Интервалдық баға. Нормаль үлестірім параметрлері үшін сенімділік интервалдары. Мысал келтіріңіз.
Интервалдық бағалар Нүктелік бағаларбағаланып отырған параметрге жақсы жуықтамайды, әсіресе таңдама көлемі аз болғанда. Сонымен қатар, олар бағаның дәлдігін және сенімділігін анықтауға мүмкіндік бермейді.
Анықтама.
Екі санмен – интервалдың шеткі нүктелерімен анықталатын баға интервалдық баға деп аталады.
Бағаның дәлдігі және сенімділігі ұғымдарының мағынасын анықтайық. Таңдаманың берілімдері бойынша параметрінің нүктелік бағасы алынған болсын. шамасы аз болған сайын параметрінің нүктелік бағасы дәлірек болатындығы белгілі. Басқаша айтқанда, егер және , аз болған сайын бағасы дәлірек болады.
Анықтама.
орындалатындай оң саны бағаның дәлдігін анықтайды; аз болған сайын баға дәлірек болады.
Статистикалық әдістерде теңсіздігінің орындалу ықтималдығын бағалау қажет. Сондықтан сенімділік ұғымы пайда болады.
Анықтама.
параметрінің бағасының сенімділігі (сенімділік) деп теңсіздігі орындалатындай ықтималдығы айтылады, яғни .
теңдігін түрлендіреміз:
немесе .
Сонымен, сенімділігі (сенімділілік ықтималдығы) дегеніміз параметрінің ақиқат мәні интервалында жату ықтималдығы.
Анықтама.
параметрінің ақиқат мәндерін берілген сенімділікпен бүркейтін интервалы сенімділік интервалы айтылады.
шамасын алдын ала таңдайды, = 0,9 (0,95; 0,99…) деп алады. Сонда -ның дәл мәні сенімділік интервалында жатады.
Қалыпты үлестірімнің математикалық үмітін бағалау үшін сенімділік интервалы. Қалыпты үлестірімнің белгілі болғандағы математикалық үмітін бағалау үшін сенімділік интервалы Ізделінді кездейсоқ шамасы және параметрлерімен қалыпты үлестірілген болсын. Орта квадраттық ауытқу белгілі болсын. Белгісіз математикалық үмітті бағалау керек болсын. Берілген сенімділікпен параметрін бүркейтін сенімділік интервалын табу есебін талдайық. кездейсоқ шамасына n сынақ жүргізіп, таңдамасын аламыз. Әрбір вариантаны кездейсоқ шамасының данасы ретінде қарастырамыз, яғни n кездейсоқ шамалар аламыз, олар сияқты үлестірілген, яғни , . Осы бақылаулар негізінде таңдама бағаларын табамыз: - таңдама ортасы;
= = – түзетілген таңдама дисперсиясы (мұнда жиілік ). Орталық шектік теорема негізінде қорытынды жасаймыз: – кедейсоқ шама, ол сияқты қалыпты үлестірілген. Математикалық үміт пен дисперсия қасиеттері бойынша параметрлерін табамыз:
= ;
= ;
.
Енді сенімділік интервалын құруға кірісейік, кездейсоқ шамасының математикалық үмітінің ақиқат мәнін сенімділікпен қамтитын (бүркейтін), яғни шартының орындалуы талап етіледі. Қалыпты үлестірім үшін формуласы белгілі. Сондықтан, – және параметрлері болғандықтан
.
белгілеуін енгізейік, онда . Осы белгілеуден кейін соңғы теңдік былай жазылады:
немесе . Сонымен, белгілі болғанда математикалық үмітті бағалау үшін сенімділік интервалы: . сенімділік өлшемі алдын ала таңдап алынады. Таңдау есепке байланысты, мысалы, авиа жолаушылары үшін ұшақтың сенімділік дәрежесі, сатып алушы үшін телевизордың сенімділік дәрежесіне қарағанда жоғарырақ болу керек. Әдетте сенімділігін 0,9; 0,95; 0,99 деп алады. Сонда параметрі сенімділік интервалына түсетіндігі белгілі. t мәнін шартынын табады ; берілген бойынша Лаплас функциясының кестесінен t аргументі табылады. теңдігінен, n (таңдама көлемі) үлкен болған сайын, аз болады (соғырлым баға дәлірек);
теңдігінен сенімділігінің үлкейгендігінен t үлкейеді, себебі функциясы өспелі, сондықтан теңдігінен үлкейеді, яғни дәлдік азаяды.
Мысалы 2.8.1 - Егер орта вадраттық ауытқу =5, таңдама ортасы =14, таңдама көлемі n =25 болғанда, 0,95 сенімділікпен берілген қалыпты үлестірілген кездейсоқ шаманың сенімділік интервалын табу керек.
Шешуі:
формуласын қолданамыз.
теңдігінен t белгісізін табамыз, кестеден t=1,96. Олай болса,
немесе . Сонымен, сенімділік интервалы .
