№3. Тербелмелі процестер

жүктеу/скачать 319,64 Kb.

бет	5/6
Дата	28.04.2024
өлшемі	319,64 Kb.
	#201503

1 2 3 4 5 6

Байланысты:
Документ Microsoft Word

4.3 Толқынның энергиясы. Умов векторы

4.2 Толқындық теңдеу

Материялық нүктенің барлық мүмкін болатын қозғалыстарын сипаттайтын динамиканың негізгі теңдеуі сияқты толқындық процестер үшін де толқынның түріне тәуелсіз жалпылама өрнек болып табылатын теңдеулер бар. Бұл теңдеулер - толқынды сипаттайтын кеңістік пен уақыттағы функцияның өзгерісін байланыстыратын дербес туынды түріндегі дифференциалдық теңдеулер.
Оларды толқындық теңдеулер деп атайды. Толқындық теңдеуді алу үшін (6.3) теңдеуді алдымен уақыт бойынша, сосын х бойынша екі рет дифференциал аламыз. х осі бойымен таралатын жазық қума толқынның толқындық теңдеуін аламыз:
^²^₂= ¹₂^²^₂. (4.6)
x  t
(4.3) жазық толқынның теңдеуі (4.6) толқындық теңдеудің шешімі болып табылады.
Жалпы жағдайда, ығысу төрт айнымалының функциясы болып табылады және ол келесі түрде жазылады:
²1 ², (4.7)
=₂_t2
мұндағы
2 2 2
2= x2 + y2 + x2 .

4.3 Толқынның энергиясы. Умов векторы

Толқын таралатын серпімді орта бөлшектердің тербелмелі қозғалысының кинетикалық энергиясына және ортаның деформациясынан пайда болатын потенциалдық энергияға ие болады.
Барлық нүктелерде қозғалыс жылдамдығы және деформациясын бірдей деп есептеуге болатын және сәйкесінше х осі бойынша таралатын толқын
  үшін және тең болатын V аз көлемді ойша белгілеп аламыз.
t x

Белгіленген көлем W_k= ^^m^^²= ^^²V кинетикалық энергияға ие,
2  t  2  t 

мұндағы m = V - V көлемдегі заттың массасы, =−Asin(t − kx).
t
2

Теңдеуге   , мәнін қойып, келесі өрнекті аламыз:
 t 
W_k= A²²sin²(t − kx)V .
Қарастырылып отырған көлем потенциалдық энергияға ие
E2
W_n= V ,
2
мұндағы E - Юнг модулі;

= - салыстырмалы ұзару немесе сығылу.
x

Қума толқындардың жылдамдығы = E/_, = kAsin(t −kx) екенін
x
ескерсек, потенциалдық энергияның өрнегін аламыз:
W_n= A²²sin²(t − kx)V .
Ортаның V көлемдегі бөлшектердің потенциалдық және кинетикалық энергияларының теңдеулеріне жүргізілген талдау олардың максимум мәндерінің бірдей екендігін, W_k және W_n уақыттың бірдей функциялары болып табылатынын көрсетеді. Бұл заңдылық серпімді ортада кез келген қума толқынға тән. Ол серпімді ортада таралатын тербелістердің таралу процестеріне қолданатын энергияның сақталу заңынан шығады. Серпімді толқындардың таралуы ортаның бір аймағынан екінші аймағына энергияның тасымалдануымен тығыз байланысты, сондықтан энергия координата мен уақытқа тәуелді.
Толық энергия W_k мен W_n қосындысына тең:
W = W_k+W_n=²A²sin²(t −kx)V . (4.8)
Осы энергияны көлемге бөлсек, энергия тығыздығын аламыз:
w = ^^W= ²A²sin²(t − kx).
V
Ортаның әрбір нүктесінде энергияның тығыздығы синустың квадраты бойынша өзгереді, сондықтан ортаның әрбір нүктесінде энергияның орташа тығыздығы:
w = ²A². (4.9)
Қандай да бір бет арқылы dt бірлік уақытта толқын тасымалдайтын энергия осы бет арқылы өтетін энергия ағыны деп аталады:
_Ф₌^dW.
dt
Беттің әртүрлі нүктесінде энергия ағыны әртүрлі болуы мүмкін, сондықтан энергия ағынының тығыздығы деген ұғым енгізіледі. Бұл энергия тасымалының бағытына перпендикуляр бағытталған бірлік аудан арқылы өтетін энергия ағыны:
j ₌^d^Ф₌^dW. (4.10)
dS_⊥dt dS_⊥
Гармоникалық толқындар үшін (синусоидалық) толқынның энергия тасымалының жылдамдығы фазалық жылдамдыққа тең . Табанының ауданы
dS және ұзындығы dt тең қиық цилиндр ішінде жинақталған энергия dW :
dW = wdtdScos= wdtdS_⊥.
Осы формуланы (6.10) - ге қойып, энергия ағынының тығыздығы үшін формуланы аламыз: j = w_.
r
Ағынның тығыздығын және оның бағытын анықтау үшін j Умов
векторын енгізеді: _r_r
j ₌w_v,
(4.11)
мұндағы ^v^r= ^ⁿ^r - модулі толқынның фазалық жылдамдығына тең
k
берілген нүктеде толқынға нормаль жылдамдық векторы.
Энергия ағынының тығыздығының уақыт бойынша орташа мәні толқынның қарқындылығы деп аталады:
r ^{1 2 2}
I = j = w=  A _.
2

жүктеу/скачать 319,64 Kb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 2 3 4 5 6