Конформдыбейнелеу Анықтама. Егер пен бейнелегенде қисықтардың арасындағы бұрыштарының шамасы сақталынып және созылу (сығылу) коэффициенттері тұрақты болса, онда бейнеленуін конформды бейнелеу деп атайды.
Бұл термин латын сөзі “конформды”, яғни “формасының консерватизмі” дегенге орай қолданылады.
У V
z0 w0
О Х О U
Ұшбұрыштар өзара ұқсас.
Анықтама. Шектеулі D облысында функциясы дифференциалданатын және бірпарақты, осы облыста туындысы нолден айырықша болса, онда D облысында конформды бейнелеу болады.
Теорема (Риман теоремасы). Егер бірбайланысты D облысының шекарасы ең кемінде екі нүктеден тұратын болса, онда ол облыста бірпарақты және конформды бейнелейтін аналитикалық функция табылады.
Конформды бейнелеу теориясының негізгі принциптері Облыстың сақталу принципы. Бірбайланысты облыста берілген аналитикалық функция арқылы бейнелегенде облыс облысқа көшеді.
Функцияның бар болу принципі. Егер комплекс жазықтықтағы бірбайланысты D және G облыстарының шекаралары ең кемінде екі нүктеден тұратын болса, онда ол Dоблысын G облысына сансыз көп тәсілмен бейнелейтін аналитикалық функциясы табылады.
Берілген D облысын G облысына түрлендіретін сансыз көп аналитикалық функциялардың арасынан бір ғана аналитикалық функцияны табу үшін бір-біріне эквивалентті келесі нормаландыру шарттардың біреуі орындалу керек:
Ізделініп отырған функциясы үшін
,
теңдіктері орындалу керек;
Бейнелейтін D облысының көрсетілген z0 нүктесі мен оның L шекарасының z1 нүктесі бейнеленген Gоблысының көрсетілген ішкі w0 нүктесі мен мұнын Г шекарасының w1 нүктесіне бейнеленуі керек, яғни
;
D облысының облысты айналып шығу бағытымен алынған L шекарасының әр түрлі үш z1, z2, z3 нүктелері G облысындағы Г шекарасының әр түрлі w1, w2, w3 нүктелеріне көшү керек, яғни
.
Шекараның сәйкестік принципі. Бірбайланысты D облысында берілген бірпарақты және аналитикалық функция осы облыстың L контурында үзіліссіз болса, онда бұл функция D облысының L контурын G облысының Г контурына бейнелейді және облысты айналып шығу бағыты өзгермейді.
Симметрия принципі. Аналитикалық функция арқылы бейнелегенде Dоблысының шекарасы L бойынша симметриялы нүктелер бейнеленген G облысының шекарасы Г бойынша симметриялы нүктелерге көшеді.
Мысал. бейнелеу үшін бұрылу бұрышын және созылу коэффициентін нүктелерінде табу керек. Қандай жағдайларда бұрылу бұрышы мен созылу коэффициенті өзгермейді?
Шешуі. нүктелерінде туындылары
Аргумент пен модульдің геометриялық мағынасынан:
нүктесінде бұрылу бұрышы және созылу коэффициенті ;
нүктесінде бұрылу бұрышы және созылу коэффициенті .
туындының нақты және жорамал бөліктерін жекешелеп және
деп ұйғарып
тең бұрылу түзулерін және
тең созылу түзулерін аламыз. Туындыны
нолге теңістіріп бейнелеу конформдығының бұзылу нүктесін аламыз: z=1.
Мысал. функциясы , қисық сызықты төртбұрышты төртбұрышқа конформды бейнелейтінін көрсету керек.
аналитикалық функциясының бірінші облысы-ның контуры екінші облысының контурына бірмәнді бейнелеу орнатылғандықтан, бұл бейнелеу конформды.
Мысал. функциясының шеңбердің uOv жазықтығына конформды бейнелеуін табу керек.
Шешуі. ,
осыдан
.
Осы теңдіктерден
,
сонда
.
Ізделінді бейнелеу: центрі О(1; 0), радиусы 2-ге тең шеңбер.
Мысал. функция арқылы түзуінің uOv жазықтығына конформдық бейнелеуін табу керек.
Шешуі. , яғни
.
Осы және теңдеулерден
,
яғни v=-u. Ізделінді бейнелеу: xOy жүйенің 1 және 3 ширектерінің биссектрисалары uOv жүйенің 2 және 4 ширектерінің биссектрисаларына бейнеленеді.
Мысал. нүктесінде функциясының бұрылу бұрышы мен бұрмалану коэффициентін табу керек.
Шешуі.Бұрылу бұрышы , ал бұрмалану коэффициенті . Табамыз
, , (сығылу).
Мысал. нүктесінде функциясының бұрылу бұрышы мен созылу коэффициентін табу керек.
Шешуі. , онда бұрылу бұрышы мен созылу коэффициенті
