«Задачи на приложения производной как средство реализации межпредметных связей в курсе алгебры и начал математического анализа общеобразовательной школы»

16 
учитывать тот факт, что они выступают как фактор формирования содержания 
и структуры учебной дисциплины «Алгебра и начала анализа». 
«Алгебра и начала анализа» является частью математического анализа, 
которая отличается от данной науки как объемом и методами изложения, так 
и конкретной прикладной направленностью изучаемых вопросов. Поэтому 
есть определенная сложность в адаптации учебного материала, в сторону 
«упрощения», без потери научной строгости, а также демонстрацией 
применения изученных понятий в практической деятельности человека, 
доступных для понимания учащихся. 
Для выявления межпредметных связей, которые возникают между 
математикой и другой смежной дисциплиной, необходимо назвать основные 
компоненты: 
– «знания и умения, которые школьник получает в процессе изучения 
математики, в частности темы «Приложения производной»;
– знания и умения, которые школьник получает при освоении другой 
(смежной) дисциплины;
– умение применять полученные знания в процессе обучения» [37]. 
При выявлении «знаний и умений, получаемых школьником в процессе 
изучения темы «Применение производной» проведём сравнительный анализ 
учебных пособий (таблица 1) [31]. 
Таблица 1 – Сравнительный анализ рассмотрения темы «Применение 
производной» в учебных пособиях 
Авторские коллективы учебных пособий для школы 
С.М. Никольский, МК. Потопов, 
Н.Н. 
Решетников, 
А.В. 
Шевкин[4]. 
А.Г. 
Мордкович, 
С.М. 
Никольский, Н.Я. Виленкин[5]. 
Место 
в 
программе. 
Первое полугодие 11 класса. 
Второе полугодие 10 класса. 

17 
Продолжение таблицы 1 
Математические 
понятия, 
используемые для 
введения понятия 
производной[4]. 
Предел функции, односторонние 
пределы, приращение функции и 
приращение 
аргумента, 
непрерывность.
Числовая последовательность,
предел 
последовательности, 
геометрическая 
прогрессия, 
предел функции; приращение 
функции 
и 
приращение 
аргумента; 
касательная 
к 
произвольной плоской кривой.
Математические 
правила 
и 
алгоритмы 
используемые для 
введения понятия 
производной. 
Свойства пределов функции. 
Алгоритмы вычисления пределов 
не сформулированы в явном виде. 
«Способы задания и свойства 
числовой последовательности; 
свойства 
сходящихся 
последовательностей. Правила 
для 
вычисления 
пределов 
числовой последовательности, 
функции» [64]. 
Методические 
особенности 
определения 
«производной» 
функции. 
«Представляются решения трех 
различных задач (о скорости 
движения, касательной к графику 
функции, средней силе тока)» 
[64]. Тем самым обращается 
внимание школьников на явное 
проявление 
межпредметных 
связей 
(внутрипредметная 
с 
геометрией и межпредметная с 
механикой, 
теорией 
электричества). 
Кроме 
того, 
учащийся подводится к мысли, о 
существовании общего метода 
решения таких задач.
Представляются решения двух 
различных задач (о скорости 
движения и касательной к 
графику функции). Тем самым 
обращается 
внимание 
школьников 
на 
явное 
проявление 
межпредметных 
связей 
геометрией 
и 
межпредметная 
связь 
с 
механикой). 
Кроме 
того, 
учащиеся подводятся к идее о 
существовании 
общей 
математической модели таких 
задач.
Математические 
понятия, 
полученные после 
введения понятия 
производной. 
Дифференциал; 
максимум 
и 
минимум функции; локальный 
экстремум.
Дифференцируемая 
функция; 
стационарные и критические 
точки; точки перегиба.
Математическое 
приложение 
производной, 
полученные после 
введения понятия 
производной. 
«Производная 
суммы,
произведения, 
разности 
и 
частного; 
производные 
элементарных 
функций 
и 
сложной функции» [64]. 
«Алгоритм 
нахождения 
производной (даётся в явном 
виде); формулы и правила 
дифференцирования» [64].
Методические 
особенности 
геометрического 
смысла 
производной[38].
После определения производной 
сообщается её геометрический 
смысл. Далее рассматривается 
«применение производной для 
составления 
уравнения 
касательной. 
Алгоритм 
составления 
уравнения 
касательной к графику функции в 
явном виде не сформулирован,
«Именно с геометрического 
смысла и начинается эта тема. 
Представлены графики и полное 
описание. 
Сформулирован 
алгоритм 
составления 
уравнения 
касательной 
к 
графику функции в форме задач 
с решениями [64]. 

18 
Продолжение таблицы 1 
но предъявляется школьнику в 
форме трех задач с решениями 
[64]. 
«Методические 
особенности 
изучения 
применения 
производной при 
исследовании 
функции». 
Показано в решениях задач и 
формулировках 
теорем 
применение 
производной 
к 
нахождению 
возрастания 
и 
убывания 
функции. 
Вопрос 
применения 
производной 
к 
исследованию 
функции 
на 
выпуклость 
и 
вогнутость 
представлен как дополнительный 
материал». 
В учебнике описан алгоритм 
исследования функций.
1. Найти производную функции.
2. Найти стационарные и 
критические точки.
3. 
Определить 
знаки 
производной на получившихся 
промежутках.
4. Опираясь на теоремы сделать 
соответствующие выводы о 
монотонности 
функции 
и 
экстремумах». 
«Методические 
особенности 
изучения 
применения 
производной при 
решении 
прикладных 
задач». 
Приближенные 
вычисления; 
точки максимума и минимума (с 
применением 
в 
алгебре); 
построение графиков. 
Применение 
для 
приближенного 
значения 
числового 
выражения; 
для 
доказательства 
тождеств 
и 
неравенств; 
на 
отыскание 
наибольших и наименьших 
значений величин. 
Проведенный анализ позволил выделить основные знания и умения по 
применению производной, которые обязательно должен был усвоить 
учащийся перед тем, как приступить к решению задач: 
1. Учащиеся обязаны знать, определение «приращение функции
и приращение аргумента. Пусть некоторая произвольная точка 
𝑥
лежит
в окрестности точки 
𝑥
0
. Приращение аргумента в точке х
0
называется 
разностью» [22]:
𝛥𝑥 = 𝑥 − 𝑥
0
. (1) 
«Данное значение обозначается символом Δ. Но, если изменить 
аргумент функции, то, аналогично, и значение функции в этой точке 
𝑥
тоже 
изменится» [22]:
𝛥𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑓(х0) = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥
0
).
(2)

19 
Таким образом, «разность значений функции в точках 
𝑥
и 
𝑥
0 
соответствующих приращению 
∆𝑥
называется приращением функции и 
обозначается» 
∆𝑓(𝑥)
» [22]. 
2. «В задаче о секущей дается геометрическая интерпретация 
приращения функции» [57].
Аргументу дается приращение 
𝛥𝑥
и рассматривается точка Р с 
абсциссой 
(𝑎 + 𝛥𝑥)
. Тогда ордината этой точки 
𝑓(𝑎 + 𝛥х)
. Тогда угловой 
коэффициент секущей МР, т.е. тангенс угла наклона секущей и осью х, равен 
отношению двух приращений 
𝛥𝑓(𝑥)
и 
𝛥𝑥
. Тогда угловой коэффициент 
касательной равен: 
к
кас
= lim
∆х→0
Δу
Δх
.
(3) 
3. Физическая интерпретация приращения функции дается в задаче о 
скорости движения. 
Аргументу 
𝑡
(время) даётся приращение 
𝑡 + 𝛥𝑡
. Тогда путь, пройденный 
точкой за время 
𝛥𝑡
, выражается приращением 
𝑠
: 
𝛥𝑠 = 𝑠(𝑡 + +𝛥𝑡) − 𝑠(𝑡).
А 
средняя скорость за указанный промежуток есть отношение двух приращений 
𝛥𝑠
и 
𝛥𝑡
. Также мгновенная скорость это: 
𝜈(𝑡) = lim
∆𝑡→0
Δs
Δt
.
(4) 
4. Школьники обязательно должны овладеть правильным пониманием 
математической операции дифференцирования, понятием производная и 
правилами дифференцирования.
«Производная функции есть предел отношения приращения функции в 
точке 
𝑥
0
к приращению аргумента в этой точке при стремлении приращения 
аргумента 
∆𝑥
к нулю» [9]:
𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
Δf(x)
Δx
. (5) 

20 
5. Школьники должны знать производные элементарных функций и 
уметь находить производные от их комбинаций, а также уметь находить 
производные от сложных функций. 
Например,
𝑦 = 3𝑥 + 4√𝑥 + 𝑥
4
; 
𝑦 =
𝑥+1
(2𝑥−3)
3
;
𝑦 = ln(2 + cos 𝑥)
; 
𝑦 =
2+3
𝑥
𝑒
𝑥
+2
. 
Итак, мы «изучили основные умения, которыми должны владеть 
учащиеся, прежде чем приступить к решению задач на приложения 
производной» [22].
Отметим, что проведённый анализ содержания темы показал, что 
учащиеся уже на первых уроках по введению понятия подводятся к мысли о 
широком её применении. Выделенные знания и умения позволяют искать 
точки соприкосновения с другими предметами.
Так, например, знания учащихся по теме «Производная и касательная» 
широко используются в естествознании. При этом на наглядно-
геометрических представлениях об этих понятиях возможен переход от 
теории к ее приложениям. Бахтина В.А. отмечает, что «приложение этой темы 
можно разглядеть в изучении методов качественного (графического) анализа 
простейших математических моделей (например, экологических моделей 
динамики развития популяций)»
[11] . 
Проведем сравнительный анализ наличия задачного материала, 
направленного на реализацию межпредметных связей в выбранных выше 
учебных пособиях (таблица 2). 
Таким образом, в учебном пособии первого авторского коллектива 
содержится 51% заданий, которые в той или иной степени раскрывают 
межпредметные связи данной темы, при этом в большей степени 
внутрипредметную связь решения задач на приложения производной 
раскрывают (92%). Во втором пособии межпредметных задач 67%, при этом 

21 
значительную часть составляют задачи на применение геометрического 
смысла производной.
Таблица 2 – Сравнительный анализ реализации межпредметных связей в 
учебных пособиях 
Смежная дисциплина (тема) 
Авторские коллективы учебных пособий для школы 
С.М. 
Никольский, 
МК. 
Потопов, Н.Н. Решетников, 
А.В. Шевкин[4]. 
А.Г. 
Мордкович, 
С.М. 
Никольский, 
Н.Я. 
Виленкин[5]. 
Алгебра 
(уравнения, 
неравенства). 
№№ 2.37*, 2.38*,
№ 45.13-45.15, 46.39, 46.40 
Алгебра 
(последовательность, 
прогрессии). 
№ 5.15 
№№37.1-37.60, 46.50 
Механика 
(равноускоренное, 
прямолинейное, 
равномерное движение). 
№№ 4.1, 4.2, 4.3, 4.10, 5.63-
5.65*,5.98 
№№ 40.1-40.4, 40.15, 40.16, 
46.57 
Геометрия (касательная и 
секущая). 
№№ 4.4, 4.5, 4.11, 5.19-5.36 №№ 41.37-41.47, 41.70, 
42.19-42.21, 42.36, 43.3-
43.66 
Алгебра 
(исследование 
функции). 
№№ 4.69, 5.2-5.16, 5.18, 
5.48-5.61, 5.72-5.90, 5.113-
5.122, 
№№ 37.13-37.17, 44.1-
44.76, 45.1-45.12 
Алгебра 
(приближенные 
вычисления 
значения 
выражения). 
№№ 5.39 – 5.43* 
Алгебра (теория чисел). 
№№5.91, 5.92, 5.124 
№№ 46.41-46.44 
Геометрия 
(периметр, 
площадь фигур). 
№№ 5.93-5.97,5.99-5.101 
№ 43.67, 43.69, 46.45,46.47, 
46.49, 46.53-46.55, 46.58-
46.64 
Строительство.
№ 41.69, 46.46, 46.48,
Далее перед учителем возникает проблема в создании условий для 
реализации межпредметных связей. Для этого учитель имеет возможность 
выбрать один из следующих путей: 
– информационно-рецептивный 
(когда 
учитель 
обращается 
к 
субъективному опыту учащегося, т.е. напоминает им формулы, законы, 
правила или сообщает необходимый материал из смежной дисциплины);

22 
– репродуктивный (когда учитель в совместной деятельности с 
учащимися повторяет, сравнивает и обобщает необходимый теоретический 
материал из курса математики, а из смежной дисциплины такую теорию 
сообщает или повторяет); 
– исследовательский (когда учащийся самостоятельно находит способы 
решения творческих задач при изучении теоретического материала); 
– проблемный (когда перед учащимися ставится такое практическое 
или теоретическое задание, при выполнении которого он должен открыть 
подлежащие усвоению новые знания или действия). 
В исследовании Ардрюхиной М.И. акцентируется внимание на такой 
факт, что математика предоставляет учащимся не только систему предметных 
«знаний и умений, но и рассматривается как средство необходимое в 
повседневной жизни и трудовой деятельности, а так же важным для изучения 
смежных дисциплин» [7]. 
Марко И.Г. отмечает, что «при целенаправленной актуализации 
межпредметных связей на этапе раскрытия содержания тех или иных 
математических понятий и зависимостей предпочтение необходимо отдать 
скорее возможностям обеспечения наглядности, характерным для физики, чем 
строгим формальным выкладкам. В качестве примера, Марко И.Г. 
рассматривает вывод формулы производной функции, основанном на 
заимствовании метода неполной индукции. При этом, как отмечается в 
исследовании, необходимо обратиться к уже имеющимся знаниям и умениям 
учащихся по физике и аргументировать вывод соответствующими примерами 
из этой дисциплины, а может и исходя из жизненного опыта» [38]. 
Также, «понятие предельного перехода успешно складывается на базе 
физического эксперимента, во время которого учащиеся определяют значения 
средних скоростей движения тела за уменьшающиеся промежутки времени, 
тем самым демонстрируется реализация исследовательского пути 
установления межпредметных связей» [6]. 

23 
В своем исследовании Клименкова О.А. [26] исследует возможность 
реализации межпредметных связей через создание факультативного курса. 
Автор ищет решение проблемы реализации двусторонних связей экономики и 
математики на основе общего понятия производной в межпредметном 
факультативном курсе. Например, в экономическом среднем образовании 
термин производная имеет огромное значение для нахождения оптимального 
значения того или иного экономического показателя (наименьшие издержки, 
максимальная прибыль и т.д.). При этом отмечается, что на основе понятия 
термина производной возможно обобщение и систематизация знаний 
учащихся не только по экономике, но и по математике. 
Следовательно, при реализации межпредметных связей появляется 
возможность экономнее по «времени определить структуру учебного плана. 
Все сферы математической науки связаны между собой, поэтому и школьные 
учебные предметы не могут быть изолированы друг от друга. Межпредметные 
связи являются одним из главных условий глубокого и всестороннего 
усвоения основ наук в образовательной организации. Реализация 
межпредметных связей избегает повторения в изучении теоретического 
материала, экономит время и создает благоприятные условия формирования 
общеучебных умений и навыков, помогает установить связи, повышает 
эффективность практической направленности обучения» [26]. 

жүктеу/скачать 1,41 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: