Секция методика преподавания математики

1. 
   Деңжичун. Функцияның қасиетін пайдаланып олимпиадалық есептерді дәлелдеу.// «ZHONGDENGSHUXUE» журналы, қытайша. – 2005. – 3 сан. – 5 б.
   
2. 
   Международные математические олимпиады. – 2004. – 23 б.
   

UDC 517.518.232

If function f has a positive (negative) derivative in each point of some interval it increases (decreases) on this interval. At a finding of intervals of monotony it is necessary to mean, that if function increases (decreases) on an interval (a, b) and is continuous in points a and b it increases (decreases) on a piece [ a, b].

If the point x₀ is a point of an extremum for function f and in this point there is a derivative, f ^/ (x₀) =0. In a point of an extremum function can not have a derivative. Internal points of a range of definition which the derivative is equal to zero or does not exist, refer to critical. To establish, whether function in the given critical point has an extremum, use following sufficient attributes of existence of an extremum.

If function f is continuous in a point x₀ and there are such points a, b, that f ^/ (x₀)> 0 ( f ^/ (x₀) <0) on an interval (a, x₀) and f / (x₀) <0 (f ^/ (x₀)> 0) on an interval (x₀, b) the point x₀ is a point of a maximum (minimum) of function f .

For search of the greatest and least values f on a piece [a, b] it is enough to compare among themselves values f in points a, b and in critical points from a piece [a, b].

These results use at the decision of many elementary problems connected with inequalities.

Let, for example, it is required to prove, that on some interval the inequality f (x) g (x) takes place. We shall designate f (x)-g (x) through F (x). By means of derivative F ^/(x) it is found the least value F on the given interval. If it is not negative , in all points of considered interval F (x) 0, etc. [1-4].

f (x) g (x).

Problem 1. To prove that (e+x)^e-x>(e-x)^e+x for 0

The given inequality equivalently following: (e-x)ln(e+x)>(e+x)ln(e-x).

Let f(x)=(e-x)ln(e+x)-(e+x)ln(e-x),

Then f^/(x)=-ln(e+x)+(e-x)/(e+x)-ln(e-x)+(e+x)/(e-x).

While (e-x)/(e+x)+(e+x)/(e-x)=2(e²+x²)/(e²-x²)>2,

ln(e+x)+ln(e-x)=ln(e²-x²)2=2,

That f ^/ (x)> 0 at 0 0 at 0

Problem 2. To prove the inequality tg^ka+ctg^ka2+k²cos²2a, 0

The decision.

We can write the inequality in the form of: (ctg^k/2a–tg^k/2a)² k²cos²2a.

Let all over again 0 tg a, cos 2a> 0, therefore last inequality is equivalent to an inequality ctg ^k/2a-tg ^k/2a k*cos 2a.

Let's put f (a) =ctgⁿa-tgⁿa-2n*cos 2a, where n=k/2.

Further, f^/(a) = –(n/sin²a)ctg^n-1a – (n/cos²a)tg^n-1a + 4n*sin 2a = – n((ctg^n-1a + tg^n-1a) + (ctgⁿ⁺¹a + tgⁿ⁺¹a) – 4sin 2a)  – n(2-2sin 2a)<0 at 0

Here, as well as in the previous problem, that fact is used, that the sum of mutually return positive numbers more or is equal 2. Thus, on an interval 0

The decision.

For the decision of a problem we investigate a question on existence of decisions of the equation from two unknown persons: a^b=b^a, a> 0, b> 0. We shall exclude a trivial case a=b and for definiteness we shall assume, that a b=b^a is equivalent to the equation

b * (ln a) =a * (ln b), or (ln a)/a = (ln b)/b.

Let f (x) = (ln x)/x (1). Existence of decisions of the equation (1) equivalently to presence of values x₁ and x₂ (x₁ 2) such, that f (x₁) =f (x₂). In this case the pair (x₁, x₂) is the decision of the equation (1). Differently, it is required to find out, whether there will be a straight line y=c, crossing the schedule of function f at least in two various points. For this purpose we investigate function f. Its derivative f ^/ (x) = (1-ln x)/x² in the field of definition f has a unique critical point x=e. At 0 / (x)> 0 function f increases, and at x> e f ^/ (x) <0 function f decreases. Therefore in a point x=e f accepts the greatest value (1/e). As function (ln x)/x is continuous and increases on an interval (0, e] it on this interval accepts all values from - to 1/е. Similarly, on an interval [e, ) function f accepts all values from (0,1/e]. Following statements follow From results of research of function f :

1. If 0 b a. Hence, the equation (1) and the equation equivalent to it a^b=b^a has no decisions.

2. If 1 b a and the equation a^b=b^a also has no decisions.

3. If b> a> e, a^b> b^a.

Thus, if (a, b) is the decision of the equation a^b=b^a, 1 e. Moreover, at each fixed value 1 e such, that a^b=b^a

For the answer to a question of a problem 3 it is enough to put a=e, b= and to take advantage of the statement (1). So, . The problem 3 is solved.

1. 
   Ораз К. Теңсіздіктерді дәлелдеуде туындының қолданылуы / Математика және физика. – 2004. – №6.
   
2. 
   Математикалық талдау (туынды және дифференциал): оқу құралы Әшірбаев Н.Қ., Әшірбаев Қ.А., Сұлтанбек Т.С., Қаратаев Ж. // Шымкент 2008.
   
3. 
   Дорофеев Г.М. Применение производных при решении задач в школьном курсе математики // Математика в школе. – 1980. – №5 – с. 12-21, №6 – С. 24-30.
   
4. 
   Марон И.А. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах (функции одной переменной): учебное пособие – М., 1973. – 400 с.
   
5. 
   «Алгебра және анализ бастамалары» 10-сынып Шыныбеков Ә.Н. – Атамұра, 2006.
   
6. 
   «Teaching of Mathematics» Kulbir Singh Sidhu. Oxford NY, 2001.
   

УДК 13.00.02

Под задачей с экономическим содержанием (математической задачей с экономическим содержанием) подразумеваем задачу, сформулированную в области экономики, решение которой требует использования математического аппарата. В научной литературе дается определение задач с практическим содержанием, прикладных задач и задач с экономическим содержанием и др.

Под задачей с практическим содержанием (задачей прикладного характера) понимается задача, фабула которой раскрывает приложения математики в смежных учебных дисциплинах, знакомит с ее использованием в организации, технологии и экономике современного производства, в сфере обслуживания, в быту, при выполнении трудовых операций (по И.М. Шапиро).

Под прикладной задачей понимается задача, поставленная вне математики и решаемая математическими средствами (по Н.А. Терешину).

Математическая задача с экономическим содержанием представляет собой частный случай задач с практическим содержанием и прикладных задач. Что касается с экономическим содержанием, то их целесообразно разделить на две группы:

1. 
   задачи с экономическим содержанием, решение которых не требует математического аппарата (Так известно, что для решения задач на прогнозирование существует несколько общеизвестных методов: метод экстраполяции и метода наименьших квадратов, метод экспертных оценок не основывается на использование математического аппарата.);
   
2. 
   задачи с экономическим содержанием, для решения которых необходим математический аппарат.
   

Перед решением задачи целесообразно пояснить учащимся понятие о нахождении процентного отношения чисел, нахождение процентов данного числа, сложного процента, понятие рентабельности, себестоимости, затрат, производительности труда, фондоотдачи, материалоотдачи.

Процент – одна из самых трудных тем для школьников. Это можно объяснить, в частности, тем, что понятие процента не является математическим, а относится к экономическим и производственным категориям. Задачи на вычисление сложных процентов имеют особое экономическое содержание, посредством которого определяется уровень риска в процессе принятия решений по оптимизации производства; определению направления вложения ресурсов и т.д.

Только войдя в курс дела, привыкнув к новым словам, ученик может понять, почему получается такое несоответствие: если число х увеличить на число у, а затем полученный результат уменьшить на у, то снова получится х, но если число х увеличить на 10%, а затем полученный результат уменьшить на 10%, то получится не х, а 0,99х. Процент в экономическом понимании характеризует уровень выполнения задания.

Задачи линейного программирования широко используются в обосновании принимаемых хозяйственных решений, направленных на выбор оптимального варианта в отношении производительности труда; объема производства; рентабельности производства и т.д.

Оптимизационные задачи используются для выбора оптимальных экономических решений в ходе реализации программы, на основе определения благоприятного варианта перераспределения ресурсов.

Использование математического аппарата во взаимосвязи с конкретными экономическими проблемами, а также использование знаний организации информационных процессов обработки экономической информации позволяет:

- повысить восприятие учащимися информационного содержания экономических понятий;

- сформировать навыки умения решений экономических задач;

- развить элементы экономического мышления на основе математического аппарата и информационных технологий обработки экономической информации.

Отметим, что главными факторами воспитания экономической грамотности учащихся являются:

а) выяснение содержания экономических понятий и установление их логических связей;

б) умение проводить теоретический экономический анализ экономических ситуаций;

в) умение проводить количественный экономико – математический анализ экономических явлений.

Я считаю, что элементарные экономические знания позволят молодежи понять роль и права человека в обществе, готовят учеников к адекватному восприятию общества и производства, помогают им определить для себя сферу деятельности, профессию в будущем.
Литература

1. 
   9-11 класс «Менеджмент и экономическое моделирование». – Изд. ОФ «Джуниор Эчивмент Казахстан». – С. 24-39.
   
2. 
   Бизнес-карьера: Основы экономики: Учебное пособие для учащихся 8-го класса/ Центр альтернативного образования «Достижения молодых»; под ред. Т.Стекольниковой. – Алматы, 2005. – 88 с.
   
3. 
   Шапиро И.М. Использование задач с практическим содержанием. – Москва: Просвещение, 1990. – С. 5- 48.
   
4. 
   Терешин Н.А. Прикладная направленность школьного курса математики. 1990. – С. 16-35.
   
5. 
   Программа «Основы экономики и финансовой грамотности» от 18.08.2009.– №184.
   

УДК 13.00.02

Развитие финансовой грамотности в школьном возрасте помогает приобрести навыки, для ориентации в современном рыночном мире. Обучение школьников рыночным навыкам поведения должно быть ориентировано на активное использование деятельностного подхода к обучению учащихся. Основа обучения - это участие самих школьников в процессе приобретения информации. Желательно использование развивающих и творческих заданий, викторин, игр, дискуссий, кейсов, которые способствуют формированию устойчивого интереса к предмету, успешному интеллектуальному развитию и формированию положительной мотивации к учению.

Вот некоторые виды интенсивных технологий развивающего обучения, используемых на уроках по формированию рыночных навыков поведения.

1. Активная учебная лекция для школьников. Обычно проводятся, активизируя процесс обучения, когда в процессе чтения лекции можно прервать лекцию вопросами, анализом кейсов или фрагментов дискуссии. С этой целью используются всевозможные иллюстративные средства, например: аудио- и видеоматериалы, фрагменты кино или изображения основных тезисов на флип-чарте, демонстрацию слайдов.

2. Информационный лабиринт. Школьникам необходимо изучить определенную ситуацию и в различных пунктах выбрать одно из множества альтернативных действий, другими словами, пройти своеобразный лабиринт.

3. Технологии анализа ситуации для активного обучения – проведение занятия в виде ситуационного упражнения с целью получения прогнозируемых результатов. Такая работа в группе позволяет усвоить знания и приобрести навыки и умения практически решать сложные математические задачи, рассматривать разнообразные возможности и подходы к решению проблем и адаптироваться к разным типам людей, участвующих в принятии решений.

4. Традиционный анализ конкретных ситуаций. Это творческий подход к разрешению практической ситуации. Разновидностями этого метода являются методы ситуационного упражнения, метод ситуационного анализа и метод «инцидента»: а) метод ситуационных упражнений. Школьник должен осуществить какие-либо процедуры, связанные с аналитической деятельностью: систематизировать проблемы, ранжировать их, произвести расчеты, осуществить сравнительные действия и т.д. – и только затем принимать решение. Цель – усвоение знаний и приобретение профессиональных навыков и умений на основе деятельности в условиях, приближенных к реальной практике; б) метод ситуационного обучения – это конструирование дизайнов единичных и множественных случаев.

5. Метод «инцидента» – это случай, происшествие, столкновение, обычно неприятного характера. Цель его – поиск информации для принятия решения самим обучаемым и обучение его поиску необходимой информации: ее сбору, систематизации и анализу.

6. Метод проигрывания ролей (инсценировки) – состоит в том, чтобы воссоздать перед аудиторией правдивую социально-экономическую ситуацию и затем дать возможность оценить поступки и поведение участников игры – исполнителей.

7. Мозговые штурмы. Это метод психологической активизации коллективной творческой деятельности. Сущность этого метода – упорядочение, повышение организованности и рационализации творческого процесса.

8. Эвристические техники интенсивного генерирования идей. Метод коллективного принятия решения, базируется на принципе системного анализа новых связей и отношений, и которые проявляются в процессе матричного анализа изучаемой проблемы. Суть заключается в том, чтобы в процессе обсуждения проблемы сначала выделить ее главные характеристики, выстраивая как на «оси». На каждую из них затем мысленно «нанизывают» всевозможные комбинации «элементов». В поле зрения при этом, как правило, попадают самые неожиданные варианты, которые иначе и не придумаешь.

9. Техника ликвидации тупиковых ситуаций. Цель метода – найти новые направления поиска, если очевидная область поиска не дала приемлемого решения.

10. Комплексные технологии активного обучения. Это групповые дискуссии, свободные дискуссии, программированные дискуссии, межгрупповые дискуссии, мастер-класс, творческая мастерская.

Рассмотрим фрагмент урока на применение активных форм обучения.

Тема «Инвестиции. Источники и методы финансирования».

Цели урока: Формирование у учащихся понятия об инвестициях, источниках и методах финансирования инвестиций, использовать полученные ранее знания при изучении нового материала. Развитие навыков работы с источниками информации, умения анализировать и делать выводы, развитие умения коллективно решать задачи.

Ход урока:

1. 
   Организационный момент.
   
2. 
   Актуализация знаний. (Даем определение «Инвестиции», «Сбережения»).
   
3. 
   Формирование знаний. (Задание на использование активных форм обучения).
   

4. 
   Изучение источников и методов финансирования.
   
5. 
   Рефлексия.
   

Главной задачей является создание условий для самореализации и саморазвития личности. Важно при этом использование технологий, способствующих творческому обучению и воспитанию такой личности, которая будет строить свою жизнь на принципах самореализации и саморазвития.

1. 
   Пути реализации экономической независимости РК. Маркетинг и инфраструктура в Казахстане: Проблемы становления. 1994.
   
2. 
   Кузина, О.Е. Финансовая грамотность молодежи О.Е. Кузина. Мониторинг общественного мнения. – 2009. – №4. – С.157-177.
   
3. 
   Дробышев М. На пути к стандартизации экономического образования. Школьный экономический журнал. 1996.
   
4. 
   Райзберг В. Экономике учить и учиться. Народное образование. 1992.
   

ӘӨЖ 51: 37.012.85(045)

Оқушыларды математика пәніне қызығушылығын арттыру негізінде олардың логикалық ойлау қабілетін қалыптастыру арқылы базалық бағдарламаларды игеруі мен өзіндік дамуға бағытталуы математикадан білім берудің негізі болып табылады. Бұл өз кезегінде жаңа ақпараттық технологиялар мен әдістемелік құрылымдарға сүйенеді, осының көмегімен математикалық ойлауды қалыптастыру, математикалық логикалық бағытты қалыптастыру, дарынды оқушыларды тереңдетіп оқытуды қамтамасыз ету, математикалық дүние танымды қалыптастыру, математиканы ұнатпайтын оқушыларды математикаға қызықтыру, оқушылардың жалпы білімдік сапасы жоғарылату. т.б [1].

Білім беру жүйесін тез қарқынмен ақпараттандыру қажеттілігі мына факторлармен түсіндіріледі:

- сабақтарды өткізуде әртүрлі жаңа ақпараттық технологияны қолдану керек;

- жобалау және зерттеу жұмыстарын орындауда оқушылардың жеке творчестволық қабілеттілігін және танымдық белсенділігін жетілдіру керек;

- оқушылардың өзі бетінше жұмыстану және шығармашылық қабілетін тәрбиелеу керек;

- ақпараттық технологияны оқыту нәтижесінде сапаны бақылау және бағалау құралы ретінде қолдану керек;

- оқушылардың ақпараттық құзыреттілігін қалыптастыру керек;

- оқушылардың басқа пәндерді оқытуда да компьютерді қолдануға үйрету керек.

Білім беруді ақпараттандыру – оқытушылар мен оқушыларға қатысты кешенді, еңбекті қажет ететін күрделі, көп жоспарлы үрдіс. Ол білім беру жүйесінде ақпараттық - коммуникациялық технологияларды (АКТ), пәндерді оқытуда ақпараттық технологияны игеру, интеграцияланған сабақты және жобалау-зерттеу қызметтерін өңдеу, Интернет - Білім желісін белсенді пайдалану.

Ақпараттық технологиялар қоғамның ажырамас бөлігі бола бастады және бүтін білім беру жүйесінде ықпалы үлкен болып тұр. Өз бетінше жұмыстану қабілеттілігі, олардың потенциалдық мүмкіндіктерін дамыту, оқушымен ұтымды шарттар жасау үшін жаңа ақпараттық технологиялар немесе компьютер қолдану өте тиімді.

Оларды білім беру үрдісінде қолдану сабақтар өткізуде мынадай мүмкіндіктер береді:

- жоғары эстетикалық және қызу деңгейде (музыка, анимация);

- көрнекілікті қамтамасыз етеді;

- дидактикалық материалдардың көптігі тартымдылық танытады;

- сабақта атқарылатын жұмыстардың көлемі жоғарылайды;

- саралаудың биік дәрежесі қамтамасыз етіледі (әртүрлі деңгейлік тапсырмаларды пайдаланып оқушыны жеке тұрғыда оқыту) .

Математиканы оқып үйренуде АКТ қолданудың өзі барлық жағынан ақтап жатыр:

- білім беру сапасы жоғарылады;

- оқушыларды жан-жақты, әсіресе ойлау қабілетін дамытады;

- қиындықтарды жеңуге, қуана білуге көмектеседі;

- оқу үрдісінде «оқытушы – оқушылар» және олардың бірігіп жұмыс жасауда жақсы түсінісу үшін қолайлы шарттар туғызылады.

Осы технологияны қолдану барысында мынадай жағдайлар туындайды:

- оқушылардың дүние танымдық қызметтері артады;

- ойлау және математикалық логикаларды дамытады;

- оқушылардың іздену және зерттеу кезіндегі ойлағыштық қызметтерін арттырады.

Сондықтан, осы аталған тұжырымдамалар бiлiм беру саласында ақпараттық - коммуникациялық технологияларды кеңінен қолдануға рұқсат бередi. Ғылымда жеңіл жол жоқ. Бірақ көпшілік жас өспірімдер математиканы оқу үшін, барлық қажетті мүмкіндіктерді қолдануы қажет.

Жүргізілген зерттеулер бойынша, оқушы жадында: естіген материалдардың -25%, көрген -33%, көрген және естіген -50%, ал егер оқыту барысында белсенді қатысқандардың - 75% материал қалады екен [2].

Компьютердің көмегімен шешуге болатын әдістемелік және педагогикалық есептердің аумағы кең. Компьютер - әмбебап құрал, білімді тексеруге және бағалауға, есептеулерге, калькуляторға, тренажерге, бөлшектерді пішіндеуге қолдануға болады, – бұл тамаша электрондық тақта!!!Компьютер көмегімен оқушыларды даралап оқыту мәселесі шешіледі. Оқытушыға сабақ түсіндіру кезінде жай қабылдайтын оқушылар сұрақ беруге қымсынып жатыр. Компьютерді қолдану оларға өте ыңғайлы, өзі үшін материалды бірнеше рет қайталай алады және оны меңгеру дәрежесін тексере алады. Компьютер мәліметтерді ұсыну мүмкіндіктерін едәуір кеңейтеді. Қазіргі бейне - техниканың көмегімен түстің, кестенің, мультипликацияның, дыбыстың, барлығын пайдаланып, объектіні нақтылауға мүмкіндік береді [3].

Қазақстан Республикасының «Білім туралы» заңында еліміздегі білім беру жүйесінің басты мақсаттарының бірі – кәсіби шыңдауға бағытталған білім алу үшін қажетті жағдайлар жасау, оқытудың жаңа технологияларын енгізу, білім беруді толықтай ақпараттандыру, оқытудың жаңа технологиясын енгізу, халықаралық ғаламдық коммуникациялық желіге шығу [4].