1. ҚАтелер теориясы
жүктеу/скачать 1,78 Mb.
|
ЧМ теория
| Теорема. кесіндісінде теңдеуінің жалғыз түбірі бар болсын және осы кесіндінің барлық нүктелерінде туындысы теңсіздігін қанағаттандырсын. Егер сонымен қатар шарты орындалса, онда итерациялық процесс жинақты, ал жуық мәні үшін кесіндісінен кез-келген санды алуға болады.
n-ші жуықтау -ң түбіріне қатысты қателігі мынадай болады: (2.17) мұнда Егер түбірінің дәл мәні жуық мәнінен ε шамаға ауытқиды деп шарт қойсақ, яғни , онда жуық мәндерін немесе (2.18) теңсіздігі орындалғанша есептеу қажет. теңдеуін түріне әр түрлі әдістермен келтіруге болады, бірақ итерация әдісі үшін жоғарыдағы теорема шарттары орындалатындай теңдеуін алу қажет. 13-сурет 14-сурет Осы функциялар графиктерінің қиылысу нүктесінің абсциссасы түбірі (13-сурет) болып табылады. таңдап аламыз және -ді анықтамыз. қисығында жатқан нүктелердің тізбегін арқылы, ал түзуінде жатқан нүктелер тізбегін арқылы белгілейік. нүктесінен түзуімен қиылысқанға дейін Ох осіне параллель түзу жүргіземіз; сонда нүктесін аламыз. Шынында да , себебі , . Бірақ (-тік бұрышты теңбүйірлі, өйткені координаттық бұрыштың биссектрисасы). Демек, . жүргіземіз және жоғарыдағыдай талдау жасап екеніне көз жеткіземіз. 13-суретте жинақты итерациялық процесс бейнеленген. Қисық биссектрисасын абсциссасы болатын М нүктесінде қияды және х>ξ болғанда биссектриса астында орналасады, ал шартын қанағаттандырады. біртіндеп жуықтаулары (екі функция графиктерінің қиылысу нүктелерінің жалпы абсциссалары) монотонды кемиді. Әрбір келесі хn жуықтауы алдыңғы хn-1 жуықтауына қарағанда ақиқат түбірге жақын. А0В1А1В2А2… сынық сызығы «баспалдақ» түрге ие болады. 14-суретте туынды <0, бірақ абсолют шамасы бойынша бірден кіші, яғни . Итерациялық процесс жинақты, бірақ жуықтау түбірдің дәл мәні айналасында ауытқиды А0В1А1В2А2… сынық сызығы «шиыршық» түріне ие болады. 15-сурет 16-сурет Сонымен, егер теңдеуінің ξ түбірінің қайсыбір (а, b) аймағында туындысы тұрақты таңбаға ие болса және теңсіздігі орындалса, сонымен қатар болса, онда (n=1,2,…) ,…, біртіндеп жуықтаулары түбірге қарай монотонды жинақты болады. Дәл сол жағдайда болғанда біртіндеп жуықтаулар ξ түбірінің маңайында ауытқиды. 15-суретте жинақсыз итерациялық процесс көрсетілген. Мұнда . Қисық биссектрисасын М нүктесінде қияды және х>ξ болғанда биссектриса үстінде орналасады. 16-суретте жағдайы үшін жинақсыз итерациялық процесс көрсетілген. «Жуықтаулар» тізбегі ξ түбірінің дәл мәнінен алыстай береді. жүктеу/скачать 1,78 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|