Дискретті кездейсок шамалардың дисперсиясы және оның касиеттері Кездейсоқ шаманың мәндері оның математикалық үмітінен ауытқитындығы белгілі. Міне,осы ауытқуды бағалау үшін дисперсия ұғымы енгізіледі.
Х кездейсоқ шамасының дисперсиясын Д(Х) таңбасымен белгілейді.
Анықтама. Х кездейсоқ шамасының дисперсиясы деп сол кездейсоқ шаманың математикалық үмітінен ауытқыуының квадратының математикалық үмітін айтады.
(1)
Математикалық үміттің қасиеттерін пайдаланып (1) формуланы түрлендірейік:
осыдан дисперсияны есептеуге қолайлы формула шығады
(2)
формула былай оқылады
Дисперсия дегеніміз кездейсоқ шаманың квадратының математикалық үміті мен сол кездейсоқ шаманың математикалық үмітінің квадратының айырымы.
Мысал. Пуассон заңы бойынша үлестірілген кездейсоқ шаманың дисперсиясын тап.
Сонымен Пуассон заңы бойынша үлестірілген кездейсоқ шаманың дисперсиясы да -ға тең.
Дисперсия дегеніміз кездейсоқ шаманың математикалық үмітіне қарағандағы таралымы (шашырауы), бытырауы.
Механикалық ұғымда дисперсия кездейсоқ шаманың инерциялық моменті (массаның таралымының) егер математикалық үмітті массаның центрі деп алсақ.
Дисперсия кездейсоқ шаманың квадратымен өлшемдес. Таралымның кездейсоқ шамамен өлшемдес болу үшін жаңа ұғым кездейсоқ шаманың орташа квадрат ауыткуы енгізіледі. Ол
сигма X деп оқылады.
Орташа квадрат ауыткуды стандарт немесе стандарт ауытку деп атайды.
Теріс емес кездейсоқ шамалардың кездейсоқтығының дәрежесін анықтау үшін вариация коэффициенті анықталады
ол орташа квадрат ауыткудың математикалық үмітке қатынасы.
Енді дисперсияның қасиеттерін қарастырайық
1) Тұрақты шаманың дисперсиясы нөлге тең
Д(С)=0 Расында, егер С=const болса онда (2) формула бойынша
Д(С)=М(С2)-М2(С)=С2-С2=0 2) Тұрақты көбейткішті дисперсия таңбасының алдына квадраттап шығаруға болады.
Шынында (2) формула бойынша
3) Егер x пен y кездейсоқ шамалары тәуелсіз болса онда
Д(x+y)=Д(x)+Д(y) Дәлелдеу: (2) формулаға математикалық үміттің қасиеттерін қолданып кездейсоқ шамалардың тәуелсіздігін ескерсек.
Екі тәуелсіз кездейсоқ шаманың айырымының дисперсиясы сол шамалардың дисперсиясының қосындысына тең.
