- дәріс. XVII ғасырға дейінгі Еуропа математикасы

1. 
   XIII ғасырға дейінгі Еуропа математикасы
   
2. 
   XIII-XV ғасырлар математикасы
   
3. 
   XV-XVII ғасырлар математикасы:
   

ә)Тригонометрияның дамуы.

б) Үшінші және төртінші дәрежелі теңдеулерді шешу.

в) Жорымал сандардың пайда болуы.

1. Шіркеу көптеген уақыт бойына Еуропада математиканың дамуына кедергі жасап келді. Еуропада X ғасырға дейін математикадан сауаты бар санаулы ғана монахтар болды. Мысалы, сол кезеңде ең оқымысты монах Беда () болды, арифметиканың 4 амалын жетік білгендіктен, оны Еуропада Беда Достопочтенный, «Құрметті Беда» деп атады.Тағы да бір сауатты монах Боэций (480-524) еді. Ол мазмұны аса терең емес «Арифметика негіздері» деген кітап жазды. Бұл монахтардың еңбектерінде қазіргі заманғы цифрлар қолданылған жоқ, олар рим цифрларына немесе гректің алвафиттік нумерациясына негізделіп жазылған еді.

X ғасырда Герберт (940-1003) деген монах (кейіннен Сильвестр ІІ деген атпен Рим папасы болды) «Абакта есептеу ережелері» атты кітап жазды. Ол араб Испаниясында болып, мұсылмандардың математикасын меңгеріп, Еуропада араб цифрларын насихаттаған ең алғашқы оқымысты еді. Қазіргі күні ол кейбір еңбектерін «Мұсылмандардан ұрлап алған» деп айтылады.

ХІ-ХІІ ғ. Еуропада алғашқы университеттер ашыла бастады (Болонья, Сарбонна, Оксфорд, Прагада, Венада, т.с.с.). Мұнда білім алу екі кезеңге бөлінді. І кезең – өнер (дайындық) факультеті, ІІ кезеңде білім алушылар дін, заң немесе медицина факультеттерінің біріне ауысып отырған. Математика өнер факультетінде оқытылған.

1) Тривиум: грамматика, риторика және диалектика;

2) Квадривиум: арифметика, геометрия, астрономия және музыка.

Бірақ мұнда оқытудың діни бағыты күшті болды.

ХІI ғасырдан бастап Еуропада араб цифрларына негізделген мұсылман математиктерінің еңбектері латын тіліне аударыла бастады. Мысалы, осы кезеңде әл-Хорезмидің «Хисаб хинди» атты еңбегі аударылды. Сөйтіп Еуропада араб цифрлары тарала бастады. Бірақ оны жақтаушылар және оған қарсы шығушылар да болды. Араб цифрларын жақтаушылар алгоритмшілер, ал оған қарсы шығушылар абакшылар деп аталды.

2. ХІІІ ғасырда Еуропада алғашқы математиктер шыға бастады. Солардың бірі Леонардо Пизанский (1180-1240) болды. Еңбектері: 1) «Абак туралы кітап»; 2) «Арифметика»; 3) «Іс жүзіндегі геометрия». Бұлар ондық позициялық жүйе негізінде жазылған Еуропадағы алғашқы математикалық еңбектер болып табылады.

Бұл кезеңдегі Еуропа математикасында Иордан Неморарийдің(1237-?) төмендегідей еңбектері елеулі орын алады: «Он кітапта баяндалған математика», «Берілген сандар туралы».

Оның бірінші кітабында алғаш рет сандардың орнына әріптерді пайдалану қолға алынды, яғни мұнда әріп кез келген санның таза арифметикалық символы ретінде пайдаланылды. Ол осылайша белгілеу таңбаларын енгізу арқылы символикалық алгебраны жасауға тырысты.Екінші еңбегі сызықтық және квадрат теңдеулерді шешу мәселелеріне арналған. Ол Л.Пизанскийдің еңбегіне өте ұқсас, қарастырған есептері бірдей, одан артық емес, бірақ кемшіліктері көп.

ХIV ғасыр математиктері арасынан Николь Оремді (1323-1382) атауға болады. Еңбектері: «Сфера туралы трактат» (Аристотель шығармаларының негізінде); «Қатынастар туралы трактат»; «Қатынастар алгоритмі», «Евклид геометриясының мәселелері».

3. ХV-ХVІ ғасырлар ғылымда «Қайта өрлеу дәуірі» деп аталады. Жалпы алғанда, осы кезеңде Еуропа математикасының дамуындағы жоғарыдағы төрт бағытты атап көрсетуге болады.

а) 1489 ж. шыққан Лейпциг университетінің магистрі Ян Видманның (1460 – XVI ғ.басы) «Барлық сауда адамдарына арналған тез және әдемі есеп-қисап» деген еңбегі алғаш рет символикаға мән берілген кітап болып табылады, мұнда алғаш рет «+» және «-» таңбалары қолданылды.Еуропада мұсылман математиктерінің алгебралық еңбектеріндегі белгісіздің «Мүлік» деп аталуы «Коса» деп аударылды. Сондықтан Оңтүстік Германиядан шыққан математиктер ғылымда «Косистер» деп аталады.

Символикалық алгебраны дамытуда әсіресе, италиялық Лука Пачолидің(1445-1514) мынадай еңбектерінің маңызы зор болды: 1) «Арифметика, геометрия, қатынастар және пропорционалдық бойынша білімдер жиынтығы»; 2) «Тәңірлік пропорция». Бұл еңбектерінде ол алгебраны «Коса ережесі» немесе «Ұлы өнер» деп атап, көптеген таңбаларды пайдаланды.

Алгебралық символиканы дамытуға айтарлықтай үлес қосқан Париж университетінің бакалавры Никола Шюке (?-1500 ж. шамасы) болды. Негізгі еңбегі: «Үш бөлімнен тұратын ғылым». Бұл еңбекте рационал және иррационал сандарға, теріс сандарға амалдар қолдану мәселелері баяндалған, символикалық алгебраны дамыту жүзеге асырылған.

Символикалық алгебра Адам Ризенің (1489-1559) еңбектерінде әрі қарай дамытыла түсті, алғаш рет белгісіздердің дәрежелеріне ат қойылды. Мысалы, белгісіз – «со»(нәрсе), түбір – «radix», х²-«quadrat» немесе «census», х³-«сubus», т.с.с. деп аталды.

ХV-ХVІ ғасырларда Еуропада косистердің символикасы мен терминологиясы кеңінен таралды. Бірақ мұнда бірізділік сақталған жоқ. Символикалық алгебраны жүйелі түрде дамытушы француз математигі Ф.Виет (1540-1603) болды. Ол «Анализ өнері» атты еңбегінде арифметикалық амалдарды бірнеше сатыларға бөліп қарастырды. Виет шамаларды алфавиттік әріптермен белгілеуді ұсынды. Белгілілерді – B,C,D,... (дауыссыз дыбыстар); белгісіздерді -A,E,I,... (дауысты дыбыстар) арқылы белгіледі. Осының негізінде Виет теңдеулерді символдармен жаза алды. Мысалы, Виет бойынша x³+3bx=d теңдеуі былай жазылды: Acubus + Bplano3 inA aequari D solido.Мұндағы Acubus белгісіз А-ның кубы дегенді білдіреді, Bplano – «жазық В», aequari- «тең болады», D solido-«D денесі». Виеттің алгебралық символикасы формулалардың қазіргі үлгілерінің пайда болуына әкеліп соқтырды.

Математикалық символиканың дамуында неміс математигі Михель Штифельдің (1486-1567) «Толық арифметика» және «Неміс математикасы» атты еңбектерінің маңызы зор болды.

ә) ХV-ХVІ ғасырларда Еуропада тригонометрия жедел қарқынмен дами бастады. Алғашқыда ол мұсылман математиктерінің тригонометрия саласындағы жетістіктеріне негізделді. 1461 ж. «Әр түрлі үшбұрыштар туралы бес кітап» атты еңбек жарық көрді, оның авторы көрнекті неміс математигі - Иоганн Мюллер (Региомонтан) (1436-1476). Бұл кітап берілген элементтері бойынша жазық және сфералық үшбұрыштарды шешу мәселелеріне арналған. Ф.Виеттің «Математикалық кестелер» (1579) атты еңбегінде алгебраның, геометрияның және сандар теориясының маңызды мәселелерімен қатар тригонометрияға айтарлықтай мән берілді.

Тригонометрияның жедел қарқынмен дамуына әсіресе, астрономия ғылымында алынған жаңа ғылыми жетістіктерге (Н.Коперник,Т.Браге, И.Кеплер) байланысты талаптар қатты әсерін тигізді. 1543 ж. атақты поляк ғалымы Н.Коперниктің (1473-1543) «Аспан дөңгелектерінің айналуы туралы» атты атақты еңбегі басылып шықты, мұнда ол дүниенің жаңа, геоцентрлік жүйесін ұсынды. Оның ғылымды шіркеудің ескі схоластикалық дәстүрлерінен құтқарған ұлы идеялары тригонометрия мен есептеу техникасының дамуына ықпал жасады. 1551 ж. Коперник идеяларын таратушы, поляк ғалымы Ф.Ретиктің (1514-1576) «Үшбұрыштар туралы ғылымның кестелері» атты еңбегі басылып шықты. Оны сәл кейінірек Б.Питиск (1561-1613) толықтырып, «Математикалық кеніштер» деген атпен қайта бастырып шығарды. Осы кезеңде италиялық К.Клавия (1537-1612) тригонометриядан нәтижелі жұмыстар атқарды.

Еуропада жаңа астрономияны жасаушылардың бірі Дания ғалымы Тихо Браге (1546-1601) болды, ол ғылымда Ұлықбектен кейінгі ұлы астроном болып есептеледі. Оның еңбектерінде берілген үш элементі бойынша жазық және сфералық үшбұрыштарды шешудің ережелері келтірілген.

б) Сызықтық және квадрат теңдеулерді шешу мәселесі мұсылман әлемінің математиктерінің еңбектерінде шешілді. Олардың арасында үшінші дәрежелі теңдеулерді шешудің жолдарын іздестірумен айналысқандар да болды. Солардың бірі Омар Хайям еді. Ол кейбір куб теңдеулерді геометриялық әдіспен шешіп көрсетті.

Еуропада бұл салада ең бірінші болып табысқа жеткен Болонья университетінің профессоры Спицион Даль Ферро болды. Ол 1515 ж. теңдеуін шешудің формуласын тапты. Бұл формуланы тағы бір италия математигі Тарталья өз бетімен іздестіріп, тапты. Ол теңдеуінің де шешу жолын тапты, бірақ бұл жаңалығын жарияламай, құпияда ұстады.Осыдан кейін Тартальяны Италияның сол кездегі атақты философы және математигі Джероламо Кардано арнайы іздеп келіп, оның ашқан жаңалығын біліп алуға тырысады. Тарталья алғашқыда көнбейді, бірақ Карданоның бұл құпияны ешкімге жария жасамайтыны туралы уәдесінен кейін1539 ж. ешкім түсінбейтіндей етіп, оған оның «өлең түріндегі алгоритмін» айтып береді. Бұдан сәл кейінірек Карданоның шәкірті Л.Феррари төртінші дәрежелі теңдеуді шешудің жолын табады. Осы кезеңде «Ұлы өнер» атты кітабын баспаға дайындап жүрген Кардано осы жаңалықтардың екеуін де өз кітабына кіргізіп, жариялап жібереді. Қазіргі алгебра оқулықтарында бұл жаңалық «Кардано формуласы» деп аталады.

в) Кейбір жағдайларда куб теңдеулерді Тарталья әдісімен шешу мүмкін болмады, сондықтан бұл жағдай «келтірілмейтін жағдай» деп аталды. Осы қиындықты түсіндіруді тағы бір италия математигі Р. Бомбелли (1526-1572) жүзеге асырды. 1550 ж. ол «Алгебра» атты еңбегін жазып, бітірді. Осы кітабында теріс сандарға анықтама берді және оларға амалдар қолданудың ережелерін тағайындады. Бомбелли теріс саннан алынатын квадрат түбірдің оң сан да, теріс сан да бола алмайтындығын аңғарып, бұл жаңа санды «софистикалық сан» деп атады және оны деп белгіледі. Қазіргі алгебрада біз жорымал бірлікті енгізе отырып, былай дейміз: «Айталық, квадраты -1-ге тең болатын қандай да бір сан бар болсын делік. Бұл сан жорымал бірлік деп аталады және i әрпімен белгіленеді. Яғни = -1, ал бұдан i = .Алайда, Бомбелли бұл жаңа сандардың геометриялық негіздемесін жасай алған жоқ, оларды жасанды символдар ретінде қарастырды, мұны ХІХ ғасырда К.Гаусс жүзеге асырды. Алайда, ол осы сандарды пайдаланып, куб теңдеулердің «келтірілмейтін жағдайларда» да нақты шешімдері болатындығын түсіндіре алды. Бомбелли енгізген жорымал сандар екі ғасыр бойы ыңғайлы символдар ретінде ғана қабылданып келді. ХIХ ғасырдың басында ғана К.Гаусс комплекс сандардың геометриялық түсініктемесін бергеннен кейін ғана бұл жаңа сандар өздерінің «толық азаматтығын» алды деуге болады.