Оқулық ретінде ұсынған Алматы 2012

Компьютермен модельдеу негіздері 
 
 
1
ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ 
БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ 
 
Қ.И. Сәтбаев атындағы 
Қазақ ұлттық техникалық университеті 
 
 
 
 
 
 
Д.Н. Шоқаев 
 
 
КОМПЬЮТЕРМЕН МОДЕЛЬДЕУ НЕГІЗДЕРІ 
 
 
 
 
Қазақстан Республикасы білім және ғылым министрлігі 
оқулық ретінде ұсынған 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Алматы 2012 
 
 
 

Д.Н. Шоқаев 
 
 
2
ЖОК 004.3(075.8) 
Ш 77 
 
Ш77            Шоқаев Д.Н. Компьютермен модельдеу негіздері: Оқулық. 
– Алматы: ҚазҰТУ,  2012. – 211 б.  
Ил. 37. Кесте 4. Әдебиеттер тізімі – 42 атау. 
ISBN 978–601–228–331–0 
 
Ұсынылып  отырған  оқулық  әртүрлі  күрделі  жүйелердегі  процестерді 
компьютермен 
модельдеу 
және 
талдаудың 
негіздері 
мен 
әдістерін, 
математикалық  аппаратты,  типтік  математикалық  сұлбаларды  оқып  үйренуге 
және  компьютермен  модельдеу  мен  талдау  нәтижелерін  әртүрлі  қызмет 
салаларында қолдану тәсілдерін игеруге арналған. 
Оқулық 
“Ақпараттық 
жүйелер”, 
“Есептеу 
техникасы 
және 
бағдарламалық 
қамтамасыз 
ету” 
мамандықтары, 
ақпараттық 
технологияларды  қолдану  және  әртүрлі  процестерді  компьютермен  басқару 
салаларында  мамандандырылатын  басқа  да  студенттер,  магистранттар 
және  докторанттарға  бағытталған.  Сонымен  қатар,  компьютермен 
модельдеуді  өз  жұмысында  қолданатын  инженерлер  және  басқа  да 
мамандарға жаңа ақпарат бере алады. 
 
ЖОК 004.3(075.8) 
 
Пікір жазғандар:  
Тукеев У.А., әл-Фараби атындағы ҚазҰУ «Ақпараттық жүйелер» 
кафедрасының меңгерушісі, техн., ғыл., док., профессор; 
Биттеев Ш.Б., М. Тынышбаев атындағы ҚазККА 
 «Автоматтандыру және басқару» кафедрасының меңгерушісі, 
техн., ғыл., док., профессор; 
Өтепбергенов И.Т., Халықаралық бизнес академиясы 
«Ақпараттық жүйелер» кафедрасының меңгерушісі, техн., 
ғыл., док., профессор; 
Жұрынтаев Ж.З., техн., ғыл., док., Қ.И. Сәтбаев атындағы 
ҚазҰТУ «Есептеу техникасы» кафедрасының профессоры. 
   
Қазақстан  Республикасы  Білім  және  ғылым  министрлігінің 
2012 жылғы жоспары бойынша басылды. 
  
ISBN 978–601–228–331–0                       © Шоқаев Д.Н. 2012 
                                                                            ©  ҚазҰТУ, 2012 
 
 

Компьютермен модельдеу негіздері 
 
 
3
 
 
 
 
АЛҒЫ СӨЗ 
 
Қазіргі  кезде  компьютермен  модельдеу  және  талдау 
имитациялық  модельдерді  қолдануға  негізделген  ақпарат-
танудың қарқынды дамып келе жатқан бағыты болып табылады. 
Экономика,  өнеркәсіп,  экология,  пайдалы  қазбаларды  пайда-
лануда  және  басқа  да  қызмет  ету  салаларында  кеңінен 
қолданылады. 
Ұсынылып  отырған  оқулық  күрделі  жүйелерде  өтетін 
процестерді  компьютермен  модельдеу  принциптері  және  әдіс-
тері, оның математикалық аппараты және типтік математикалық 
сұлбаларын  оқып  үйренуге  және  нақты  мысалдарды  іске 
асыруды  меңгеруге арналған. 
Оқулық  екі  бөлімге  біріктірілген  13  тараудан  тұрады. 
Автордың  күрделі  жүйелердегі  процестерді  модельдеу  және 
оңтайландыру  аясындағы  ғылыми  тәжірибесінің  қорытындысы 
және  Қ.И.  Сәтбаев  атындағы  Қазақ  ұлттық  техникалық 
университетінде  жоғары  курс  студенттеріне  көптеген  жылдар 
бойы дәріс оқу нәтижесінде қалыптасты. 
Бірінші  бөлімде  кездейсоқ  оқиғалар,  шамалар,  процестер, 
ағындарды  имитациялау  әдістерінің  математикалық  аппараты-
ның  жүйеленген  мәтіні  және  оларды  іске  асыру  алгоритмдері 
берілген. 
Екінші  бөлімде  компьютермен  модельдеуді  ұйымдас-
тырудың  әдістемелік  принциптері,  әр  түрлі  күрделі  жүйелерді 
модельдеуде  қолданылатын  типтік  сұлбалар,  сонымен  қатар, 
автор 
және 
оның 
шәкірттерінің 
ғылыми 
зерттеулеріне 
негізделген 
әртүрлі 
күрделі 
объектілерді 
компьютермен 
модельдеудің  нәтижелері келтірілді. 
Оқулық  студенттер,  магистранттар,  докторанттар  және 
компьютерді 
ғылыми 
және 
қолданбалы 
зерттеулерде  
пайдаланатын мамандарға арналған. 

Д.Н. Шоқаев 
 
 
4
Ұсынынылып  отырған  оқулық  Қ.И.  Сәтбаев  атындағы 
Қазақ 
ұлттық 
техникалық 
университетінің 
техникалық 
кибернетика  кафедрасының  оқытушылары  көмегімен  жазылды. 
Автор,  солардың  ішінде  әріптестері  –  техн.  ғыл.  кандидаты      
А.К. 
Жаксыбаева, 
инженер 
Н.Б. 
Құрманғазы, 
магистр                 
Н. Ерғалиевалардың көмегін ерекше атап, өз алғысын білдіреді. 
 
 
Автордан  
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Компьютермен модельдеу негіздері 
 
 
5
 
 
 
 
КІРІСПЕ 
 
1. Модельдеу 
 
Адамзаттың  табиғатты  тану  қабілетінің  дамуы  барысында 
көптеген  перспективті  ғылыми  жолдар  пайда  болды.  Солардың 
негізгілерінің  бірі  –  модельдеу.  Модельдеу  қазіргі  кезде  құбы-
лыстарды, процестерді танудың адамзат қабылдаған құралы болып 
табылады.    Модельдеу  –  күрделі  процестер  мен  құбылыстарды 
зерттеу  үшін  нақты  жүйелердің  өздерін  эксперименттеу  орнына 
олардың модельдерін қарастыруға мүмкіншілік береді. Жүйелердің 
жұмысын  ұйымдастырудың  ақылға  сыйымды  шешімдерін  қабыл-
дау үшін, жүйелердің барлық сипаттамаларын білудің қажеті жоқ, 
көбінесе оның қарапайым, жуықтатылған мүсінін білген жеткілікті. 
Мысалы,  мұнай  қабылдайтын  порттың  жұмысын  талдағанда,  тан-
керлерді, тек оған белгілі мөлшерде мұнайды құйып алатын үлкен 
құмыра  ретінде  қарау  қажет.  Оның  каюталары,  экипажы,  т.б. 
құрал-жабдықтары  бар  кеме  екені  еске  алынбайды.    Сондықтан, 
нақты  объектілер,  олардың  қарапайымдалған,  абстракциялан-
дырылған көріністерімен алмастырылады. Бұл көріністер түпнұсқа 
объектілердегі  құбылыстарды,  олардың  қойылған  мәселелерді 
шешуге маңызды қасиеттерін көрсете алатындай болып таңдалады.  
Осындай қарапайымдалған объект – модель деп аталады. 
Модель  –  нақты  объектінің  немесе  объекті  құрайтын  бөл-
шектердің  өзгеру  заңдарын,  олардың  байланыстарын  бейнелейтін 
құбылыстардың тұрпайыланған аналогы болып саналады. Модель-
ді  құру  және  оны  талдау  –  модельдеу  деп  аталады.  Модельдеу 
барысында  экономика,  өндіріс,  қаржы  салалары,  қызмет  көрсету 
жүйелеріндегі көптеген проблемалардың шешімдері табылады. 
Модельдеуді мына жағдайларда қолдануға болады: 
-  әртүрлі  процестердің  тиімділігін  арттыру  үшін  олардың 
модельдерімен эксперименттеу немесе сандық бағалау жүргізуде; 

Д.Н. Шоқаев 
 
 
6
- жаңа жүйелерді зерттеу, оларды  өзгерту немесе жетілдіру 
құралы ретінде; 
- қолданысқа болашақта енгізілетін жүйелер немесе жұмыс 
шарттарымен персоналды таныстыру құралы ретінде; 
-  жаңа  идеяларды,  жүйелерді  немесе  тәсілдерді  тексеру 
әлде сипаттау үшін; 
-  болашақтағы  процестердің  нәтижелерін  болжау  құралы 
ретінде. 
Модельдеу арқылы жасалған жоспарлар, жобалар, ұсыныс-
тарды қолданар алдында тексеруге, өзгертуге болады. 
 
2. Модельдеу әдістерін жіктеу 
  
Ғылым, 
техника 
және 
экономикада 
қолданылатын 
модельдерді  екі  топқа,  яғни  физикалық  және  математикалық 
модельдер тобына бөлуге болады.  
Физикалық модельдер зерттеліп отырған процестерді, оның 
физикалық  мәнін  сақтай  отырып,  бейнелейді.  Сондықтан, 
физикалық  модель  ретінде,  қарастырылып  отырған  объектіні 
зерттеуге  маңызды  қасиеттерін  сақтайтын,  нақтылы  жүйелер 
қолданылады.  Физикалық  модель  өзінің  түп  нұсқасынан 
көбінесе  өлшемімен  ғана  ерекшеленеді.  Осындай  модельдердің 
бірнеше мысалын келтірейік. 
Планетарийлерде  орнатылған  күн  жүйесінің  моделі    жыл 
мерзімдерінің  өзгеруі,  күн  мен  айдың  тұтылуы  және  т.б. 
астрономиялық  құбылыстарды  бейнелейді.  Белгілі  бір  өнімді 
шығаратын  шағын  лабораториялық  қондырғы  осы  өнімді 
өндіретін өнеркәсіптің моделі ретінде қарастырылады. 
Осы  мысалдардан  физикалық  модельдер  нақтылы  және 
арнайы  болатыны,  айқын  және  сенімді  нәтиже  беретіні  көрініп 
тұр.  Дегенмен,  физикалық  модельдер  эксперименттеуге  икем-
сіздеу келеді, оларды жасау көбінесе қымбатқа түседі. Сондықтан 
бұл модельдерді қолданатын жағдай жиі кездеспейді. 
Оған қарағанда математикалық модельдердің қолдану өрісі 
кеңірек.  Алдымен  математикалық  модельдеу  не  деген  сұраққа 
мына анықтамадан жауап алайық. 

Компьютермен модельдеу негіздері 
 
 
7
1-анықтама.  Математикалық  модельдеу  деп,  берілген 
процестерді  зерттеу  үшін  физикалық  тәні  әртүрлі  болса  да, 
ұқсас  математикалық  өрнектермен  бейнеленетін  құбылыс-
тарды  қарастыру әдісі аталады. 
Мысалы, сызықтық теңдеулер, немесе теңсіздіктер жүйелері 
кәсіпорын әлде транспорт мекемесінің жұмысын жоспарлайтын 
модель  ретінде  қарастырылады.  Өзінің  әмбебаптылығымен 
қолдануға  біршама  жеңілділігі  арқасында  математикалық 
модельдеу әртүрлі зерттеулерде кең пайдаланылады.  
Дегенмен,  соңғы  жылдары  өнеркәсіпті  басқару  саласында 
өте  күрделі  мәселелер  пайда  болуына  байланысты,  мате-
матиканың  классикалық  сұлбаларына  негізделген  модельдер 
көбінесе  дұрыс  нәтиже  бере  алмай  жүр.  Бұл  дағдарыстың 
себептерін  келтіруге  болады.  Қазіргі  заманда  ғалымдар  мен 
инженерлердің  зерттейтін  жүйелері  күрделі  ғана  емес,  сонымен 
қатар  бірімен-бірі  тығыз  байланысып  жатқан  көптеген 
объектілерден  тұратыны  мәлім.  Ал  осындай  жүйелердің  елеулі 
ерекшеліктері бар: 
-  жүйелерді  құрайтын  объектілердің  қарым-қатынастары 
өте шиеленісті болуы; 
- қойылған мәселелердің дұрыс шешімін табу үшін әртүрлі 
кездейсоқ ауытқулардың әсерлерін ескеру керектігі; 
-  осы  жүйелерде  өтетін  процестердің  динамикалық 
қасиеттерінің маңыздылығы. 
Осы  аталған  себептер  математикалық  модельдеудің  жаңа  
имитациялық модельдеу бағытының пайда болуына әкелді. 
2-анықтама.  Имитациялық  модельдеу  деп,  әртүрлі 
объектілер 
мен 
жүйелердегі 
процестерді, 
олардың 
ықтималдылық  қасиеттерін  ескере  отырып,  компьютердің 
көмегімен  бейнелейтін  және  керекті  көрсеткіштерін  анық-
тайтын әдісті атайды. 
Сонымен, имитациялық модельдеу – күрделі және  бірімен-
бірі  тығыз  байланысты  бірнеше  объектілерден  тұратын 
жүйелерді зерттеуге бейімделген әдіс. 

Д.Н. Шоқаев 
 
 
8
Қазіргі  кезде  осы  әдіс  көп  салаларда  әртүрлі  ғылыми  және 
қолданбалы  зерттеулерде  пайдаланылып  жүр.  Солардың  ішінде 
мына салаларды атауға болады: 
-  кәсіпорындардың жұмыс барысының бағдарламасын жасау; 
-  автоматты  телефон  станцияларының  қызмет  көрсету  
жүйелерін жобалау; 
-  көше жүрісін  реттеу; 
-  қойма қорын басқару; 
-  қару-жарақтың қолдану сапасын бағалау; 
-  көпшілікке қызмет көрсету жүйелерін жобалау, т.б. 
 
3. Имитациялық модельдеудің мағынасы мен 
    мүмкіншілігі 
 
Имитациялық  модельдеуге  тағы  бір  анықтама  келтірейік  – 
бұл әртүрлі  күрделі жүйелердің математикалық модельдері мен 
компьютерді 
пайдалану 
арқылы 
эксперимент 
жүргізуге 
бейімделген сандық  әдіс  [1]. 
Бұл  әдісті  қолданудың  негізі  ретінде  компьютер  арқылы 
іске  асырылатын  арнайы  модельдеуші  алгоритм  пайдаланы-
лады.  Осы  алгоритм,  қарастырылып  отырған  күрделі  жүйе 
элементтерінің  күйі,  олардың  бір-бірімен  байланыстары  және 
әртүрлі  кездейсоқ  ауытқулардың  әсерін  ескере  отырып, 
модельдеуге  тиіс.  Осы  әртүрлі  ауытқу  факторларын  бейнелеу 
үшін кездейсоқ сандар қолданылады. 
Осы кездейсоқ сандардың көмегімен  неше түрлі  ықтимал-
дық    заңдылықтарына  бағынышты  кездейсоқ  шамалар,  кездей-
соқ  процестер,  немесе  кездейсоқ  ағындарды  компьютермен 
модельдеуге болады.  
Айта  кететін  тағы  бір  жай,  осы  модельдеуші  алгоритм, 
зерттеліп  отырған  жүйелерде  өтіп  жатқан  процестерді  сипат-
таған кезде, олардың әрбір қарапайым қадамын оның логикалық 
сұлбасына және уақыт тізбегіне  сәйкес бейнелеуі қажет.  
Сонымен,  модельдеуші  алгоритм,  алғашқы  берілген  дерек-
терді  пайдаланып,  зерттеліп  отырған  процестердің    уақыттың 
әртүрлі мезгілдеріндегі жағдайын болжауға мүмкіншілік береді.  

Компьютермен модельдеу негіздері 
 
 
9
Келтірілген мәліметтерден имитациялық модельдеудің күрделі 
жүйелерді зерттеуге бейімделгенін және басқа модельдеу әдістеріне 
қарағанда біраз артықшылықтары бар екенін байқауға болады. 
Имитациялық модельдеудің негізгі артықшылықтарының бірі 
– онымен зерттелетін күрделі жүйелер әр тәнді элементтерден тұра 
алатындығы.  Мысалы,  олардың  бірі  үздіксіз  әрекетті  болса, 
екіншісі дискретті бола алады. Екіншіден, бұл элементтер көптеген 
күрделі мәнді ауытқулардың әсеріне ұшырауы, немесе оларда өтіп 
жатқан  процестер  өте  күрделі  және  шиеленіскен  өрнектермен 
бейнеленуі  де  мүмкін.  Мұндай  модельдеу  ешқандай  арнайы 
құралдар  мен  қондырғылар  жасауды  да  қажет  етпейді.  Тағы  бір 
айта  кететіні  ол  –  имитациялық  модельдеу  кезінде  зерттеліп 
отырған  жүйелердің  бастапқы  шарттары  мен  әртүрлі  пара-
метрлерінің мәндерін оңай өзгертуге болатындығы. 
Имитациялық  модельдеу  басқару  жүйелерін  автомат-
тандыру  барысында  да  өте  кең  қолданылатынын  атап  өтпеуге 
болмайды.  Осындай  модельдеудің  арқасында  қарастырылып 
отырған  процестердің  басқаруға  ыңғайлы  параметрлері  мен 
айнымаларының  мәндерін,  немесе  нұсқау  ақпараттары  ағыны-
ның ең тиімді бағыттарын анықтап, осы деректерді оптимальды 
басқару алгоритмдерін жасау үшін қолдануға болады. 
Имитациялық 
модельдеу 
арқылы 
әртүрлі 
басқару 
принциптерін бағалауға, бірнеше басқару жүйелерінің ішінен ең 
тиімдісін  таңдауға,  осы  жүйелердің  болашақтағы  жұмыс  істеу 
қабілетін болжауға да болады. 
Атап  өтілген  артықшылықтарымен  қатар,  имитациялық 
модельдеудің, басқа да сандық әдістерге тән, елеулі кемшілігі де 
бар.  Ол  осы  әдіспен  алынған  нәтижелердің  бастапқы  берілген 
шарттар  мен  параметрлердің  мәніне  тікелей  байланыстылығы, 
яғни әр алынған нәтиже зерттеліп отырған процестердің алдын-
ала белгіленген бір ғана күйіне сәйкес келетіндігі.  
Алайда,  осы  елеулі  кемшілігіне  қарамастан,  имитациялық 
модельдеу  қазіргі  кезде  күрделі  жүйелерді  зерттейтін  ең 
нәтижелі  әдіс  екені  мәлім.  Ал  біраз  жаңа  жүйелерді  жобалау 
кезінде  имитациялық  модельдеуден  басқа  ешқандай  әдіс  осы 
жүйелердің болашақ уақыттағы жай-күйін болжай алмайды. 

Д.Н. Шоқаев 
 
 
10
4. Имитациялық модельдеудің қарапайым мысалы 
 
Имитациялық  модельдеудің  негізін  дұрыс  түсіну  үшін 
мына қарапайым мысалды талқылайық: жаз айларында көшенің 
бұрышында  қауын-қарбыз  сатушысы  қызмет  көрсетіп  отырсын 
делік.  Оның  1  сағат  ішінде,  мысалы  9.00-дан  10.00-ға  дейінгі 
жұмысын  имитациялық  модельдеу  арқылы  бейнелейік.  Осы 
сатушыдан  қауын-қарбыз  алушы  адамдар  келетін  уақыт 
мезгілдерінің аралығын бірқалыпты үлестірімді кездейсоқ шама 
деп есептейік және осы аралық ретінде 0-ден 10 минутқа дейінгі 
уақыт мөлшерін тағайындайық. Яғни 


10
0,
ap


 болсын. 
Сатушының  әрбір  клиентке  қызмет  көрсету  уақытын  да 
кездейсоқ  шама  деп  есептеп,  оның  шекті  мәндерін  1  мен             
6 минутқа теңейік – 
 
6
1,
кк


.  
Имитациялық  модельдеудің  нәтижесі  ретінде  клиенттердің 
қауын-қарбыз  алуға  жұмсаған  уақытының  орта  шамасын  (күту 
мен  қызмет  көрсету  уақыттарын  қоса)  және  сатушының 
жұмыссыз отыратын уақытының мөлшерін қарастырайық. 
Енді  осы  қарапайым  жүйенің  жұмысын  модельдеуге 
кірісейік.  Ол  үшін,  клиенттердің  келу  мезгілдерінің  тізбегін 
модельдеу әдісін таңдау керек. Әзірше, осы мезгілдерді бейнелеу 
үшін  1-сынып  оқушысының  оқу  құралдары  ішіндегі  1  мен  10-ға 
дейінгі  сандар  жазылған  кішкентай  тақташаларды  алайық.  Егер 
осы  тақташаларды  қораптың  ішінен  таңдамай  бір-бірден  алып 
отырса,  сол  тақташаларда  жазылған  сандарды  клиенттердің 
аралығын бейнелейтін уақыт мөлшері деп есептеуге болады. Ал, 
әрбір  оқушы  баланың  қалтасынан  табылатын  кубикті  жерге 
лақтырып,  жоғарғы  бетінде  жазылған  санды  қарасақ,  1-ден  6-ға 
дейінгі  цифрдің  кездейсоқ  бір  мәнін  көреміз.  Осы  цифр 
сатушының  кезектегі  клиентіне  жұмсаған  уақытын  бейнелесін. 
Екі  операцияны  бірнеше  рет  қайталап,  клиенттердің  келетін 
мезгілінің  аралығын  және  сол  кісілерге  жұмсалған  уақыт 
мөлшерін сипаттайтын екі уақыт тізбегін анықтауға болады.  
1-кестеде  осы  жүйенің  1  сағат  ішіндегі  жұмыс  барысын 
имитациялық модельдеу нәтижесі  келтірілген. Осы деректерден 

Компьютермен модельдеу негіздері 
 
 
11
бір  клиентке  қызмет  көрсетуге  сатушы  жұмсайтын  уақыттың 
орташа мөлшері 
  
.
мин
,83
4
12
13
44




 
 
тең  екені,  ал  сатушының  бос  отырған  мерзімі  бүкіл  жұмыс 
мерзімінің 27 %-ын құрайтыны көрініп тұр.  
Осы  қарапайым  мысалдың  өзінен  әртүрлі  кездейсоқ 
заңдылықтардың  имитациялық  модельдеуде  орны  ерекше  зор 
екені  айқындалып  отыр.  Сондықтан,  осы  оқулықтың  бірінші 
бөлімі  әртүрлі  кездейсоқ  заңдылықтарды  компьютермен 
модельдеу әдістерімен танысуға арналады.  
 
1-кесте 
 
Кли-
ент-
тер 
Клиент- 
тер аралы-
ғының 
мөлшері 
ар

 
Қызмет  
көрсету- 
ге жұмсал-
ған уақыт 
мөлшері 
кк

 
Клиент
-тің 
келген 
мезгілі 
Клиентке 
қызмет 
көрсете 
бастау 
мезгілі 
Клиенттің 
кезекті 
күту 
уақыты 
Клиент-
ке қыз-
мет көр-
сетіп 
болған 
мезгілі 
Сату-
шының 
бос 
отыр-
ған 
уақыты 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
0 
8 
1 
6 
3 
9 
8 
2 
1 
7 
3 
6 
2 
3 
6 
4 
6 
1 
3 
5 
2 
4 
2 
6 
9.00 
9.08 
9.09 
9.15 
9.18 
9.27 
9.35 
9.37 
9.38 
9.45 
9.48 
9.54 
9.00 
9.08 
9.11 
9.17 
9.21 
9.27 
9.35 
9.38 
9.43 
9.45 
9.49 
9.54 
0 
0 
2 
2 
3 
0 
0 
1 
5 
0 
1 
0 
9.02 
9.11 
9.17 
9.21 
9.27 
9.28 
9.38 
9.43 
9.45 
9.49 
9.51 
10.00 
0 
6 
0 
0 
0 
0 
7 
0 
0 
0 
0 
3 
Барлығы 
44 
 
 
14 
 
16 
 
 
 
 

Д.Н. Шоқаев 
 
 
12
1. КЕЗДЕЙСОҚ ЗАҢДЫЛЫҚТАРДЫ МОДЕЛЬДЕУ 
 
1. ЖАЛҒАН КЕЗДЕЙСОҚ САНДАРДЫ МОДЕЛЬДЕУ 
 
1.1.  Жалған кездейсоқ сандар және оларды  
        модельдеу принципі 
 
Күрделі  жүйелерді  имитациялық  модельдеу  әдісімен  зертте-
генде,  кездейсоқ  оқиғалар,  кездейсоқ  шамалар  және  басқа  әртүрлі 
кездейсоқ  процестер  кең    қолданылады.  Осы  кездейсоқ  заңды-
лықтарды  компьютермен  имитациялаудың  әдістері 


1
0 ;
  кесінді 
аралығында  бірқалыпты  үлестірім  заңдылығы  бар  кездейсоқ 
сандардың тізбегін модельдеуге және осы тізбекті функционалдық 
түрлендіруге  негізделген.  Бастапқы,  немесе  базалық  кездейсоқ 
сандардың  тізбегі  ретінде, 


1
0 ;
  кесінді  аралығында  бірқалыпты 
үлестірілген, 

  кездейсоқ  шамасының 
 
j
z
  нақтыламаларының 
тізбегін таңдап алу, келесі екі факторға негізделеді: 
1)  бірқалыпты  үлестірілген  кездейсоқ  сандарды  модельдеу 
проблемасы  ғалымдардың  компьютер  дамуының  алғашқы  күн-
дерінен  бастап  назарын  аударды  да,  олар  кездейсоқ  сандарды 
имитациялаудың көптеген тиімді әдістерін жасады; 
2)  бірқалыпты  үлестірім  кездейсоқ  заңдылықтардың  ең 
қарапайымы  болғандықтан,  оны  оңай  математикалық  түрлен-
діруге болады.  
Кездейсоқ 

 шамасы 


b
,
a
 аралығында бірқалыпты үлес-
тірім заңына бағынады деп есептеу үшін, оның үлестірім тығыз-
дығының  функциясы 


b
,
a
  аралығында  тұрақты  оң  мәнге,  ал 
одан тысқары жерде нөлге тең үздіксіз функциямен сипатталуы 
керек:  







].
b
,
a
[
z
егер
,
],
b
,
a
[
z
егер
),
a
b
/(
)
z
(
f
0
1
 
 
Сонда 

  кездейсоқ  шамасының  тағы  бір  сипаттамасы 
болатын үлестірім функциясының түрі төмендегідей болады: 

Компьютермен модельдеу негіздері 
 
 
13












;
b
z
егер
,
.
 
b
z
a
егер
);
a
b
/(
)
a
z
(
;
a
z
егер
,
)
z
(
F
1
0
 
Математикалық  үміті,  дисперсиясы  және  орта  квадраттық 
ауытқуы сәйкесінше, мынаған тең: 
;
 
/
)
b
a
(
dz
)
z
(
zf
m
b
a
Z




2
 





b
a
z
Z
;
/
)
a
b
(
dz
)
z
(
f
)
m
z
(
12
2
2
2

 
3
2
/
)
a
b
(
Z



. 

  шамасы 
 
1
0;
  аралығында  бірқалыпты  үлестірілген 
жекеленген  жағдайда,  жоғарыда  келтірілген  сипаттамалар 
мынадай болады: 






];
,
[
z
егер
,
];
,
[
z
егер
,
)
z
(
f
1
0
0
1
0
1
 










.
z
егер
,
;
z
егер
,
z
;
z
егер
,
)
z
(
F
1
1
1
0
0
0
 
;
/
m
z
2
1

 
;
/
z
12
1
2


 
.
/
z
3
2
1


 
 
1
0;
  аралығында  бірқалыпты  үлестірілген 

  шамасының 
әртүрлі кездейсоқ заңдылықтарды модельдеудегі маңызды рөлін 
ескере  отырып,  оны  компьютермен  имитациялау  әдістерінің 
бірнешеуін  қарастырайық.  Бұл  әдістердің  барлығы  рекуррентті 
қатынастарға  негізделген  және  тек  қана  жалған  кездейсоқ 
сандарды тудырады. 
Анықтама.  Жалған  кездейсоқ  сандар  деп  кездейсоқ  шама-
ның  математикалық  өрнектер  көмегімен,  дәлірек  айтқанда 
рекурренттік  қатынастар  арқылы,  алынған 
z   нақтылама-
ларын айтады. 

Д.Н. Шоқаев 
 
 
14
z 
z 
0 
1 
Ф(Z) 
1 
0 
Ф(Z) 
1.1-сурет 
1.2-сурет 
Жалған  кездейсоқ  сандардың  ықтималдық  қасиеттерінің 
нағыз  кездейсоқ  сандардың  қасиеттерінен  айырмашылығы  бола-
тыны  айқын.  Сондықтан,    бұл  сандарды  модельдеу  әдістерін 
жасағанда  оларға  қатаң  талаптар  қойылады.  Жақсы  әдістердің 
көмегімен  алынған  кездейсоқ  сандар  тізбегі  бірқалыпты  үлес-
тірілген,  статистикалық  тәуелсіз  және  қайталанбайтын  сандардан 
тұруы  тиіс.  Сонымен  қатар,  бұл  әдістер  тез  жұмыс  істеуі  және 
компьютер  зердесінің  аз  көлемін  пайдалануы  керек.  Көрсетілген 
талаптар  орындалған  жағдайда  ғана  жалған  кездейсоқ  сандардың 
нағыз кездейсоқ сандардан ерекшелігін ескермеуге болады. 
Жалған  кездейсоқ  сандарды  модельдеудің  іс  жүзінде  қол-
данылатын  әдістерінің  көбі,  1-ретті  рекурренттік  қатынастарға 
негізделген мына формуламен байланысты: 
).
Ф(z
z
i
1
i


                                        
(1.1) 
Мұндағы 
0
z   –  берілген  шама.  Бірақ,  бұл  формулаға  біраз 
талаптар,  қойылады.  Шынымен,  (1.1)  рекурренттік  қатынасы 
арқылы  есептелген 
 


z
Ф
,
z
  координатты  нүктелер  (1.1-сурет) 
тіктөртбұрыш  жазықтығында  бірқалыпты  жатпай,  тек  қана 
)
z
(

 қисығының үстіне орналасады. 
Сондықтан,  кез  келген  функцияны  (1.1)  формуласына  қоя 
салып,  жақсы  нәтижеге  жете  алмаймыз.  Демек,  жалған  кездей-
соқ  сандарының  “жақсы”  тізбегін,  графигі  шаршы  жазықтығын 
тығыз  толтыратын  функция  ғана  тудыра  алады.  Мысал  ретінде 
мына функцияны келтіруге болады. (1.2-сурет): 
 
 
 
                                                         
 
 
 
),
gz
(
D
z
n
n

1

Компьютермен модельдеу негіздері 
 
 
15
мұндағы 
D – бөлшектің  ажыратылу операциясы, ал  g
 
– үлкен 
сан  [2].  Көрсетілген  шарт  “жақсы”  жалған  кездейсоқ  сандар 
тізбегін  тудыру  үшін  (1.1)  формула  қажетті,  бірақ  жеткіліксіз. 
Шынында,  алғашқы  кезде 
)
z
(
Ф
  функциясының  түрі  күрделі 
және қиын түсіндірілетіндей етіп таңдалған, мысалы: 
 




,
 
z
D
Ц
)
z
(
Ф
k
k
k
2
2
2
10
10
10


                        
(1.2) 
мұндағы Ц – бүтін бөлігін табу операциясы.  
Бірақ, (1.2) формуласындағы функцияның түрін таңдаудың 
нақтылы  теориясы  болмағандықтан,  бұл  формула  көбінесе 
қолайсыз кездейсоқ сандардың тізбегін туғызып жүрді. Мысалы, 
мұндай  функцияның  көмегімен  алынған  кезекті  сан,  ойламаған 
жерден,  кейде  нөлге  тең  болуы  мүмкін.  Ал,  бұлай  болған 
жағдайда, келесі сандардың бәрі де нөлге теңесетіні ақиқат. Осы 
принциппен  туғызылған  тізбектердің  қайталану  периоды  да 
көбінесе  кішігірім  санмен  сипатталатын  еді.  Сондықтан  XX 
ғасырдың  40-жылдарының  аяғынан  бастап  ғалымдар 
)
z
(
Ф
 
функциясының  түрін  таңдауда  сандар  теориясы  аппаратын 
қолдана  бастады.  Бұл  аппарат  жалған  кездейсоқ  тізбектерінің 
қайталану  периодының  ұзындығын  алдын-ала  білу  мүмкіндігін 
берді және жаңаша алынған кездейсоқ сандардың қажетті сапаға 
ие болуын қамтамасыз етті. 
Жалған  кездейсоқ  сандарды  модельдеудің  кең  таралған 
белгілі  бірнеше  әдістерін  қарастырайық.  Және  алдағы  уақытта 
“жалған  кездейсоқ  сандар”  деудің  орнына  “кездейсоқ  сандар” 
терминін  қолданамыз,  себебі,  төменде  келтірілетін  қолданбалы 
алгоритмдерде  жеткілікті  статистикалық  қасиеттері  бар,  сондық-
тан  кездейсоқ  сандар  тізбегінен  айырмашылығы  –  іс  жүзінде 
байқалмайтын, тізбектерді модельдейді.