Алғашқы математикалық түсініктердің қалыптасу методологиясы

Сан туралы ұғым адамзат мәдениетінің тууымен және оның дамуымен тығыз байланысты. Шынында, егер осы ұғым болмаса, өзіміздің рухани өміріміз бен практикалық қызметімізді тиісті дәрежесінде көрсете алмас едік. Есеп-қисап жүргізу, уақыт пен қашықтықты өлшеу, еңбек нәтижелерінің қорытындыларын есептеп шығару сан ұғымынсыз мүмкін емес. Сан – математика ғылымының іргетасы.

Карл Маркс “А.Вагнердің кітабына ескертпелер” деген еңбегінде: « адамның табиғатқа қатынасы әуел бастан теориялық жолмен емес, практикалық, яғни әрекетке негізделген жолмен басталады», - деп жазған. “Әрбір жануар сияқты, олар да (алғашқы қоғам адамдары да. – О.Ж) ішіп жеуден бастайды, т.б., яғни, қандай болса да бір қатынаста “қалып қоймай”, белсенді әрекет арқылы сыртқы дүниенің белгілі бұйымдарын меңгеруден, сөйтіп өздерінің мұқтаждықтарын қанағаттандырудан бастайды”.

Сан немесе геометриялық фигуралардың математикалық ұғымы, математикалық текстерден едәуір ерте пайда болған. Бізге оңай болып көрінген сан және геометриялық фигуралар ұғымы негізінде абстрактілі ұғымдар болған. Бірақ өте ұзақ және тиянақты ойлау жұмыстарын кейін бұл ұғымдар қалыптасты.

2 және 5 сандарының жалпы ұғымынан бұрын 2 қол және 5 саусақ ұғымы пайда болған. Алғашқы қауымдық құрылыс аңшылары өздерінің иттерінің түгел екенін санап білген жоқ, жай ғана көзінің ұшқырлығымен қай иттің жоқ екенін анықтай алған. Мұндай «сезімдік есеп» сонымен қатар өзінің балапандарының санын біле алмайтын үйрекке де тән қасиет және бұл негізгі санақтан бұрын пайда болған. Негізгі санақтың пайда болуындағы алғашқы қадамның бірі: саналатын заттар мен берілген заттар жиынындағы «өзара бірмәнділік», сәйкестік.

Салыстыратын заттардың жиыны алдын ала белгісіз болуы мүмкін. Алмастыру кезінде алғашқы қауымдық құрылыс адамдары ауыстырылатын заттарды екі қатарға қойып, өзара бірмәнділікке келтірген. Содан кейін қолдың 5 саусағы сияқты немесе басқа да арнаулы таяқшалар мен тастар секілді санақ эталондары пайда бола бастады. Нақты бір санды анықтайтын эталондар жиынының пайда болуы сан ұғымының пайда болуына әкелді. Мұндай эталондар табиғи болды, яғни адам айдың біреу екендігін, адамда 2 қол, 2 аяқ, 5 саусақ бар екенін білетін. Сондықтан 1, 2, 5 сандарын осындай салыстырулармен көрсету таңқаларлық жайт емес. Санақ үшін өте тиімді эталондар қолдың саусақтары болды. Сондықтан болар, абипондар тайпаларында 5 деген – «бір қол», 10 деген – «2 қол», 20 деген – «қол және аяқ» деген ұғымдар пайдаланылды.

Қазір Европа мен Азия да сан ұғымының қай уақытта пайда болғанын зерттеп жатыр. Тілдері ұқсас халықтардың кейбір сандарды атауында ұқсастықтардың болатынын көруге болады. Мысалға: орыстың «один», немістің «ЕІНС», ағылшынның «Уан», француздың «Ун», латынның «унус». үнді Европа халықтарының сандарының аталуының ұқсастығынан, сандардың аталуы ерте уақытта пайда болғанын және олар бір тілде сөйлегенін көре аламыз. Сонымен қатар ертедегі француздар, грузиндер 10-дық санақ системасымен емес 20-лық санақ системасымен санаған. Мысалы: грузиндер – 10 – ати, 20 – оци, 30 - оцдаати (20+10), 40 – ормоци (20·2), 50 – ормоцдаати (20·2 +10) тағы сол сияқты.

2. Нақты геометриялық фигуралармен адам еңбек еткенде, еңбек құралдарын жасауда, жерді өңдегенде және үй ғимараттарын салғанда кездескен. Өте ерте кезде дөңгелек, төртбұрыш, үшбұрыш, ромб, сегмент формаларында пышақтар мен найзалар жасала бастаған; әдетте жерді төртбұрыш формасы ретінде жыртқан, ал үй ғимараттары конус, цилиндр, параллелипипед, пирамида формасында салынған. Қазіргі геометрияда фигуралардың атаулары грек тілінде. Мысалға, «центр» – centrum (грекше) деген сөзінен, бұл: «ұшы үшкірленген өгіз айдайтын таяқ», - деген ұғымды көрсетеді (алғашында бұл сөз дөңгелек сызатын циркульдің ұшы деген мағынаны берген).

Ромб – грекше «зырылдауық», трапеция – «стол» деген сөздерден пайда болған. Ал призма – «арамен кесілген», конус – «бүршік», сфера – «доп» деген, цилиндр – «каток», пирамида – «пурама» деген сөздерден шыққан. Ал сызық – деген сөз латынша «зығыр» деген сөз, нүкте – «шұқу, түрту» деген сөзден шыққан. Бұл мысалдар алғашқыда геометрияда геометриялық эталондардың болғанын дәлелдейді.