу векторы арқылы бағалайды. Шынында да, егер  (C-const) болса, онда
 .
Осыдан  болғанда  .
екенің көреміз. Ал
 (6.6)
болғандықтан
 .
Осыдан мынандай тұжырым жасауға болады: егер  (C-const) яғни (6.1) орнықты болса, онда шегінен  шегі келіп шығады. Ал  матрицасының шарттылығы нашар болған жағдайда бұл тұжырым орындалмауы да мүмкін.
Сондықтан итерациялық процессті , алдын-ала берілген дәлдік - бойынша  теңсіздігі орындалған кезде тоқтату ертерек болуы мүмкін.
Енді (6.4) теңдігін былайша жазайық:  .
Осыдан  .
Бұл теңсіздік ,(6.1) теңдеулер жүйесі орнықты болған жағдайда, итерациялық процесті
 (6.7)
теңсіздігі орындалғанда тоқтатуға болатындығын көрсетеді.
Егер А оң анықталған симметриялы матрица болған жағдайда қателік вектордың шамасын қателік функциясы деп аталатын
функцияның шамасымен де анықтауға болады. Шынында да А оң анықталған болғандықтан  және  болғанда  .
Сонымен қатар
болғандықтан, оның мәнін табу мүмкін емес. Бірақ
 (6.8)
функционалының қателік функциясынан айырмашылығы тұрақты сан болғандықтан және екеуі де өздерінің ең кіші мәндеріне болғанда ие болатындығын ескерсек, Ф(х) функционалына минимум мән беретін векторды жүйенің шешуі деп қарастыруға болады. Сондықтан
 (6.9)
болған жағдайда да итерациялық процесті тоқтатуға болады.
Енді итерациялық процестердің қарапайым түрлерімен танысайық.
Біртіндеп жуықтау әдісі.
Берілген
теңдеулер жүйесін былайша жазайық
 , (6.10)
мұнда  .
Енді (6.10) теңдеулер жүйесін шешу үшін мынандай итерациялық әдісті пайдаланайық
 , (6.11)
мұнда  -өзіміздің еркіміз бойынша алынатын кез-келген бастапқы вектор. (6.11) итерациялық әдісін (6.2) формуласы түрінде жазсақ
 ,
онда  екенің және бұл стационар итерациялық әдіс екенің көреміз.
Бұл әдістің жинақтылығын анықтау үшін, математикалық индукцияны қолдану арқылы, (6.11) теңдігінен алынған
 (6.12)
және  теңдігінен (6.11) теңдігін алып тастағанда алынған
 (6.13)
формулаларын қарастырайық.
Енді осы формулаларды қолдана отырып әдістің жинақтылығы туралы бірнеше теоремаларды берейік.
6.1-теорема: Кез-келген -де біртіндеп жуықтау әдісінің жинақты болуы үшін  матрицасының меншікті мәндерінің модулі бірден кіші болуы қажетті және жеткілікті.
Бұл теореманың шартын тексеру қиын болғандықтан, шарттары оңай анықталатын теоремаларды қарастырайық.
6.2-теорема: Біртіндеп жуықтау әдісі жинақталуы үшін  болуы жеткілікті.
6.3-теорема: Егер болса, онда
 (6.14)
Көп жағдайда  және  нормаларын салыстыруға тура келеді.
Зейдель әдісі.
Айталық,
теңдеулер жүйесі
( )
түрінде жазылды делік. Берілген жүйені былайша жазайық
  . (6.22)
Енді осы теңдеулер жүйесін шешу үшін мынандай итерациялық әдісті қолданамыз:
 , (6.23)
яғни  белгілі болса, онда (6.23) формуласын пайдалану арқылы  векторының  компонентін табамыз, содан кейін  векторын пайдаланып  векторын табамыз. Сол сияқты векторының  компонентері табылады.
Енді осы итерациялық процестің жинақтылығын зерртеу үшін (6.23) итерациялық процесін былайша жазайық:
 , (6.24)
мұнда  .
Осыдан
 (6.24)
болғандықтан итерациялық әдістің жинақталуы үшін  матрицасының меншікті санының абсолюттік шамасы бірден кіші болуы қажетті және жеткілікті. Яғни  теңдеуінің түбірлерінің абсолюттік шамасы бірден кіші болуы керек. Егер теңдеуді  -ге көбейітсек, онда екі матрицаның анықтауыштарының көбейтіндісі туралы теореманы еске ала отырып, теңдеуді мына түрде жазуға болады:
 , немесе
 . (6.25)
Сонымен Зейдель әдісінің жинақталуы үшін (6.25) теңдеуінің барлық шешуінің абсолюттік шамасы бірден кіші болуы қажетті және жеткілікті.
Енді әдістің жинақталуының жеткілікті шартын қарастырайық.
Айталық ,
 . (6.26)
Бұл жағдайда біртіндеп жуықтау әдісі үшін мына бағалау орындалады
 (6.27)
мұнда 
 . (6.28)
Сонымен Зейдель әдісінің жинақты болуы үшін (6.26) шартының жеткілікті екенің көрдік. (6.28) теңсіздігінен, біртіндеп жуықтау әдісі мен Зейдель әдістері берілген теңдеулер жүйесі үшін жинақты болса, Зейдель әдісінің жинақтылығы біртіндеп жуықтау әдісінің жинақтылғынан жылдамырақ екенің көреміз. Бірақ кей жағдайларда берілген теңдеулер жүйесі үшін біртіндеп жуықтау әдісі жинақты, ал Зейдель әдісі жинақты емес және керісінше Зейдель әдісі жинақты, ал біртіндеп жуықтау әдісі жинақты балмауы мүмкін.
Ричардсон әдісі.
Достарыңызбен бөлісу: |
