Сборник научных статей научно-практической конференции «Байтанаевские чтения-Х»
жүктеу/скачать 8,82 Mb. Pdf көрінісі
|
baytanaev 2022 zhinak 1 tom gotov
|
Бұл 𝑍 мағынасын (1) формулаға қойып, теңдеудің интегралды матрицасын аламыз немесе жүйенің шешімінің фундаментальді жүйесінің түрі тәрізді 𝑌 = [𝑒 𝐼 𝜌1 (𝜆 1 )𝑥 , 𝑒 𝐼 𝜌2 (𝜆 2 )𝑥 , … , 𝑒 𝐼 𝜌𝑠 (𝜆 𝑠 )𝑥 ]𝑆, яғни тағы да түрде. Дифференциалдық теңдеулердің жүйесі, (4) матрицалық теңдеуге лайықты, жүйенің канондық түрі деп аталады. (4) матрицалық теңдеуден оған сәйкес дифференциалдық теңдеулер жүйесіне көшейік. Ол үшін еске түсірейік, біз жүйеден матрицалық теңдеуге өткенде, матрицаны жүйенің коэфициенттерімен транспонерлегенбіз. Сондықтан (2) матрицалық теңдеуден сәйкес жүйеге өткенде біз, [𝐼 𝜌1 (𝜆 1 ), 𝐼 𝜌2 (𝜆 2 ), … , 𝐼 𝜌𝑠 (𝜆 𝑠 )] матрицасын транспонерлеуіміз керек. Егер тағы осы матрицаның құрылымына назар аударсақ, сенуге қиын емес, біз n теңдеуінің біртекті сызықты жүйесін аламыз, және де ол s группаға бөлінеді, яғни A матрицасында әртүрлі қанша қарапайым бөлгіштер болса, сонша топ болады. Әр топта орналасқан теңдеулердің сандары, осы топқа сәйкес, қарапайым бөлгіштердің дәрежесіне тең. Әр топта теңдеулердің диагональді коэфициенттері, сәйкес сипаттамалық 369 сандарына тең, үстіңгі диагоналға қатарлас тұрған коэфициенттер бірге тең, ал қалған коэфициенттер нөлге тең. Сонымен,жүйенің канондық түрі былай болады: 𝑑𝑧 1 𝑑𝑥 = 𝜆 1 𝑧 1 + 𝑧 2 , 𝑑𝑧 2 𝑑𝑥 = 𝜆 1 𝑧 2 + 𝑧 3 , . . . . . . 𝑑𝑧 𝜌 1 −1 𝑑𝑥 = 𝜆 1 𝑧 𝜌 1 −1 + 𝑧 𝜌 1 , 𝑑𝑧 𝜌 1 𝑑𝑥 = 𝜆 1 𝑧 𝜌 1 , 𝑑𝑧 𝜌 1 +1 𝑑𝑥 = 𝜆 2 𝑧 𝜌 1 +1 + 𝑧 𝜌 1 +2 , 𝑑𝑧 𝜌 1 +2 𝑑𝑥 = 𝜆 2 𝑧 𝜌 1 +2 + 𝑧 𝜌 1 +3 , . . . . . . . . . 𝑑𝑧 𝜌 1 +𝜌 2 −1 𝑑𝑧 = 𝜆 2 𝑧 𝜌 1 +𝜌 2 −1 + 𝑧 𝜌 1 +𝜌 2 , 𝑑𝑧 𝜌 1 +𝜌 2 𝑑𝑥 = 𝜆 2 𝑧 𝜌 1 +𝜌 2 , . . . . . . . 𝑑𝑧 𝑛−𝜌 𝑠 +1 𝑑𝑥 = 𝜆 𝑠 𝑧 𝑛−𝜌 𝑠 +1 + 𝑧 𝑛−𝜌 𝑠 +2 , 𝑑𝑧 𝑛−𝜌 𝑠 +2 𝑑𝑥 = 𝜆 𝑠 𝑧 𝑛−𝜌 𝑠 +2 + 𝑧 𝑛−𝜌 𝑠 +3 , . . . . . . . . . . . 𝑑𝑧 𝑛−1 𝑑𝑥 = 𝜆 𝑠 𝑧 𝑛−1 + 𝑧 𝑛 . 𝑑𝑧 𝑛 𝑑𝑥 = 𝜆 𝑠 𝑧 𝑛 . } (5) Егер,дербес жағдайда, (4) жүйенің барлық сипаттамалық сандары әртүрлі немесе араларында еселік бар болса, бірақ барлық қарапайым бөлгіштер жай, соған сәйкес (3) канондық матрицалық теңдеу мына түрге келеді 𝑑𝑍 𝑑𝑥 = 𝑍[𝜆 1 𝜆 2 , … , 𝜆 𝑛 ], сәйкесінше, (4) жүйе таза диагональді канондық түрге өзгертілуі мүмкін. 370 𝑑𝑧 1 𝑑𝑥 = 𝜆 1 𝑧 1 , 𝑑𝑧 2 𝑑𝑥 = 𝜆 2 𝑧 2 , . . . . . 𝑑𝑧 𝑛 𝑑𝑥 = 𝜆 𝑛 𝑧 𝑛 , } (6) 𝜆 1 , 𝜆 2 , … , 𝜆 𝑛 сандарының арасында бірдейлері де болуы мүмкін. Ақырында, біз (1) әртүрлі біртекті сызықты жүйені (5) немесе (6) канондық түрге әкелуге болатынын дәлелдедік, яғни таза диагональдық түрге немесе квазидиагональдық түрге, матрицаның барлық қарапайым бөлгіштері жай немесе олардың арасында еселік болуына байланысты. Дифференциалдық теңдеулер теориясы-математикалық анализдің аса маңызды сонымен бірге жаратылыстану ғылымдары (физика, астрономия, механика т. б.) және техниканың қиындықтарын шешуде орасан зор орын алатын бөлімі болып табылады. Дифференциалдық теңдеу белгілі бір айнымалының екінші бір айнымалыға тәуелділік заңын береді. Осы теңдеулердегі белгісіздер бір шама және екі, үш және одан да көп шамалардың функциялары болып табылады. Механикада орын ауыстырушы дененің орын ауыстыру жүйесін білу, гидродинамикада, ағатын сұйық зат жылдамдығының оның барлық массасына ауысу заңын, басқаша айтқанда жылдамдықтың сұйық зат нүктелері мен уақытқа тәуелді екендігін табу, физикада электр мен магнетизм өрісінің кернеуін барлық жүйеде табу бізде басты қиындық болып есептелінеді, себебі техникалық қиындықтардың біраз бөлігінің шешілуі дәл осы қиындықтарға келіп тоқталады. Мысалы, сүңгуір қайықтың судың төменгі бөлігінде, кемелердің, теңіз беттерінде жүзіп жүруі, снарядтардың, самолеттердің әуеде ұшуы қатты денелердің сұйық заттың ішкі бөлігіндегі қозғалысына мысал ретінде ала аламыз. Бұл заттардың ішкі құрылыстары және жобаланулары математикалық әдісті, басқаша айтқанда дифференциалдық теңдеулер теориясын пайдалануды міндетті деп санайды. жүктеу/скачать 8,82 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|