Т оптимизация әдістері пәнінен практикум

Берілген СП есебін симплекс әдісімен шешу

F=2X₁+X₂+X₄→max

X₁+X₂+X₃+X₄=2

X₁-X₂-X₃=0

X₁+X₂+2X₃=1

Xj≥0 (j=1,4)
Тапсырма 2

Берілген СП есебін симплекс әдісімен шешу

F=50X₁+40X₂→max

2X₁+5X₂≤20

8X₁+5X₂≤40

5X₁+6X₂≤30

Xj≥0 (j=1,2)
Тапсырма 3

Берілген СП есебін симплекс әдісімен шешу

F=3X₁-2X₂-5Х₄+Х₅→max

2X₁+X₃-Х₄+Х₅≤2

X₁-X₃+2Х₄+Х₅≤3

2X₁+X₃-Х₄+2Х₅≤6

Х₁+Х₄-5Х₅≥8

Xj≥0 (j=1,5)

Берілген СП есебін симплекс әдісімен шешу

F=-X₁+2X₂-Х₃+Х₄→max

2X₁-X₂-Х₃+Х₄≤6

X₁+2X₂+Х₃-Х₄≥8

3X₁-X₃-2Х₃+2Х₄≤10

-Х₁+3Х₂+5Х₃-3Х₄=15

Xj≥0 (j=1,4)

Берілген СП есебін симплекс әдісімен шешу

F=2X₁-6X₂+5Х₅→max

-2X₁+X₂+Х₃+Х₅=20

-X₁-2X₂+Х₄+3Х₅=24

3X₁-X₂-12Х₅+Х₆=18

Xj≥0 (j=1,6)
Бақылау сұрақтары

1. 
   Бастапқы тірек жоспары дегеніміз не?
   
2. 
   Симплекс кестесінде бағыттаушы бағана қалай анықталады?
   
3. 
   Симплекс кестесінде бағыттаушы жол қалай анықталады?
   
4. 
   Симплекс әдісімен сызықты программалау есебінің қысқаша шешу алгоритмін анықтаңыз.
   
5. 
   Қандай жағдайда симплекс әдісімен сызықты программалау есебінің шешімі болмайды?
   
6. 
   Базисты айнымалылар дегеніміз не?
   
7. 
   Симплекс кестесінде шешуші элемент қалай анықталады?
   

1.1. Бастапқы симплекс кестеде Базис бағанасы қай элементтермен толтырылады?

A) базисті айнымалылармен;

B) мақсатты функцияда базисті айнымалылардың алдындағы коэффициенттерімен;

C) шектеулердің оң жағында тұратын бос айнымалылармен;

D) мақсатты функцияның барлық айнымалыларымен;

E) бағыттаушы жолды анықтауға пайдаланатын, міндетті емес бағана.

**********

A) базисті айнымалылармен;

B) мақсатты функцияда базисті айнымалылардың алдындағы коэффициенттерімен;

C) шектеулердің оң жағында тұратын бос айнымалылармен;

D) мақсатты функцияның барлық айнымалыларымен;

E) бағыттаушы жолды анықтауға пайдаланатын, міндетті емес бағана.

**********
1.3. Бастапқы симплекс кестеде В бағанасы қай элементтермен толтырылады?

A) базисті айнымалылармен;

B) мақсатты функцияда базисті айнымалылардың алдындағы коэффициенттерімен;

C) шектеулердің оң жағында тұратын бос айнымалылармен;

D) мақсатты функцияның барлық айнымалыларымен;

E) бағыттаушы жолды анықтауға пайдаланатын, міндетті емес бағана.

**********
1.4. Бастапқы симплекс кестеде Q бағанасы қай элементтермен толтырылады?

A) базисті айнымалылармен;

B) мақсатты функцияда базисті айнымалылардың алдындағы коэффициенттерімен;

C) шектеулердің оң жағында тұратын бос айнымалылармен;

D) мақсатты функцияның барлық айнымалыларымен;

E) бағыттаушы жолды анықтауға пайдаланатын, міндетті емес бағана.

**********
1.5. Бастапқы симплекс кестеде ∆_j жолы қалай аталады?

A) айнымалылар жолы;

B) коэффициенттер жолы;

C) бағалар жолы;

D) базисті айнымалылар жолы;

E) міндетті емес жол.

**********

6. 
   . Негізгі түрде берілген сызықты программалау есебінің бастапқы симплекс кестесін анықтау F=2X₁+3X₂→max, шарттары:
   

Х₁+Х₂+Х₄=150

X_j≥0 (j=1,4)

A)

Базис	Сб	В	2	3	0	0
			Р1	Р2	Р3	Р4
Х3	0	300	1	3	1	0
Х4	0	150	1	1	0	1
∆j=zj-cj		0	-2	-3	0	0

Базис	Сб	В	2	3	0	0
			Р1	Р2	Р3	Р4
Х1	0	300	1	3	1	0
Х2	0	150	1	1	0	1
∆j=zj-cj		0	-2	-3	0	0

Базис	Сб	В	2	3	0	0
			Р1	Р2	Р3	Р4
Х1	0	150	1	1	0	1
Х2	0	300	1	3	1	0
∆j=zj-cj		0	-2	-3	0	0

Базис	Сб	В	2	3	0	0
			Р1	Р2	Р3	Р4
Х3	300	0	1	3	1	0
Х4	150	0	1	1	0	1
∆j=zj-cj		0	-2	-3	0	0

Базис	Сб	В	2	3	0	0
			Р1	Р2	Р3	Р4
Х3	0	300	1	0	1	3
Х4	0	150	0	1	1	1
∆j=zj-cj		0	-2	-3	0	0

Базис	Сб	В	2	3	0	0
			Р1	Р2	Р3	Р4
Х3	0	300	1	3	1	0
Х4	0	150	1	1	0	1
∆j=zj-cj		0	-2	-3	0	0

B) Р₁ бағанасы

C) Р₃ бағанасы

D) Р₃ және Р₄ бағаналары

E) Р₁ және Р₂ бағаналары

**********

Базис	Сб	В	2	3	0	0
			Р1	Р2	Р3	Р4
Х3	0	300	1	3	1	0
Х4	0	150	1	1	0	1
∆j=zj-cj		0	-2	-3	0	0

B) 1

D) -1

**********

Базис	Сб	В	9	10	16	0	0	0
			Р1	Р2	Р3	Р4	Р5	Р6
Х4	0	360	18	15	12	1	0	0
Х5	0	192	6	4	8	0	1	0
Х6	0	180	5	3	3	0	0	1
∆j=zj-cj		0	-9	-10	-16	0	0	0

B) 12

D) 3

**********

10. 
    Негізгі түрде жазылған СП есебінің бастапқы тірек жоспарын анықтау. F=2X₁+3X₂ -Х₄→max, шарттары:
    

3Х₁+2Х₂+Х₃ -3Х₄=18

-Х₁+3Х₂+4Х₄+Х₆=24

X_j≥0 (j=1,6)

A) Х_опор=(18;16;0;0;24;0);

B) Х_опор=(0;0;-18;0;-16;-24);

C) Х_опор=(0;0;18;0;16;24);

D) Х_опор=(18;16;24;0;0;0);

E) Х_опор=(24;16;16;0;0;0).

**********

F=2X₁+3X₂→max, шарттары:

Х₁+3Х₂=300

Х₁+Х₂=150

X_j≥0 (j=1,2)

A) Хопт=(75; 75);

B) Хопт=(-75; -75);

C) Хопт=(75; 0);

D) Хопт=(0; 75);

E) дұрыс жауабы жоқ

**********
1.12. Берілген СП есебін симплекс әдісімен шешу:

F=2X₁+3X₂→max, шарттары:

2Х₁+4Х₂=250

Х₁+Х₂=25

X_j≥0 (j=1,2)

A) Хопт=(25; 0);

B) Хопт=(0; 25);

C) Хопт=(25; 25);

D) Хопт=(-25; -25);

E) дұрыс жауабы жоқ

**********
1.13. Берілген СП есебін симплекс әдісімен шешу:

F=4X₁+5X₂→max, шарттары:

2Х₁+4Х₂=100

Х₁+Х₂=200

X_j≥0 (j=1,2)
A) Хопт=(25; 0);

B) Хопт=(0; 50);

C) Хопт=(50; 0);

D) Хопт=(-50; -25);

E) дұрыс жауабы жоқ

**********

F=2X₁+2X₂→max, шарттары:

2Х₁+4Х₂=35

Х₁+Х₂=50

X_j≥0 (j=1,2)
A) Хопт=(17,5; 0);

B) Хопт=(0; 17,5);

C) Хопт=(17,5; 17,5);

D) Хопт=(-17,5; 0);

E) дұрыс жауабы жоқ

**********

F=3X₁+6X₂→max, шарттары:

2Х₁+4Х₂=40

Х₁+Х₂=100

X_j≥0 (j=1,2)
A) Хопт=(-20; 20);

B) Хопт=(0; 20);

C) Хопт=(20; 0);

D) Хопт=(-20; 0);

E) дұрыс жауабы жоқ

**********

F=2X₁+3X₂→max

3X₁+8X₂≤240

4X₁+5Х₂≤200

9X₁+4Х₂≤360

X_j≥0 (j=1,2)

B) Yопт=(-2/17; 0; 7/17);

C) Yопт=(2/17; -7/17; 0);

D) Yопт=(-2/17; -7/17; 0);

E) дұрыс жауабы жоқ

**********

F=2X₁+X₂+Х₃→min

X₁+X₂+Х₃≥4

X₁-Х₂+Х₃≥2

X_j≥0 (j=1,3)

A) Yопт=(1; 0);

B) Yопт=(-1; 0);

C) Yопт=(1; 1);

D) Yопт=(0; 0);

E) дұрыс жауабы жоқ

**********
1.18. Берілген СП есебін қосалқы симплекс әдісімен шешу:

F=6X₁+9X₂+3Х₃→min

-X₁+2X₂+Х₃≥3

3X₁+Х₂-Х₃≥1

X_j≥0 (j=1,3)

A) Yопт=(4; 0);

B) Yопт=(-4; 0);

C) Yопт=(4; 1);

D) Yопт=(-4; -1);

E) дұрыс жауабы жоқ

**********
1.19. Берілген СП есебін қосалқы симплекс әдісімен шешу:

F=3X₁+X₂+Х₃+Х₄→max

2X₁+X₂+4Х₃+3Х₄≤3

3X₁-Х₂+2Х₃+5Х₄≤1

X_j≥0 (j=1,4)
A) Yопт=(-6/5; -1/5);

B) Yопт=(6/5; -1/5);

C) Yопт=(6/5; 1/5);

D) Yопт=(-6/5; 1/5);

E) дұрыс жауабы жоқ

**********

F=X₁-3X₂-5Х₃-Х₄→max

X₁+4X₂+4Х₃+Х₄=5

X₁+7Х₂+8Х₃+2Х₄=9

X_j≥0 (j=1,4)

A) Yопт=(-3; 0);

B) Yопт=(-3; 2);

C) Yопт=(-3; -2);

D) Yопт=(3; -2);

E) дұрыс жауабы жоқ

**********

Тақырып 2. Сызықты программалауда қосалқы теориясы.
Негізгі ұғымдар
Сызықты программалау есебінің әрбір есебіне оның қосалқы немесе түйіндес есеп деп аталатын басқа бір есеп сәйкес келеді. Осы есептің алғашқысын бастапқы (тура) есеп деп атайды.

Бастапқы есептің түріне қарай симметриялық, симметриялық емес және аралас қосалқы есептердіажыратады.

1. 
   Симметриялық жұп
   

F=c₁x₁+c₂x₂+…c_nx_n→max

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…a_1nx_n≤b₁

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…a_2nx_n≤b₂

…

a_m1x₁+a_m2x₂+…a_mnx_n≤b_m

Y=b₁y₁+b₂y₂+…b_my_m→min

a₁₁y₁+a₁₂y₂+…a_1my_m≥c₁

a₂₁y₁+a₂₂y₂+…a_2my_m≥c₂

…

a_1ny₁+a_2ny₂+…a_mny_n≥c_m

2. 
   Симметриялық емес жұп
   

F=c₁x₁+c₂x₂+…c_nx_n→max

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…a_1nx_n=b₁

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…a_2nx_n=b₂

…

a_m1x₁+a_m2x₂+…a_mnx_n=b_m

Y=b₁y₁+b₂y₂+…b_my_m→min

a₁₁y₁+a₁₂y₂+…a_1my_m≥c₁

a₂₁y₁+a₂₂y₂+…a_2my_m≥c₂

…

a_1ny₁+a_2ny₂+…a_mny_n≥c_m

2 жағдай)

F=c₁x₁+c₂x₂+…c_nx_n→max

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…a_1nx_n≤b₁

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…a_2nx_n≤b₂

…

a_m1x₁+a_m2x₂+…a_mnx_n≤b_m

Y=b₁y₁+b₂y₂+…b_my_m→min

a₁₁y₁+a₁₂y₂+…a_1my_m=c₁

a₂₁y₁+a₂₂y₂+…a_2my_m=c₂

…

a_1ny₁+a_2ny₂+…a_mny_n=c_m

3. 
   Аралас жұп
   

F=c₁x₁+c₂x₂+…c_nx_n→max

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…a_1nx_n≤b₁

…

a_k1x₁+a_k2x₂+…a_knx_n≤b_k

…

a_m1x₁+a_m2x₂+…a_mnx_n=b_m

Y=b₁y₁+b₂y₂+…b_my_m→min

a₁₁y₁+a₁₂y₂+…a_1my_m≥c₁

…

a_1py₁+a_2py₂+…a_mpy_m≥c_p

…

a_1ny₁+a_2ny₂+…a_mny_n≥c_m

Сызықты программалау есебі берілген.

F=2X₁+3X₂→max,

3X₁+8X₂≤240

4X₁+5X₂≤200

9X₁+4X₂≤360

X₁≥0, X₂≥0

Есептің тиімді шешімі белгілі.

Хт=(23,53; 21,18), F=110,6
Шешімі:

Қосалқы есепті анықтаймыз:

Y=240Y₁+200Y₂+360Y₃→min

3Y₁+4Y₂+9Y₃≥2

8Y₁+5Y₂+4Y₃≥3

Y_i≥0, i=1,3

Бірінші қосалқы теоремасына сәйкес, F_max=Y_min=110,6

Екінші қосалқы теоремасын пайдаланамыз: тура есептің тиімді шешімінде Х1 және Х2 айнымалылары теріс емес болғандықтан, қосалқы есептің тиімді шешімінде бірінші және екінші шектеулер теңдіктер ретінде орындалады.

3Y₁+4Y₂+9Y₃=2

8Y₁+5Y₂+4Y₃=3

Хт мәнін тура есептің үшінші шектеуіне енгізіп, яғни 296,49<360, болғандықтан, Y₃=0 деп есептейміз.

Сонымен үш теңсіздіктен тұратын жүйені анықтаймыз:

3Y₁+4Y₂+9Y₃=2

8Y₁+5Y₂+4Y₃=3

Y₃=0

Жүйенің шешімін іздестіреміз, яғни Yт=(2/17; 7/17; 0)

Қосалқы есептің тиімді шешімі табылды.
Өзіндік тапсырмалар

Тапсырма 1

Сызықты программалау есебі берілген.

F=2X₁+X₂ +3X₃→min

2X₁+X₂+X₃≥5

-X₁+X₂ -X₃≥8

2X₁-X₂ -2X₃≥4

X₁≥0, X₂≥0, X₃≥0

Берілген есепке қосалқы есепті анықтап, тиімді шешімін табу.

Сызықты программалау есебі берілген.

F=X₁+7X₂ -5X₃+3X₄→ max

X₁+3X₂-4X₃-5X₄=6

X₁+X₂ -X₃ +X₄=5

X₁≥0, X₂≥0, X₃≥0, X₃≥0

Берілген есепке қосалқы есепті анықтап, тиімді шешімін табу.
Тапсырма 3

Сызықты программалау есебі берілген.

F=2X₁+X₂ +X₃→ min

X₁+X₂+X₃≥4

X₁-X₂ +X₃≥2

X₁≥0, X₂≥0, X₃≥0

Берілген есепке қосалқы есепті анықтап, тиімді шешімін табу.
Тапсырма 4

Сызықты программалау есебі берілген.

F=2X₁+X₂ +3X₃→max

-X₁+3X₂-5X₃=12

2X₁-X₂ +4X₃=24

3X₁+X₂ +X₃=18

X₁≥0, X₂≥0, X₃≥0

Берілген есепке қосалқы есепті анықтау.

Сызықты программалау есебі берілген.

F=4X₁+X₂ -4X₃→max

2X₁-X₂+4X₃≤12

X₁+3X₂ -2X₃=13

2X₁+5X₂ -6X₃≤11

X₁≥0, X₂≥0, X₃≥0

Берілген есепке қосалқы есепті анықтау.

1. 
   Сызықты программалауда қосалқы мәні неде?
   
2. 
   Қосалқы теоремаларын анықтап, дәлелдендер.
   
3. 
   Сызықты программалау есептерінің қайсысы симметриялық, қайсысы аралас түрлеріне жатады?
   
4. 
   Тура есептің тиімді шешімі белгілі болса, қосалқы есептің тиімді шешімін қалай анықтауға болады?
   
5. 
   Қосалқы симплекс әдісінің мәні неде?
   

F=2X₁+3X₂→max

3X₁+8X₂≤240

4X₁+5Х₂≤200

X_j≥0 (j=1,2)

A) S=240Y₁+200Y₂→min;

3Y₁+4Y₂≥2

8Y₁+5Y₂≥3

Yi≥0, i=1,2

B) S=-240Y₁-200Y₂→min;

3Y₁+4Y₂≥2

8Y₁+5Y₂≥3

Yi≥0, i=1,2

C) S=240Y₁+200Y₂→min;

-3Y₁-4Y₂≥2

8Y₁+5Y₂≥3

Yi≥0, i=1,2

D) S=240Y₁+200Y₂→min;

3Y₁+4Y₂≥2

-8Y₁-5Y₂≥3

Yi≥0, i=1,2

E) S=240Y₁+200Y₂→min;

-3Y₁+4Y₂≥2

-8Y₁+5Y₂≥3

Yi≥0, i=1,2

**********

F=2X₁+X₂→max

2X₁+X₂≤5

-X₁+Х₂≤8

X_j≥0 (j=1,2)

A) S=5Y₁+8Y₂→min;

2Y₁-Y₂≥2

Y₁+Y₂≥1

Yi≥0, i=1,2

B) S=-5Y₁-8Y₂→min;

2Y₁-Y₂≥2

Y₁+Y₂≥1

Yi≥0, i=1,2

C) S=5Y₁+8Y₂→min;

-2Y₁+Y₂≥2

Y₁+Y₂≥1

Yi≥0, i=1,2

D) S=5Y₁+8Y₂→min;

2Y₁-Y₂≥2

-Y₁-Y₂≥1

Yi≥0, i=1,2

E) S=-5Y₁+8Y₂→min;

-2Y₁-Y₂≥2

-Y₁+Y₂≥1

Yi≥0, i=1,2

**********

F=2X₁+3X₂→max

3X₁+8X₂≤240

4X₁+5Х₂≤200

9X₁+4Х₂≤360

X_j≥0 (j=1,2)

A) Yопт=(2/17; 7/17; 0);

B) Yопт=(-2/17; 0; 7/17);

C) Yопт=(2/17; -7/17; 0);

D) Yопт=(-2/17; -7/17; 0);

E) дұрыс жауабы жоқ

**********

F=2X₁+X₂+Х₃→min

X₁+X₂+Х₃≥4

X₁-Х₂+Х₃≥2

X_j≥0 (j=1,3)

A) Yопт=(1; 0);

B) Yопт=(-1; 0);

C) Yопт=(1; 1);

D) Yопт=(0; 0);

E) дұрыс жауабы жоқ

**********
1.5. СП есебі берілген. Қосалқы есептің 1 шарты қандай түрге ие болады?

F=2X₁+3X₂→max

3X₁+8X₂≤240

4X₁+5Х₂≤200

9X₁+4Х₂≤360

X_j≥0 (j=1,2)

A) 3Y₁+4Y₂+9Y₃≥2;

B) 8Y₁+5Y₂+4Y₃≥3;

C) 240Y₁+200Y₂+360Y₃≥2;

D) 2Y₁+3Y₂≥3;

E) дұрыс жауабы жоқ

**********

F=2X₁+3X₂→max

3X₁+8X₂≤240

4X₁+5Х₂≤200

9X₁+4Х₂≤360

X_j≥0 (j=1,2)

A) 3Y₁+4Y₂+9Y₃≥2;

B) 8Y₁+5Y₂+4Y₃≥3;

C) 240Y₁+200Y₂+360Y₃≥2;

D) 2Y₁+3Y₂≥3;

E) дұрыс жауабы жоқ

**********

1.7. СП есебі берілген. Қосалқы есептің мақсатты функциясы қандай түрге ие болады?

F=4X₁+5X₂+6Х₃→min

X₁+X₂+Х₃≥5

X₁-Х₂+2Х₃≥3

X₁-Х₂-4Х₃≥-3

X₁-Х₂+8Х₃≥4

X_j≥0 (j=1,3)

A) Y₁+2Y₂-4Y₃+8Y₄→max;

B) Y₁+Y₂+Y₃+Y₄→max;

C) Y₁-Y₂-Y₃-Y₄→max;

D) 5Y₁+3Y₂-3Y₃+4Y₄→max;

E) дұрыс жауабы жоқ

**********
1.8. Қосалқы есептің тиімді шешімі белгілі: У_опт=(0;4;3), Y_max=44. Тура есептің мақсатты функциясы нешеге тең?

A) F_min=44;

B) F_max=44;

C) F_min=4;

D) F_min=3;

E) дұрыс жауабы жоқ

**********
1.9. Қосалқы есептің тиімді шешімі белгілі: У_опт=(0;4;3), Y_max=38. Тура есептің мақсатты функциясы нешеге тең?

A) F_min=0;

B) F_max=4;

C) F_min=38;

D) F_min=3;

E) дұрыс жауабы жоқ

**********
1.10. Қосалқы есептің тиімді шешімі белгілі: У_опт=(0;-4;-3), Y_max=40. Тура есептің мақсатты функциясы нешеге тең?

A) F_min=0;

B) F_max=-4;

C) F_min=40;

D) F_min=-3;

E) дұрыс жауабы жоқ

**********
1.11. СП есебі берілген. Қосалқы есептің 1 шарты қандай түрге ие болады?

F=X₁-X₂-Х₃→max

X₁+X₂+Х₃≤4

X₁-Х₂+X₃≤2

X_j≥0 (j=1,3)
A) Y₁+Y₂≥1;

B) Y₁-Y₂≥-1;

C) Y₁+Y₂≥-1;

D) 4Y₁+2Y₂≥1;

E) дұрыс жауабы жоқ

**********

F=X₁-X₂-Х₃→max

X₁+X₂+Х₃≤4

X₁-Х₂+X₃≤2

X_j≥0 (j=1,3)
A) Y₁+Y₂≥1;

B) Y₁-Y₂≥-1;

C) Y₁+Y₂≥-1;

D) 4Y₁+2Y₂≥1;

E) дұрыс жауабы жоқ

**********

F=X₁-X₂-Х₃→max

X₁+X₂+Х₃≤4

X₁-Х₂+X₃≤2

X_j≥0 (j=1,3)
A) Y₁+Y₂≥1;

B) Y₁-Y₂≥-1;

C) Y₁+Y₂≥-1;

D) 4Y₁+2Y₂≥1;

E) дұрыс жауабы жоқ

**********

F=6X₁+9X₂+3Х₃→min

-X₁+2X₂+Х₃≥3

3X₁+Х₂-X₃≥1

X_j≥0 (j=1,3)
A) 2Y₁+Y₂≤9;

B) -Y₁+3Y₂≤6;

C) Y₁-Y₂≤3;

D) 3Y₁+Y₂≤1;

E) дұрыс жауабы жоқ

**********

F=6X₁+9X₂+3Х₃→min

-X₁+2X₂+Х₃≥3

3X₁+Х₂-X₃≥1

X_j≥0 (j=1,3)
A) 2Y₁+Y₂≤9;

B) -Y₁+3Y₂≤6;

C) Y₁-Y₂≤3;

D) 3Y₁+Y₂≤1;

E) дұрыс жауабы жоқ

**********

F=6X₁+9X₂+3Х₃→min

-X₁+2X₂+Х₃≥3

3X₁+Х₂-X₃≥1

X_j≥0 (j=1,3)
A) 2Y₁+Y₂≤9;

B) -Y₁+3Y₂≤6;

C) Y₁-Y₂≤3;

D) 3Y₁+Y₂≤1;

E) дұрыс жауабы жоқ

**********

F=4X₁+5X₂+6Х₃→min

X₁+X₂+Х₃≥5

X₁-Х₂+2Х₃≥3

X₁-Х₂-4Х₃≥-3

X₁-Х₂+8Х₃≥4

X_j≥0 (j=1,3)
A) Y₁+2Y₂-4Y3+8Y₄≤6;

B) Y₁+Y₂+Y₃+Y₄≤4;

C) Y₁-Y₂-Y₃-Y₄≤5;

D) 5Y₁+3Y₂-3Y₃+4Y₄≤1;

E) дұрыс жауабы жоқ

**********

F=4X₁+5X₂+6Х₃→min

X₁+X₂+Х₃≥5

X₁-Х₂+2Х₃≥3

X₁-Х₂-4Х₃≥-3

X₁-Х₂+8Х₃≥4

X_j≥0 (j=1,3)
A) Y₁+2Y₂-4Y₃+8Y₄≤6;

B) Y₁+Y₂+Y₃+Y₄≤4;

C) Y₁-Y₂-Y₃-Y₄≤5;

D) 5Y₁+3Y₂-3Y₃+4Y₄≤1;

E) дұрыс жауабы жоқ

**********

F=4X₁+5X₂+6Х₃→min

X₁+X₂+Х₃≥5

X₁-Х₂+2Х₃≥3

X₁-Х₂-4Х₃≥-3

X₁-Х₂+8Х₃≥4

X_j≥0 (j=1,3)
A) Y₁+2Y₂-4Y₃+8Y₄≤6;

B) Y₁+Y₂+Y₃+Y₄≤4;

C) Y₁-Y₂-Y₃-Y₄≤5;

D) 5Y₁+3Y₂-3Y₃+4Y₄≤1;

E) дұрыс жауабы жоқ

**********

F=4X₁+5X₂+6Х₃→min

X₁+X₂+Х₃≥5

X₁-Х₂+2Х₃≥3

X₁-Х₂-4Х₃≥-3

X₁-Х₂+8Х₃≥4

X_j≥0 (j=1,3)
A) Y₁+2Y₂-4Y₃+8Y₄→max;

B) Y₁+Y₂+Y₃+Y₄→max;

C) Y₁-Y₂-Y₃-Y₄→max;

D) 5Y₁+3Y₂-3Y₃+4Y₄→max;

E) дұрыс жауабы жоқ

**********

С_ij – тариф. Жүкті A_i пунктінен B_j пуктіне жеткізуге кететін шығын.

a_i – жүктің қоры. A_i пуктінде

b_j – жүкке сұраныс. B_j пунктінде

x_ij – жүк мөлшері. A_i пунктінен B_j пунктіне жеткізетін жүк мөлшері.

Сонда жүк тасымалы туралы есептің математикалық қойылымы мынадай болады:

шарттары

Сызықты программалаудың жүк тасымалдау есебі экономиканың әр түрлі құбылыстары мен процестерді зерттеуге және теориялық ізденістерде кеңімен қолданылады. Әсіресе бұл есептер өнеркәсіп және ауыл шаруашылық өнімдерін тасымалдаудың ұтымды жоспарын анықтау үшін жиі қолданылады.

Егер есептің берілуі бойынша барлық жабдықтаушылардағы (тасымалдаушы) жүк қорларының қосындысы мен тұтынушылардың қажеттіліктерінің (сұраныс) қосындысы тең болатын болса, яғни ∑a_i=∑b_j, онда бұл жүк тасымалдау есебі жабық есеп деп аталады. Егер ∑a_i≠∑b_j, онда жүк тасымалдау есебі ашық деп аталады.

Егер ∑a_i>∑b_j, онда жалған тұтынушы енгізу арқылы ашық жүк тасымалдау есебінен өтуге болады, бұл кезде осы барлық жабдықтаушыдан жасанды тұтынушыға апаратын жүктердің 1 данасына кететін шығын, яғни c_n+1j=0 және керісінше.

Егер ∑a_i<∑b_j, онда жасанды жабдықтау пайда болады, ол тұтынушы жүгінің көлемі a_m+1=∑b_j-∑a_i

Жүк тасымалдау жоспары келесі талаптарға сай болу тиіс:

• 
  тарату пунктерінен жүкті толығымен тасымалдау
  
• 
  әрбір тұтынушының қажеттілігі орындалуы тиіс
  
• 
  жүк тасымалдауға кететін шығындар минималды болу тиіс
  

Бірінші жағдайда толтырылған торы бағананы әрі қарай қарастырмайды. Нәтижесінде есептің шарты жазылған кестеде бір бағананың саны кемиді, бірақ жолдардың саны өзгеріссіз қалады, соның нәтижесінде жіберуші пунттің біреуінде жүктің қоры өзгереді. Екінші жағдайда толтырылған кесте орналасқан бір жолды әрі қарай қарастырмайды, нәтижесінде есептің шарты жазылған кетенің жолдарының саны бірге азаяды да, бағаны өзгермейді.

Осылайша n+m- 2 қадам жасалғаннан кейін шыққан есепте бір ғана жүк қабылдаушы болады. Ал толтырылған тордың саны да біреу ғана болады. Толтырылған бір тордың n+m-1 қадам жасап толтырылғаннан кейін жүк тасымалы туралы есептің тірек жоспары табылады. Қабылдаушы пукттің қажеттілігі, жіберуші пункттің қорына тең болуы мүмкін. Осы жағдайда жолды немесе бағананы уақытша қарстырмаймыз (екеуінің біреуін). Осыған сәйкес жіберуші пунктің қоры немесе берілген қабылдаушы пункттің қажеттіліктері нолге тең деп санауға болады. Осы нолді кезкекті толтырып жатқан торға жазады. Жоғарыда көрсетілген шарттар тірек жоспарының компоненттері тұратын n+m- 1 бос емес торын табуға кепілдеме береді. Тиімді жоспарын табу және соңғысының тиімділігін тексеру бастапқы шарты болып табылады.