функционалдық қатарды айтады, мұнда - берілген комп-лекс сандар, z - комплекс айнымалы.
Дәрежелік қатардың жинақтылық радиусы Коши-Адамар формуласымен анықталады , егер болса, онда R=0, ал егер болса, онда .
Дәрежелік қатардың жинақтылық радиусын Даламбер белгісімен де анықтауға болады .
Тейлор қатары деп мына қатарды атайды
.
Лоран қатары Айталық, функциясы сақинада аналитикалық функция болсын. Онда бұл функция дәреже бойынша дәрежелік қатарға жіктеледі
(1)
мұндағы
- Лоран қатарының бас бөлігі;
-Лоран қатарының дұрыс бөлігі;
; (2)
L–берілген сакинада жататын центрі z0нүктесіндегі шеңбер.
Тейлор қатары Лоран қатарының дербес жағдайы. Іс жұзінде (2) формула қолданылмайды, берілген қатарды Лоран қатарына жіктеу үшін келесі элементар функциялардың Тейлор қатарына жіктеулері қолданылады:
Ерекше нүктелер деп бөлшектін бөлімін нөлге айналды-ратын нүктелерді айтады.
Анықтама. Егер функциясы центрі z0 нүктесінде болатын L шеңберінің ішінде аналитикалық болса және z0 нүктесі функциясының жалғыз ерекше нүктесі болса, онда z0 нүктесін осы функцияның оқшауланған ерекше нүктесі деп атайды.
Бірмәнді функциясының оқшауланған ерекше нүктесінің түрлерін осы оқшауланған ерекше нүктенің аймағында Лоран қатарына жіктеу әдісі алынады. Үш жағдай кездесуі мүмкін:
Егер (1) Лоран жіктеуінде теріс дәрежелі мүшелерінің саны шексіз болса, онда z0 нүктесін функциясының елеулі ерекше нүктесі деп атайды.
Егер (1) Лоран жіктеуінде теріс дәрежелі мүше-лерінің саны шектеулі болса, онда z0 нүктесін функциясының полюсі деп атайды.
Егер (1) Лоран жіктеуінде теріс дәрежесі болмаса, онда z0 нүктесін функциясының жойылатың ерекше нүктесі деп атайды.
Егер нүктесінің аймағында аналитикалық функцияның Лоран қатарына жіктелуінде теріс дәреже-лерінің саны шектеулі ғана болса, онда
,
мұнда ;
р - функциясының полюсінің реті.
Егер р=1 болса – жай полюс, p>1 болса, еселі полюс деп аталады.
Полюс ретін анықтау: 1)Егер функциясы келесі түрге келтірілсе , онда z0 нүктесі р ретті полюс болады, мұндағы нүктесіндегі аналитикалық функция және .
2)Егер z0 оқшауланған ерекше нүкте болса ,
және болса, онда нүктесі ретті полюс болады, ал егер болса, онда нүктесі жойылатын ерекше нүктесі болады.
Мысал. функциясын оқшауланған ерекше нүктелерінің аймағында z дәрежесі бойынша Лоран қатарына жіктеу керек.
Шешуі. функцияның үш ерекше нүктелері бар: . Есеп шарты бойынша осы нүктелердің аймағында z дәреже бойынша жіктеу керек, сондықтан центрлері z0=0 үш сақина аламыз: 1) -дөнгелек, 2) -сақина, 3) -дөнгелектін сыртқы облысы. функциясын элементар бөлшектерге жіктейміз:
Осыдан , сонда
. (3)
1) қарастырайық. (3) өрнекті мына түрде жазып:
. (4)
. (5)
. (6)
. (5*)
. (6*)
Соңғы екі өрнекті (4) теңдікке қояйық, сонда
;
2) облысын қарастырайық. (3) өрнекті мына түрге келтіреміз:
