Үлкен сандар заңдары Кездейсоқ факторлардың бірігіп әсер етуінің нәтижесінде кездейсоқ емес құбылыстардың пайда болатындығы әртүрлі салаларда кездеседі. Мұндай заңдылықтар, атап айтқанда қажеттіліктің кездейсоқтық арқылы келуі ықтималдықтар теориясына тән.
Тәжірибені шексіз көп жүргізгенде оқиғаның пайда болу жиілігі оның ықтималдығынан тым аз айырмашылықта болатындығын бұрын да атап өткенбіз.
Міне, бұл үлкен сандар заңының бір көрінісі. Үлкен сандар заңы деп кездейсоқ шамалардың арифметикалық ортасына тұжырымдалатын теоремаларды айтамыз
1867 жылы П.Л. Чебышевтың дәлелдеген теоремасы үлкен сандар заңдарының ішіндегі ең жалпы түрі болды және оның жасап кеткен әдісі мұндай заңдарды әрі қарай дамытуға жол ашты.
П.Л. Чебышев теңсіздігі Кез келген Х кездейсоқ шамасының оның математикалық үмітінен айырымының абсолют шамалы оң санынан кіші болу ықтималдығы тан кіші емес; яғни
П.Л. Чебышев теоремасы. Егер тәуелсіз х1,х2,…,хn кездейсоқ шамаларының тұрақты бір С санымен шектелген дисперсиялары бар болса,онда кез келген саны үшін
Берілген y кездейсоқ щамасын Чебышев теңсіздігін қолдансақ онда
Сонда біздің қарастырып отырған y шамасына теңсіздік былай жазылады:
шамасы қандай болмасын n саны шексіздікке ұмтылғанда
бірге ұмтылады.
(1) теңдікте ұмтылғанда ықтималдық бірден артық болмайтынын ескерсек, Чебышев теоремасының ұйғарысы шығады.
Егер кездейсоқ шамалардың дисперсиялары бар болса, онда тәжірибе саны он үлкен болса кездейсоқ шамалардың орта мәні математикалық үлестігін береді
Яков Бернулли теоремасы.
Егер р әрбір тәжірибе жүргізгендегі А оқиғасының пайда болу ықтималдығы және К кездейсоқ шама А оқиғасының n рет тәжірибе жүргізгендегі пайда болу саны болса, онда кез келген саны үшін
Сонымен, Чебышев теоремасындағы шарттар орындалғанда кездейсоқ шамалардың арифметикалық ортаса мен олардың математикалық үміттерінің арифметикалық ортасының арасындағы айырмашылық кездейсоқ шамалар саны мейлінше көп болғанда “тым аз” болады екен.
Ал Бернулли теоремасы тәжірибе жүргізу шарты тұрақты болғанда жиіліктің орнықты болуын көрсетеді.
