-дәріс. Айнымалы шамалар математикасы дәуірінің сипаттамасы. XVII ғасыр математикасы

1. Г.Галилей мен И.Кеплердің математикалық табыстары.

2. Логарифмдердің пайда болуы.

3. Есептеу құралдары мен әдістері.

4. Аналитикалық геометрияның ашылуы.

Дәрістің қысқаша мазмұны

1. XVI-XVII ғасырлардағы математика ғылымының дамуында атақты италия ғалымы Г.Галилей (1564-1642) мен оның шәкірттерінің еңбектерінің маңызы зор болды. Ғылымда Г.Галилей жаңа астрономияның, қозғалыс туралы ғылымның, жалпы алғанда, эксперименттік физиканың негізін салушы болып саналады. Галилейдің қозғалыс туралы ғылыми тұжырымдары біртіндеп математикаға ене бастады және шамалардың үздіксіз өзгермелілігін түсінуді меңгеруге әсерін тигізді. Бұл жаңа көзқарастар Галилейдің дарынды шәкірттері Э.Торричеллидің, Б.Кавальеридің және В.Вивианидің еңбектерінен көрініс тапты.

Э.Торричелли (1608-1647) атмосфералық қысымды ашушы, сынапты барометрді ойлап табушы ғалым ретінде белгілі.Ол сонымен қатар көрнекті математик, негізгі еңбектері: «Табиғи себептермен құлаған және лақтырылған денелердің қозғалыстары туралы» (1641), «Геометриялық шығармалар» (1644). Бұл еңбектерінде ол геометрияны кинематикамен байланыстыра отырып, сызықты қозғалыстағы нүктенің траекториясы ретінде қарастырған. Бірқатар қисық сызықтарды (парабола, тең бүйірлі гипербола, циклоида, строфоида,логарифмдік спираль, Архимед спиралі,т.б.) зерттеген, математикаға «қоршаушы сызық» ұғымын енгізген, бірқатар қисық сызықтармен шектелген фигуралардың аудандарын, логарифмдік спиральдың ұзындығын,парабола сегментінің ауданын, айналу денелерінің көлемдерін есептеп шығарған. Ол қисық сызықтардың жанамаларының қасиеттерін зерттеуде айта қаларлықтай табыстарға қол жеткізді. Осы зерттеулер кейінірек математиктерді кез келген қисық сызықтың кез келген нүктесінде жанама жүргізу мәселесін шешуге, ал бұл өз кезегінде «туынды» ұғымына алып келді.

Математика мәселелерін механикалық көзқарас тұрғысынан қарастырған тағы бір италия математигі, Болонья университетінің профессоры Б.Кавальери (1592-1647) еді. Ол қазіргі күні интегралдық есептеулердің көмегімен шешілетін мәселелерге қатысты зерттеулер жүргізді. Негізгі еңбектері: «Үздіксіз шамалардың бөлінбейтін бөліктері арқылы жаңа тәсілмен дамытылған геометрия» (1635), «Тригонометрияда, астрономияда, географияда т.с.с. логарифмдерді қолданудың тиімділігін көрсететін жүз есеп» (1639), «Жазық және сфералық немесе сызықтық және логарифмдік тригонометрия» (1643), «Алты геометриялық этюдтер» (1647). Кавальеридің «Бөлінбейтіндер әдісінің» негізгі түйіні математикада Кавальери принципі деп аталады. Оның бұл идеялары Еуропада кеңінен таралды және кейіннен атақты математиктер Б.Паскальға, Дж.Валлиске, И.Ньютонға, Г.Лейбницке тікелей әсер ете отырып, «интеграл» ұғымының пайда болуына алып келді.

Галилейдің тағы бір дарынды шәкірті В.Вивиани (1622-1703) болды. Ол Аполлонийдің «Конустық қималар» атты еңбегінің жоғалып кеткен бесінші кітабының мазмұнын қалпына келтірді. Негізгі еңбектері: «Геометриялық шамалардағы максимумдар мен минимумдар»(1659), «Күмбездерді құрастыру және өлшеу»(1692). Ол - математикаға Вивиани есебі, Вивиани қисығы, Вивиани беті, Вивиани денесі терминдерін енгізуші.

Ұлы неміс астрономы және математигі Иоганн Кеплер (1571-1630) планеталар қозғалысының атақты үш заңын ашты, негізгі астрономиялық еңбектері мыналар: «Жаңа космографиялық зерттеулер немесе космография сыры»(1596), «Вителий еңбектеріне толықтырма»(1604), «Жаңа астрономия» (1609), «Диоптрика»(1611), «Дүние гармониясы»(1619). Бұл еңбектерін жазу барысында ол математикалық есептеулер жүргізумен байланысты көптеген жұмыстар атқарып, осының негізінде «Мыңдаған логарифмдер»(1624), «Рудольф кестелері» (1627) атты еңбектер жазды. Кеплердің ұлы математик ретінде даңқын шығарған еңбегі «Шарап бөшкелерінің стереометриясы»(1615) болып табылады. Мұнда ол көптеген теоремаларды дәлелдеді, айналу денелерінің Архимед қарастырған 5 түрінен басқа 87 түрін анықтап, зерттеді және шексіз аздар анализінің негізін қалады.

2. XVI ғасырда дәлдігі аса жоғары кестелерді құрастыру қолға алына бастады. Мұндай аса күрделі мәселені шотландиялық математик Джон Непер (1550-1617) шеше алды.1614 ж. оның «Логарифмдердің ғажайып кестелеріне сипаттама» атты еңбегі басылып шықты. 1619 жылғы «Логарифмдердің ғажайып кестелерін құрастыру» атты екінші еңбегінде бірінші кітапқа енгізілген логарифмдік кестелердің құрастырылу принципі түсіндірілді.1620 ж. швейцариялық математик И.Бюрги (1552-1612) «Арифметикалық және геометриялық прогрессиялардың кестелері» атты кітабында логарифмдердің осыған ұқсас, бірақ аса жетілдірілмеген кестелерін жариялады.

Непер логарифмдік кестелерді тригонометриялық есептеулер жүргізу үшін құрастырған еді, сондықтан олар басқа есептеулер үшін қолайсыз болды. Бұдан құтылу үшін 1617 ж. ағылшын математигі Г.Бригг (11561-1630) ондық логарифмдер кестелерін жасап, 1624 ж. «Логарифмдік арифметика» атты еңбегін жариялады.

3. XVII ғасырда есептеу аспаптарын жасау белең алды. Осы кезеңде есептеу жұмыстарын жеңілдету мақсатында «Непер таяқшалары» деп аталатын құрал ойлап табылды,оның көмегімен көбейту амалын жеңілдетуге болатын еді. Оксфорд университетінің профессоры Э.Гюнтер (1581-1626) логарифмдік шкала құрастырды. Кейіннен (1662 ж.) осы құралдардың жетілдірілген түрі логарифмдік сызғыш жасалды.

Осы кезеңде техниканың қарыштап дамуы есептеу жұмыстарын оңайлату мақсатындағы механикалық құралдарды жасау қолға алынды. Сондай құралдардың алғашқы нұсқасын 1623 ж. Тюбинген университетінің профессоры Вильгельм Шиккард (?-?) жасады. 1642 ж. Б.Паскаль механикалық есептеу құралы болып табылатын арифмометрді құрастырды, оның сол алғашқы нұсқасы әлі күнге дейін Лувр университетінде сақтаулы. Паскаль арифмометрі арқылы қосу және азайту амалдарын орындауға болады.

Барлық төрт арифметикалық амалды орындай алатындай механикалық есептеу құралын жасауды 1694 жылы атақты неміс ғалымы Г.В.Лейбниц (1646-1716) жүзеге асырды. Алайда Лейбниц арифмометрі өте көлемді болды, оның үстіне жай жұмыс істеді.

4. XVII ғасырда Р.Декарт пен П.Ферманың еңбектерінде аналитикалық геометрияның негізі салынды.

Р. Декарт (1596-1650) - философияда, физикада және геометрияда елеулі табыстарға жетіп, ғылымда үлкен төңкеріс жасаған ғалым. Оның негізгі еңбегі «Әдіс туралы ой-пікірлер» деп аталады. Оның «Геометрия» атты төртінші кітабында ол геометрияны жаңа әдіспен, алгебраны пайдалана отырып, координаталар әдісімен баяндап шыққан. Кітаптың бірінші бөлімінде түзу мен шеңберлерді ғана пайдаланып, шығарылатын есептер келтірілген, екінші бөлімі қисық сызықтардың геометриясына, ал үшінші бөлімі стереометриялық есептерге арналған. Ол осы еңбегінде П.Фермаға тәуелсіз алғаш рет координаталар әдісін жасады, аналитикалық геометрияның негізін салды, математикаға айнымалы шама ұғымын енгізді, алгебралық символиканы жетілдірді.

П.Ферма (1601-1665)–заңгер,математикамен өз бетімен айналысып, үлкен табыстарға жеткен.Негізгі еңбектері аналитикалық геометрияға, сандар теориясына, математикалық анализге және ықтималдықтар теориясына арналған. Ол бар-жоғы 3-ақ мақала жазған: 1) «Жазық және денелік орындардың теориясына кіріспе» (көлемі10 бет); 2) «Жазық және денелік орындардың теориясына кіріспеге қосымша» (көлемі 6 бет); 3) «Шамалардың ең үлкен және ең кіші мәндерін табу әдісі» (көлемі 3 бет). Алдыңғы екі мақалада Декартқа тәуелсіз аналитикалық геометрияның негізі қаланған, 3-мақалада максимум мен минимумдарды табу мәселесі, математикалық анализдегі Ферма теоремасы тұжырымдалған. Оның 1636 жылы Робервальға жазған хатында n=1,2,3 болғандағы dx интегралын есептеп шығару жолы көрсетілген,1644 жылы Кавальериге жазған хатында сол интегралдың n= бөлшегі болғандағы мәнін табу мәселесі баяндалған, ал Паскальдың хатына қайтарған жауабында ықтималдықтар теориясына қатысты бірқатар теоремалар келтірілген. Ферма математикаға атақты Ферма теоремасын ( + = ) ұсынған. Оны 1994 жылы ғана америка математигі Эндрю Уайлс дәлелдеді.