- дәріс. Элементар математика дәуірінің сипаттамасы (IX-XVII ғ.ғ.). Қазіргі заманғы арифметика мен алгебраның пайда болуы

1. Мұсылман халықтарының арифметикасы.

2. Алгебраның дербес ғылымға айналуы.

3. Мұсылман халықтарының геометриясы. Параллель түзулер теориясы.

1. Араб ғылымының алғашқы қарлығашы, Бағдат ма­тематикалық мектебінің негізін салушы Мұхаммед әл-Хорезми Орта Азиядағы Хорезм қаласында туып-өскен. әл-Хорезми VIII ғасырдың 80-жылдары туған деп шамаланады. IX ғасырдың бас кезінде оны обсерваторияға басшылық етуге халиф әл-Мамун Бағдатқа шақыртып алады. «Даналық үйінде» ғылыми педагогикалық қызмет атқарады.

Әл-Хорезмидің ұлы ғалым ретінде даңқын шығарған математикалық мұраларының ішіндегі ең бастылары мына екі кітап: «Китап әл-джәм-уәт тафрик би-хисаб әл-үнді» («Үнді есебі бойынша қосу мен азайту кітабы») және «әл-Китаб әл-мұхтасарфи хисаб әл-джәбр уәл-мүкәбәлә» («әл-джәбр мен уәл-мүкәбәла есебі жөніндегі қысқаша кітап»). Бұлардың біріншісінде арифметика, ал екіншісінде алгебра баяндалған. әл-Хорезмидің бұл екі еңбегі әлемдік математика ғылымының асыл маржандары болып табылады.

«Үнді есебінің» бірінші бөлімінде санаудың үнділік ондық позициялық жүйесі жөнінде түсінік беріледі, яғни мұнда кез келген санды тоғыз «Үнді цифры» және нөл таңбасы арқылы қалай кескіндеуге болатыны көрсетіледі, екіншісінде бүтін сандарға, ал соңғы бөлімінде алпыстық және жай бөлшектерге амалдар қолдану ережелері айтылады, квадрат түбір табу әдістері көрсетіледі.

Позициялық ондық жүйеде сандардың үнді танбаларымен жазылу әдісін түсіндіре келіп әл-Хорезми бірлік, ондық, жүздік және мыңдық атауларды ғана пайдаланып, үлкен сандарды атауды үйретеді. Сонан кейін үнді үлгісі бойынша арифметикалық амалдар орындау мүқият түсіндіріледі, амалдарды үлкен разрядтан бастап орындау талап еті-леді. Әл-Хорезми екі еселеу және екіге бөлу өз алдына дербес амалдар деп санайды.

Әл-Хорезмидің сандарды қандай цифрлар арқылы пайдаланғаны белгісіз, өйткені оның арифметикалық трактатының арабша колжазбасы белгісіз, онын латынша аудармасы ғана бізге келіп жеткен. Көптеген зерттеущілер Таяу және Орта Шығыс елдерінде қолданылып жүрген араб цифрларының бір варианты пайдаланылған деген жорымал жасайды. Әл-Хорезми және басқа араб математиктерінің бүтін сандарға амалдар колдану жөніндегі үнділердің әдістерін көп жағдайда ықшамдап, жетілдіргені байқалады. Әсіресе, олардың сандардан түбір табу әдістерін жетілдіру туралы ізденістерінің маңызы зор болды.

2. Алгебраның шын мәнінде өз алдына дербес ғылым болып әл-Хорезмидіц «әл-жебр және әл-Му-кабала тәсілімен есептеудіц қысқаша кітабында» бөлініп шықты. Бұл еңбек көп ғасырлар бойы Шығыс елдерінде, ал XII ғасырда латын тіліне аударылып, Европа елдерінде алгебра жөнінде негізгі қүрал болды.Кітап негізінен бірінші және екінші дәрежелі теңдеулерді шешуге арналған. Мүнда әл-Хорезми алгебраға жаңа мағына береді, оны арифметикадан бөліп алып, тендеулер шешу жөніндегі өнерге айналдырады. Ол теңдеудің белгісізін «түбір» немесе «нәрсе», ал оның квадратын «мал» деп атайды.

Әл-Хорезми теңдеуді теріс қосылғыш болмайтындай етіп түрлендіреді. Сонда сызықтық және квадрат тен­деулер алты түрге ажыратылады.Кез келген теңдеу осы түрлердің біріне келтірілуі керек. Мұнда кітаптың атында келтірілген «Әл-жебр» және «әл-мукабала» әдістері қолданылады. Әл-жебр амалы тендеудің бір жағында теріс мүше болса, одан кұтылуға мүмкіндік береді: екі жағына да сол мүшеге тең мүшелер қосылады. Әрі қарай әл-мукабала әдісі ар­кылы — салыстыру аркылы ұқсас мүшелері біріктіріледі. Сонымен қатар квадрат теңдеулердің бас коэффи­циенті бірге келтіріледі. Өйткені әл-Хорезми трактатында оларды шешу ережелері осы жағдай үшін тұжырымдалған.

Әл-Хорезми квадрат теңдеуді шешудін казіргі формуласына пара-пар сөз жүзінде шешу ережесін келтіріп, оның дұрыстығын геометриялық түрғыдан дәлелдейді. Дәлелдеу сандар арқылы жүргізілгенмен, оның дұрыстығының жалпылылығына нұқсан келмейді.Әл-Хорезмидің алгебралық трактатында геометрия мәселелеріне арналған бөлім бар. Мұнда көптеген есеп­тер теңдеу қүру арқылы алгебралық әдіспен шешіледі.

3. «Даналық үйінде» қызмет атқарған басқа ғалымдар ішінен Қазақстан топырағынан шыққан Ғаббас ибн Саид әл - Жауһариды (800–860) атап өту қажет. Ол Отырар өңіріндегі Жауһарана  (қазіргі Гауһартөбе – Б.Қ.) қалашығында туылған. Бағдадқа шақырылып, басқа да ғалымдармен бірге Бағдат  обсерваториясы мен «Даналық үйінің» негізін қалаған, Бағдатта (830 ж.) және Дамаскіде (833 ж.) жүргізілген астрономиялық бақылауларға қатысқан. Осы бақылаулар негізінде «Мамунның астрономиялық кестелері» деп аталатын еңбек жазылды. Синджар жазығында Жер меридианының 1° доғасының ұзындығын өлшеуге қатысқан, «Жердің центрінен Күнге дейінгі қашықтықты анықтау туралы кітап» атты трактат жазған.

әл – Жауһари - ежелгі грек геометрі Евклидтен кейінгі «Екінші Евклид» деген құрметті атаққа ие болған, Евклидтің «Негіздеріне» түсініктемелер ретінде жазылған трактаттардың авторы және шығыс математиктері ішінен бірінші болып Евклидтің атақты бесінші постулатын дәлелдеуге әрекеттенген математик. Оның дәлелдемесіне мынадай тұжырым негіз етіп алынған: «Егер екі түзуді үшінші түзумен қиғанда, айқыш бұрыштар тең болса, онда бұл жағдай осы түзулерді кез келген түзумен қиғанда да орын алады». Евклидтің бесінші постулатын дәлелдеу барысында әл - Жауһари бұрыштың ішінде жатқан кез келген нүкте арқылы сол бұрыштың екі қабырғасын да қиып өтетін түзу жүргізуге болады деген теореманы дәлелдеген. Бұл аса маңызды тұжырымды 1800 ж. француз математигі Лежандр өз дәлелдемесіне негіз етіп алған. әл – Жауһари басқа ғылым салаларынан да еңбектер жазған, бірақ олары бізге келіп жетпеген. Дүние жүзінің көптеген геометрлері (әт-Туси, әл-Кәши, А.М.Лежандр, т.б.) Жауһаридің еңбектерімен жақсы таныс болған және оны өздеріне ұстаз тұтқан.