«Сандық әдістер» пәнінің оқу-әдістемелік кешені
Жай дифференциалдық операторларды жуықтау
жүктеу/скачать 1,3 Mb.
|
2. Жай дифференциалдық операторларды жуықтау Есептеу математикасында дифференциалды теңдеулерді шешу кезінде, дифференциалдық операторларды торлық функциялардың комбинациясымен алмастырады. Бұл алмастыру әртүрлі жолдармен іске асырылуы мүмкін. Біз төменде жай дифференциалдық операторларды торлық функциямен алмастырудың кейбір жолдарын қарастырамыз.  операторын торлық функциялармен алмастыру.
Айталық,  функциасы  аралығында анықталған және жеткілікті үзіліссіз туындылары бар функция болсын.
Математикалық анализ курсында  төмендегі шек арқылы анықталады.
 , (2.1)
немесе  (2.2)
 (2.3)
Енді өте аз шама деп  белгісін алып тастасақ, онда
 , (2.4)
 , (2.5)
 . (2.6)
   операторларын жуықтау операторлары (айырымдық операторлар) дейді.
Енді осы операторлардың  операторын қаншалықты жуықтайдығын қарастырайық. Айталық ,
 , 
болсын , онда  операторын  операторының жуықтау қателігі дейді. Енді осы қателіктерді бағалайық. Ол үшін  ,  шамаларын нүктесінде Тейлор қатарына жіктеп,
 , 
 , 
(2.1)-(2.2) теңдіктеріне қойсақ  
Осыдан  ,  .
Егер мынандай белгілеу енгізсек:  ,
онда жуықтау қателіктері былайша бағаланады:  , (2.7)
 . (2.8)
Дәл осы жолмен , функцияларын  дәрежесіне дейін Тейлор қатарына жіктеп, (2.6) теңдігіне қойсақ
 , (2.9)
бағалауын аламыз. Мұнда 
 операторын торлық функцияларымен алмастыру.
Бұл операторды былайша жуықтайық:  . (2.10)
 операторының жуықтау қателігін табу үшін төмендегі Тейлор қатарын пайдаланамыз:
  ,
  .
Осы теңдіктерді (2.10) теңдігіне қойсақ , онда  .
теңдігін аламыз. Ал  болса, онда
 . (2.11)
(2.11) теңдігін былай жазуға болады: 
 операторын торлық функциялармен алмастыру .
Бұл операторды торлық функциялармен алмастыру үшін белгісіз коэффиценттер әдісін қолданамыз.Яғни  (2.12)
деп аламыз да тан тәуелсіз  коэффиценттерін табу жолын қарастырамыз. Мұнда  және  ,  кез келген бүтін сан. Оларды міндетті түрде
теңсіздігі орындалатындай етіп алу керек. жүктеу/скачать 1,3 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|