Вопрос № Первообразная заданной функции и неопределённый интеграл. Свойства неопределённого интеграла

жүктеу/скачать 13,56 Mb.

бет	8/19
Дата	23.06.2022
өлшемі	13,56 Mb.
	#147036

1 ... 4 5 6 7 8 9 10 11 ... 19

Байланысты:
Mat analiz - FULL

Вопрос № 14. Интегрирование по частям определённого интеграла. Примеры.

П р и м е р ы: 1. .

На вход сглаживающего устройства (интегрирующее звено) поступает сигнал , где – частота помехи (рис. 3). На выходе мы получаем сигнал – определенный интеграл с переменным верхним пределом. Найти сигнал и проанализировать его.

, ( – постоянное).
Рис. 3
Р е ш е н и е. Применяем формулу Ньютона-Лейбница.
– амплитуда колебания уменьшается, действие помехи ослабляется.

Замечание:

Определенный интеграл с переменным верхним пределом вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница, причем на практике переменная интегрирования и верхний предел обозначаются одной буквой.

Вопрос № 13. Замена переменной интегрирования в определённом интеграле. Примеры применения замены переменной интегрирования.

Вопрос № 14. Интегрирование по частям определённого интеграла. Примеры.

Вопрос № 15. Приложения определённого интеграла к некоторым задачам геометрии и механики.

Задача 1 (о вычислении площади криволинейной трапеции).
Пусть непрерывная функция на данном промежутке. Фигура , ограниченная графиком , осью Ox и прямыми , называется криволинейной трапецией, основание трапеции, . Найдем площадь этой фигуры.

Рис.1
Применим следующий метод.

Разобьем на конечное число произвольных частей точками деления и обозначим ,…, ; – частичные или элементарные отрезки.
Проведем через точки деления прямые, параллельные оси Oy, которые разобьют криволинейную трапецию на вертикальных полосок. Ясно, что площадь криволинейной трапеции равна сумме площадей всех полосок (элементарных криволинейных трапеций).
Но вычислить площади этих малых трапеций так же трудно, как и площадь большой. Поэтому мы поступим следующим образом: заменим каждую из малых трапеций прямоугольником с тем же основанием, а за высоту примем .

Получим ступенчатую фигуру, площадь которой

или короче
,
где (сигма) – есть знак суммы (прописная греческая буква). Под знаком стоит выражение, показывающие, какого типа слагаемые суммируются. Символ означает, что суммируются слагаемых при изменении индекса (порядкового номера) от 1 до .
Например,
.
Для площади криволинейной трапеции получаем следующее приближенное равенство
.

Для увеличения точности приближенного равенства надо и все так, что (самый большой).

Поэтому вполне естественно за точное значение площади принять предел площади ступенчатой фигуры, то есть

(1)

Вычисление площади криволинейной трапеции привело нас к вычислению предела.

жүктеу/скачать 13,56 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 ... 4 5 6 7 8 9 10 11 ... 19