§ С. ВЫ ЧИ СЛИ ТЕЛЬН Ы Е ЗАДАЧИ

Г Л А В А ГІ 
ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
§ 1. Основные определения
Ф у нк ц и и ц е л о ч и с л е н н о г о а р г у м е н т а
176. Функция целочисленного аргумента принимает значения
»j = 0,9; 
щ = 0,99; 
ия =  0,999; ..., 
ип— 0,999 ... 9; ...
и 
раз
Чему равен lim ип? Каково должно быть п, для того чтобы абсолют-
Т1—
►
СО
пая величина разности между ип и ее пределом была не больше 0,0001?
177.
Функция 
ип 
принимает значения
1
1 
1 
1
иі = 1; 
щ —  j ;
щ —  -у-; •••; 
«я = -г;
Найти lim ип. Каково должно быть и, для того чтобы разность
/г
—
*00
между ип и ее пределом была меньше заданного положительного числа е?
178.
Доказать, что 
ип = ” ~
| стремится к 
1
при неограниченном
возрастании п. Начиная с какого и абсолютная величина разности между 
ип и 1 не превосходит 10~4?
179. Функция vn принимает значения
Зл 
пл
cos
vi = —
v.2 = ~ - ;
іһ =
COS 
-гг 
COS 
-С- 
COS
2 
cos л 
2 
2
Найти lim vn. Каково должно быть п, для того чтобы абсолютная
Я—
►
СО
величина разности между vn и ее пределом не превосходила 0,001? 
Принимает ли vn значение своего предела?
1 
5 
7
180. Общий член ип последовательности ггі = -rj-, щ = -
—
17 
2" — 1 
2'Ч- 1
... имеет вид —^
ті
— , если п — нечетное число, и — ф— ,
если п — четное число.

§ 1. ОСНОВНЫЕ О П РЕД ЕЛЕНИ Я
29
Найти lim ип. Каково должно быть п, для того чтобы разность 
«-►00
между ип и ее пределом по абсолютной величине не превосходила 10~‘5; 
данного положительного числа е?
‘\п- 4-1
181.
Доказать, что последовательность 
ип =  ^ ф 9 
при неограни-
4
ченном возрастании п стремится к пределу, равному ү , монотонно воз­
растая. Начиная с какого п, величина 
— ип не превосходит данного 
положительного числа е?
1/ /J- 
Q*
182. Доказать, что ип — -- ---- при неограниченном возрастании п
имеет пределом 1. Начиная с какого п, величина | 1— ип | не превосхо­
дит данного положительного числа е?
Какой характер имеет предельное изменение переменной //„?
183. Функция vn принимает значения биномиальных коэффициентов:
т (т  — 1) 
гп (т  — 1) (т  — 2)
Vi — т , 
v-i —
| _ 2 
>
—
1. 2*3 
’ ’ * ‘ ’
__т {т  — 1) (т  — 2)... [(/« — (п — 1)]
1*2*3...«
где т  — целое положительное число. Найти lim vn.
П-+СО
184. Доказать, что последовательность ип=  1 -f-(— 1)" не имеет пре­
дела при неограниченном возрастании п.
185. Доказать, что при неограниченном возрастании п последова-
2« + (— 2)«
тельность ii,i= -~фі—
не имеет предела, а последовательность
2
« 
_і_ 
/__ 2Уг
vn=  —
— — имеет предел. Чему он равен?
186. Имеет ли предел последовательность:
. ПК
Sin 
-ту
1) H„ = » s in ^ ; 
2) = - ( я > 1)?
187. Доказать теорему: если последовательности нь гь, 
ип, ...
и vlt и2, ..., vn, ... стремятся к общему пределу а, то к тому же пре­
делу стремится и последовательность щ, 
ио, г** ..., ию vn, ...
188. Доказать теорему: если последовательность uh ш, ..., ип, ...
стремится к пределу а, то к тому же пределу стремится любая ее бес­
конечная подпоследовательность (например, и\, щ, щ, ...).
189. Последовательность и 2, ..., и,„ ... имеет предел а Ф  0. Дока­
зать, что lim І^±і==і. Что можно сказать об этом пределе, если а = 0?
П-* СО
(Привести примеры.)

Ф у н к ц и и н е п р е р ы в н о г о а р г у м е н т а
190. Дано у = х 1. Когда х - *2 , то у-+ 4. Каково должно быть 8, 
чтобы из \ х — 2|<^о следовало \у — 4 | 
в = 0,001 ?
191. Пусть у  === ~тг"i’ ’г. При х-+2 имеем: 
Каково должно
Л*- “~р 1 
о
3
быть о, чтобы пз | х — 2 }<^о следовало у ---^ <Г 0,1 ?
О
192. Пусть y =  
, у При х  — 3 имеем: у  
. Каково должно
быть 8, чтобы пз | х — 3 j <^8 следовало 
— у  <^0,01?
193. Доказать, что sin а: стремится к единице при х —у тс/2. Каким 
условиям должен удовлетворять л* в окрестности точки лг = тс/2, чтобы 
имело место неравенство 1— sin д:<^ 0,01 ?
194. При неограниченном возрастании х функция у =  ^ 
.- стре-
X “у” 1
мится к нулю: lim 
j.■
— = 0. Каково должно быть N, чтобы из|лг|^>Л^
д--оэл“ “ Г 1
следовало у<^ з?
V3 — 1
195. Если Х - +
0 0
, то у — ' 
>
• 1. Каково должно быть N, чтобы
х3 -(- S
пз | jc | 
А/ следовало | у — l |<^s?

жүктеу/скачать 9,73 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: