Ричардсон әдісін іс жүзінде қолдану үшін біріншіден мен белгілі болуы тиіс, екіншіден саны тұрақты болуы қажет. Сондықтан Ричардсон әдісін қолданбастан бұрын А матрицасының меншікті сандарының төменгі және жоғарғы шегін анықтап алған жөн. Сонымен қоса итерациялық процесстің қанша итерациядан кейін алдын-ала берілген дәлдікті қанағаттандыратындығы белгісіз болса және алдын-ала берілген дәлдік орындалмаса, онда табылған параметрлерін қайта қолданады. Бұл жағдайда итерациялық процессті былай жазған дұрыс:
(7.12)
мұнда циклді итерациялық процесстің параметрлерінің саның көрсетеді. Егер болса, онда итерациялық процесс (7.1) стационар, ал болса стационар емес делінеді.Ричардсон әдісін қолданған кездегі келесі проблема- параметрлерінің қолдану ретін анықтау. Өйткені парметрлерді белгілі бір ретте қолданған кезде әдіс орнықсыз болуы мүмкін.
Лекция 12-15. Алгебралық және трансценденттік теңдеулерді жуықтап шешу єдістері Біз түрінде берілген теңдеуді n дәрежелі алгебралық теңдеу, ал , , түрінде, яғни құрамы көрсеткіштік, логарифмдік, тригонометриялық, кері тригонометриялық функциялардан тұратын теңдеулерді трансценденттік теңдеулер дейміз.
Егер алгебралық көпмүше болса, онда 5-дәрежелі көпмүшеге дейін ғана теңдеуінің түбірлерін дайын формулалар арқылы есептеуге болатыны белгілі. Ал трансценденттік теңдеулердің шешімдерін табудың жалпы әдісі жоқ. Сондықтан көптеген мәселелердің шешуі түптеп келгенде алгебралық немесе трансценденттік теңдеулерді алдын ала берілген дәлдікпен жуықтап шешуге келіп тіреледі. Графиктер әдісі.
теңдеуінің бастапқы мәндерін табудың бір жолы функциясының графигін сызу арқылы, осы функцияның осімен қиылысу нүктелерін тауып, соларды теңдеудің жуық түбірлері ретінде қолдану.
Онда нүктелерінің біреуін бастапқы мән ретінде алуға болады.
Егер функциясын екі функцияның айырымы немесе қосын- дысы түрінде жазуға болатын болса, яғни болса, онда теңдеуін түрінде жазып, функцияларының графиктерінің қиылысу нүктелерін бастапқы мән ретінде аламыз.
Бөлшектеу әдісі. Бөлшектеу әдісі математикалық анализдегі мына теоремаларға сүйенеді:
Теорема-2. Егер дифференциалданатын функциясының аралығында- ғы туындысы болса, онда осы аралықта өспелі (кемімелі) болады.
Осы теоремаларға сүйенсек, онда және аралығында (немесе ) болғанда теңдеуінің осы аралығында бір ғана түбірі болады.
Енді функцияның ерекшеліктерін ескере отырып теңдеудің аралығында жатқан түбірлерін іздестіру жолын қарастырайық. Ол үшін кесіндісін нүктелерінің арақашықтығы -қа тең бөлікке бөлеміз, яғни , , . Егер болса, онда осы аралықта f(x)=0 теңдеуінің ең болмағанда бір түбірі бар екені айқын. Осы кесіндісінде таңбасын өзгертпесе, онда теңдеудің бір ғана түбірі бар болғаны. Ал -тың таңбасын анықтау қиын болған жағдайда кесіндісін тағы да бөлікке бөлу арқылы () нүктелер тізбегін аламыз да өрнегінің немесе өрнегінің таңбасын () қарастырамыз. Егер тек к-ның бір мәнінде ғана болса немесе өрнегінің таңбасы барлық үшін өзгермесе, онда теңдеуінің кесіндісінде бір ғана түбірі бар деп тұжырымдауға болады.
Осы процестерді қайталау арқылы теңдеудің түбірлерінің (түбір- лердің еселігін есептемегенде) бастапқы мәнін табуға болады.
мен 
белгілі болуы тиіс, екіншіден 
саны тұрақты болуы қажет. Сондықтан Ричардсон әдісін қолданбастан бұрын А матрицасының меншікті сандарының төменгі және жоғарғы шегін анықтап алған жөн. Сонымен қоса итерациялық процесстің қанша итерациядан кейін алдын-ала берілген дәлдікті қанағаттандыратындығы белгісіз болса және алдын-ала берілген дәлдік орындалмаса, онда табылған 
параметрлерін қайта қолданады. Бұл жағдайда итерациялық процессті былай жазған дұрыс:
болса, онда итерациялық процесс (7.1) 
болса стационар емес делінеді.Ричардсон әдісін қолданған кездегі келесі проблема- 
параметрлерінің қолдану ретін анықтау. Өйткені парметрлерді белгілі бір ретте қолданған кезде әдіс орнықсыз болуы мүмкін.
түрінде берілген теңдеуді 
, 
, 
түрінде, 
алгебралық көпмүше болса, онда 5-дәрежелі көпмүшеге дейін ғана 
теңдеуінің түбірлерін дайын формулалар арқылы есептеуге болатыны белгілі. Ал трансценденттік теңдеулердің шешімдерін табудың жалпы әдісі жоқ. Сондықтан көптеген мәселелердің шешуі түптеп келгенде алгебралық немесе трансценденттік теңдеулерді алдын ала берілген дәлдікпен жуықтап шешуге келіп тіреледі.
функциясының 
осімен қиылысу нүктелерін тауып, соларды теңдеудің жуық түбірлері ретінде қолдану.
нүктелерінің біреуін бастапқы мән ретінде алуға болады. 
болса, онда 
түрінде жазып, 
функцияларының графиктерінің қиылысу нүктелерін бастапқы мән ретінде аламыз.
кесіндісінде 
аралығында ең болмағанда бір түбірі болады.
болса, 
(немесе 
) 
бөлікке бөлеміз, яғни 
, 
, 
. Егер 
болса, онда осы аралықта 
кесіндісінде 
таңбасын өзгертпесе, онда теңдеудің бір ғана түбірі бар болғаны. Ал 
(
) нүктелер тізбегін аламыз да 
өрнегінің немесе 
өрнегінің таңбасын (
) қарастырамыз. Егер 
тек