1. Еселі және қисық сызықты интегралдар
жүктеу/скачать 0,97 Mb.
|
еселі жане қисық сызыкты интеграл лекция
| 1.5. Беттің ауданы
тікбұрышты координаттар жүйесі анықталған үш өлшемді кеңістікте S беті (1) теңдеуімен берілсін. Мұнда () жазықтығындағы G аймағы шенелген және оның шекарасы құрақты-тегіс, ал функциясының дербес туындылары: (2) тұйықтамасында үзіліссіз. -тұйықтамасын құрақты-тегіс сызықтар арқылы бөліктейміз: . Әрбір бөліктің кез-келген нүктесіне беттің координаттары болатын нүктесі сәйкес келеді. нүктесі арқылы S бетіне жанама жазықтығын жүргіземіз. бөлігінің шекарасын бағыттаушы сызық ретінде алып, жасаушылары z өсіне параллель болатын цилиндрлік бет жүргіземіз. Ол бет жанама жазықтығынан бөлігін кеседі. Осы бөліктің ауданы болсын. Анықтама бойынша S беттің ауданы деп, мына шекті айтады: жанама жазықтығының теңдеуі немесе деп алсақ, түрінде жазылатыны белгілі. Бұл жазықтықтың нормалі болатындықтан, S бетінің нүктедегі нормалі мен z осінің арасындағы бұрыштың косинусі тең. Ал бөлігі жанама жазықтықтың бөлігінің (x,y) жазықтығына проекциясы болғандықтан, оның ауданы Бұл теңдіктен шығады. Демек, Мұнда функциясы аймағында үзіліссіз болғандықтан, ол – интегралданатын функция. Сонымен теңдеуімен берілген S бетінің ауданы мына формуламен өрнектеледі: (3) Осы сияқты, S беті (1') теңдеуімен берілсе, онда (3') ал теңдеуімен берілсе, онда (3'') Ескерту. Беттің параметрлік теңдеулермен берілуі айқын теңдеулермен берілуі айқын теңдеулерге қарағанда жалпы жағдайлады қамтиды. Мысалы, радиусі 1, центрі нөл нүктесінде болатын сфераны параметрлік теңдеулермен беруге болады. Ал сфераның теңдеуін функция ретінде жаза аламыз.Тек қана оның қандай да бір координаттар жазықтығына бірмәнді проекцияланатын бөлігін ғана айқын теңдеумен беруге болады. Керісінше, егер бет теңдеуімен берілсе, онда оны векторлық түрде жазуға болады. Бұл жағдайда параметрлер рөлін айнымалдары атқарады: жүктеу/скачать 0,97 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|