Сборник задач по курсу общей физики: Учеб пособие 223 для студентов пед ин-тов по спец. №2105 «Физика» /Г. А. Загуста, Г. П. Макеева, А. С. Микулич и др.; Под ред. М. С. Цедрика. М.: Просвещение, 1989. 271 с.: ил
§ 9. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
жүктеу/скачать 3,13 Mb.
|
cedrik
- Бұл бет үшін навигация:
- Т = 2л \jm / k
- Т = 2л ^jl/K
- МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
§ 9. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ Уравнение затухающих колебаний и его решение: +2p^ + (o“x = 0, х = Ае cos (cof+cp), 43 Логарифмический декремент затухания: В = In =рг. А п -f-1 Период малых колебаний математического маятника: Т = 2л -yj'l/g^ где I — длина маятника, g — ускорение силы тяжести. Период колебаний тела, подвешенного на пружине: Т = 2л \jm/k, где m — масса тела, k — жесткость пружины. Период малых колебаний физического маятника: Т = 2л -yjb/g, где Ь = —^ — приведенная длина физического маятника, I — мота мент инерции маятника относительно оси качаний, тп — масса маятника, d — кратчайшее расстояние от центра масс до оси качаний. Период крутильных колебаний: Т = 2л ^jl/K где I — момент инерции, k — — (М — момент силы, ф — угол ф закручивания). Период затухающих колебаний: Т — 2л/ где Р = £ коэффициент затухания. m Амплитуда вынужденных колебаний при действии вынуждающей силы F = F0 cos tot: —10V+"ipV где /о = —, со о = 2 я v о = \lk /гПу a) = 2лv, v и Vo — частоты соб- тп ственных колебаний при отсутствии затухания и вынуждающей силы. Период колебаний однородной струны: Т = 21 л/m/F, где I — длина струны, тп — масса единицы длины струны, F — сила натяжения струны. Полная энергия материальной точки массой /д, которая совершает гармонические колебания: 44 E = Ek + EP = ^^-. Скорость распространения волны: V = AV, где X — длина волны. Скорость распространения продольных волн в тонких стержнях: -д/в/р, где Е — модуль Юнга среды, р — ее плотность. Скорость распространения поперечных волн: v= VG/p. где G — модуль сдвига. Скорость продольных волн в неограниченной упругой среде: v= Vvp> где k — модуль всестороннего сжатия. Уровень громкости звука, дБ: Ln = 101g Jo где I — интенсивность звука, /о — интенсивность на пороге слышимости. Частота звука, воспринимаемая наблюдателем, согласно принципу Доплера, определяется по формуле: / Crt V = з—V, с и где с — скорость распространения звука, v — скорость движения наблюдателя, и — скорость источника звука, v — частота звука, посылаемого источником. Верхние знаки берутся при сближении источника и наблюдателя, нижние — при их удалении. Колебания Тело массой 5 г совершает колебание, которое описывается уравнением: = 0,1 sin -=-(* +j-). Найти значения кинетической и потенциальной энергий тела через 20 с от момента времени t = 0. Чему равна полная энергия тела? Определить массу тела, совершающего гармонические колебания с амплитудой 0,10 м, частотой 2,0 Гц и начальной фазой 30°, если полная энергия колебаний 7,7 мДж. Через сколько секунд от начала отсчета времени кинетическая энергия будет равна потенциальной? 45 Определить амплитуду гармонических колебаний материальной точки, если ее полная колебательная энергия 40 мДж, а действующая на нее сила при смещении, равном половине амплитуды, 2,0 Н. Во сколько раз уменьшится полная энергия колебаний секундного маятника за 5 мин, если логарифмический декремент затухания 0,031? Амплитуда колебаний камертона за 15 с уменьшилась в 100 раз. Найти коэффициент затухания колебаний. Построить график затухающего гармонического колебания, частота которого 10 Гц, начальная амплитуда 6 см и логарифмический декремент затухания 0,01. Как изменится ход маятниковых часов при поднятии их на высоту 20 км над поверхностью Земли? Математический маятник подвешен к потолку вагона электропоезда. Во сколько раз изменится его период колебаний, если вагону сообщить горизонтальное ускорение а? Шарик массой т — Определить период колебаний груза на пружинных весах, если в состоянии равновесия он смещает стрелку весов на Дх = 2,0 см от нулевого деления, соответствующего ненагру- женной пружине. Определить минимальную частоту колебаний наклонной плоскости (в продольном направлении), при которой находящееся на ней тело начнет скользить. Угол наклона плоскости а = 10°, амплитуда колебаний А = 10 см, коэффициент трения тела о наклонную плоскость ^ = 0,4. С какой частотой будет совершать колебания маленький тяжелый шарик, помещенный между двумя пересекающимися плоскостями, которые образуют угол а = 170°, если одна из плоскостей образует угол (3 = 5° с горизонтом, а шарик первоначально был поднят на высоту h = 10 см (рис. 9.1)? Трение и удар шарика о плоскость отсутствуют. Стакан массой mi =20 г и площадью поперечного сечения *S = 5 см2 содержит ртуть массой rri2 — S0 г и плавает на поверхности воды. Под действием вертикальной силы стакан выводится из положения равновесия и отпускается. Определить период колебаний системы. /77 46 Найти частоту колебаний груза массой тп — Стержень длиной / = 50 см совершает колебания около горизонтальной оси, проходящей через точку, которая расположена на расстоянии d = 12,5 см от конца стержня. Определить частоту колебаний стержня. 9*16. На концах стержня, масса которого т = 60 г и длина / = 49 см, укреплены два шарика массами тп\ = 70 г и т2 = 90 г, а стержень подвешен так, что может совершать колебания около горизонтальной оси, проходящей через его середину. Определить период малых колебаний стержня. К потолку лифта подвешен стержень за один конец так, что может совершать колебания. Длина стержня 50 см. Определить период колебаний стержня, если лифт движется с ускорением 1,2 м/с2, направленным вверх. Однородный диск радиусом R = 0,10 м совершает колебания вокруг горизонтальной оси, которая проходит через точ- R ку, расположенную на расстоянии — от центра диска, и перпен- Л дикулярна плоскости диска. Определить частоту колебаний диска. Струна, на концах которой закреплены грузы массой М = 0,40 кг каждый, перекинута через два неподвижных блока, расположенных на расстоянии 1,0 м (рис. 9.2). К середине струны прикреплен точечный грузик массой т = 9,8 г. Определить период малых поперечных колебаний грузика. Массу струны и ее начальное натяжение, вызванное грузиком т, не учитывать. Определить период крутильных колебаний железного шара радиусом # = 0,1 м, подвешенного на стальной проволоке радиусом г— 1 мм и длиной / = 1 м. Модуль сдвига для стали принять равным G = 80 ГПа. Определить амплитуду вынужденных колебаний груза массой 0,2 кг, подвешенного на пружине жесткостью 20 Н/м, если действует вынуждающая сила с амплитудой 2 Н и частотой в 2 раза большей собственной частоты колебаний груза, а коэффициент затухания 0,5 с-1. Шар-зонд, имеющий нерастяжимую оболочку, поднялся на максимальную высоту и совершает малые колебания около равновесного уровня. Найти период этих колебаний, считая, что на такой высоте плотность воздуха убывает с высотой равномерно на 6 = 1,2-10 2р через каждые h = 100 м. Трением шара о воздух пренебречь. Два шарика массами т\ и тъ, скрепленные между собой пружиной, жесткость которой £, лежат на горизонтальной плоскости. Пружина растягивается и отпускается. Определить период возникших колебаний шариков. Трение не учитывать. 47 N
'А V/. У 1 Рис. 9.3 Рис. 9.4 В каком случае тело, находящееся в точке А Как определить неизвестную массу тела тп\, имея секундомер, пружину и другое тело известной массы т2? Волновое движение. Акустика Найти скорость распространения звуковых колебаний в воздухе, длина волны которых 1,0 м, а частота колебаний 340 Гц. Чему равна максимальная скорость смещения частиц воздуха, если амплитуда колебаний 0,2 мм? На каком расстоянии от источника колебаний, совер- Т шаемых по закону синуса, в момент времени £ = — смещение точки от положения равновесия равно половине амплитуды? Скорость распространения колебаний 340 м/с. Период колебаний 10 3 с. Определить скорость распространения волн в озере, если период качания лодки, находящейся на поверхности воды, 4,0 с, а расстояние между ближайшими гребнями волн 6,0 м. Во сколько раз изменяется длина ультразвуковой волны при переходе волны из стали в медь, если скорости распространения ультразвука в меди и стали соответственно 3600 и 5500 м/с? Найти скорость распространения ультразвука в железе, если модуль Юнга для железа 20 ГПа, а плотность 7800 кг/м3. Определить скорость распространения поперечных звуковых волн в меди. Модуль сдвига для меди 12,0 ГПа, плотность меди 8900 кг/м3. Определить скорость звука в воде, если известно, что модуль всестороннего сжатия воды 1,98 ГПа. Чему равен коэффициент всестороннего сжатия воды, если посланный с корабля ультразвуковой сигнал, отразившись на глубине h = 1,5 км, вернулся через £ = 2,1 с? Определить натяжение стальной струны длиной 0,50 м и диаметром 0,20 мм, если известно, что она настроена в унисон с камертоном, частота которого 430 Гц. Найти скорость распространения поперечных звуковых 48 волн в стальной струне диаметром 1,0 мм, натянутой с силой 100 Н. Чему равна скорость распространения звуковой волны в медной проволоке длиной 10 м, которая натянута силой 200 Н? Масса проволоки 50 г. Сколько биений в секунду дает натянутая стальная струна с камертоном, частота колебаний которого 430 Гц, если натяжение струны 100 Н, ее длина 0,5 м, а диаметр 0,3 мм? В приборе Кундта при продольном натирании железного стержня длиной L = 0,50 м, который закреплен в середине, порошок, насыпанный в стеклянную трубку, образовал слой неодинаковой плотности, причем расстояние между двумя максимумами плотности оказалось равным 1 = Определить частоту основного тона открытой трубы длиной 1,0 м, которая заполнена воздухом. Чему равна частота основного тона закрытой с одного конца трубы длиной 1,5 м, если она заполнена водой? Скорость распространения звука в воде принять равной 1,5 км/с. Уровень громкости шума самолета на расстоянии 5 м равен 120 дБ, а тихого разговора на том же расстоянии — 40 дБ. Определить отношение интенсивностей и абсолютные значения интенсивностей этих звуков. На сколько децибелов отличаются звуки, соответствующие порогу слышимости (/о —10-12 Вт/м2) и порогу болевых ощущений (/=102 Вт/м2)? Подводная лодка, движущаяся со скоростью v = 10 м/с, посылает ультразвуковой сигнал частотой v = 30 кГц, который, отразившись от препятствия, возвращается обратно. Определить разницу между частотами посылаемого и принятого сигналов. Два катера движутся навстречу друг другу с одинаковой скоростью, равной v = 10,0 м/с. С первого катера посылается ультразвуковой сигнал частотой v = 50,0 кГц, который отражается от второго катера и принимается на первом. Определить частоту принятого сигнала. Два электропоезда идут навстречу друг другу со скоростями ui = 30,0 м/с и и2= 10,0 м/с. Первый поезд дает свисток, высота тона которого соответствует частоте v = 500 Гц. Определить частоту, воспринимаемую пассажиром второго электропоезда перед встречей и после встречи поездов. Чему были бы равны соответствующие частоты, если бы пассажир находился на первом электропоезде, а сигнал давал второй? Подводная лодка, погружаясь вертикально, излучает короткие звуковые импульсы сигнала гидролокатора длительностью то в направлении дна. Длительность отраженных сигналов, измеренных гидроакустиком на лодке, равна т. Какова скорость погружения лодки? Скорость звука в воде v, дно горизонтальное. 49 § 10. ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ Две материальные точки массами тп\ и гп^ расположенные на расстоянии г, взаимодействуют с силой где G — гравитационная постоянная. При движении планет вокруг Солнца и спутников вокруг планет (в том числе и искусственных) кубы больших полуосей эллипсов пропорциональны квадратам времен обращения планет (третий закон Кеплера): а\ Ti ’ Первый искусственный спутник Земли имел период обращения 1 ч 36 мин. Считая орбиту спутника круговой, а движение равномерным, определить высоту полета спутника над поверхностью Земли. На какую высоту необходимо запустить искусственный спутник Земли, чтобы с Земли он казался неподвижным, а его орбита была круговой и лежала в плоскости экватора? Радиус Земли R * = 6,37 Мм, а период суточного вращения Т = 24 ч. Какую скорость необходимо сообщить телу, чтобы оно могло удалиться с поверхности Луны в бесконечность? Масса Луны Мл = 7,3-1022 кг, радиус Луны йл = 1,74 Мм. Определить скорость движения Луны вокруг Земли, считая, что Луна движется по круговой орбите. Принять массу Земли равной Mi = 5,96*1024 кг, а расстояние между Луной и Землей R = 384,4 Мм. На каком расстоянии от центра Земли космическая ракета, движущаяся к Луне, будет притягиваться Землей и Луной с одинаковой силой? Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а расстояние между их центрами в 60 раз больше радиуса Земли. С какой скоростью движется вокруг Солнца Земля, если расстояние между ними около 150 Гм, а масса Солнца 97 Ю30 кг? Определить среднюю плотность Земли, если известно, что ее радиус 6,37 Мм, а ускорение свободного падения 9,8 м/с2. Определить массу Земли, если известно, что искусственный спутник, запущенный на высоту 1 Мм, имеет период обращения 106 мин. Вычислить среднюю скорость вращения Луны по орбите, считая среднее расстояние ее от Земли 384 Мм, а массу Земли 5,96 • 1024 кг. Найти вторую космическую скорость, т. е. наименьшее значение скорости, при которой ракета может удалиться от Земли, выйдя за пределы ее поля тяготения. 50 На сколько уменьшится масса тела на вершине Эльбруса ( На какой высоте ускорение силы тяжести вдвое меньше его значения на поверхности Земли? Какое ускорение получает Земля под действием силы притяжения ее Солнцем? Космическая ракета, ставшая искусственной планетой, движется вокруг Солнца с периодом обращения 450 сут. Найти среднее удаление от Солнца искусственной планеты, если известно, что среднее удаление от Солнца планеты Земля 149,5 Гм, а ее период обращения 365 сут 6 ч 9 мин 10 с. Считать орбиты планет круговыми. Чему равна линейная скорость движения Земли вокруг Солнца в перигелии, если наименьшее и наибольшее расстояния от Земли до Солнца соответственно о — 147 Гм и г2 = 152 Гм, а средняя скорость движения Земли по орбите (v) =29,8 км/с? ' Определить работу, которую необходимо совершить, чтобы тело массой 5-10* кг, находящееся на поверхности Земли, отправить в межпланетное пространство. Сопротивлением воз- духа пренебречь. Известно, что по мере увеличения радиуса орбиты скорость искусственного спутника Земли уменьшается. Означает ли это, что при запуске спутника на орбиты большего радиуса двигатели ракеты должны совершать меньшую работу? Почему? Найти давление в центре жидкой планеты, радиус которой R, если образующая ее жидкость несжимаема и имеет плотность р.
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА жүктеу/скачать 3,13 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|