Жазықтықтағы полярлық координаттар. Екі өлшемді жағдайда көбірек қолданылатын айнымалдар ауыстыруы – (х, у) декарт координаттарынан полярлық координаттарына өту. Мұндай айнымалдар ауыстыруы
(11)
формулалары арқылы жүзеге асырылады. Бұл түрлендірулер үшін Якобианды есептейік:
Олай болса полярлық координаттар үшін (7) формула келесі түрде жазылады:
(7')
Ескерту. Полярлық координаттарға өту аймағы дөңгелек, сақина немесе сақина секторы болған жағдайларда тиімді.
Кеңістіктегі полярлық координаттар
(сфералық координаттар).
Үш еселі интегралды есептеу үшін кейбір жағдайларда
(12)
түріндегі айнымалдар ауыстыруы арқылы (x,y,z) декарт координатарынан сфералық координаттарына өту тиімді (10-сурет).
Мұнда:
арқылы нүктесінен координат басына дейінгі қашықтық;
арқылы P радиус-векторы мен оның х, у жазықтығындағы проекциясының арасындағы бұрыш;
арқылы осы проекция мен х осінің оң бағыты арасындағы бұрыш белгіленген.
Соңғы екі бұрыштың өзгеру аралықтары:
және
10-сурет
(12) түрлендірудегі якобиан
. Сонымен .Олай болса сфералық координаттар үшін (9) формула келесі түрде жазылады:
(13)
Сфералық координаттар мысалына жер бетінің географиялық координаттары жатады.
Цилиндрлік координаттар. Үш өлшемді кеңістікте x,y,z тік бұрышты координаттар жүйесі берілсін. Кеңістіктің кез келген нүктесін сандар үштігімен де анықтауға болады (11-сурет). Мұндағы нүктенің z бұрынғы аппликатасы, ал жазықтығындағы нүктенің полярлық координаттары. Суретте келесі теңдіктерінің орындалатынын байқаймыз:
(14)
11-сурет
Бұл түрлендірудің якобианын есептейік:
Олай болса (9) формуланы келесі түрде жаза аламыз:
(15)
Достарыңызбен бөлісу: |
